【算法基础篇】（四十一）数论之约数问题终极攻略：从求单个约数到批量统计

前言

在算法竞赛的数论板块中，约数相关问题是仅次于质数的高频考点。无论是求一个数的所有约数，还是计算约数个数、约数和，亦或是统计区间内所有数的约数集合，这些问题看似独立，实则都围绕着约数的核心性质展开。本文将从约数的基本概念出发，层层拆解各类约数问题的求解思路，带你彻底掌握约数相关问题的解题技巧，让你在竞赛中轻松应对各类约数挑战。下面就让我们正式开始吧！

一、约数的核心概念与性质

1.1 约数的定义

约数（又称因数）是指整数 a 除以整数 b（b≠0）除得的商正好是整数而没有余数，此时称 b 是 a 的约数，记作 b|a。例如，12 的约数有 1、2、3、4、6、12，因为这些数都能整除 12 且没有余数。

特别注意：

1 是所有正整数的约数；

一个数的最大约数是它本身，最小约数是 1；

约数具有成对出现的性质：如果 d 是 a 的约数，那么 a/d 也一定是 a 的约数。例如 12 的约数中，2 和 6 成对，3 和 4 成对，1 和 12 成对。

1.2 约数的核心性质

约数的成对出现性质是解决各类约数问题的关键，它能将约数的枚举范围从 [1, a] 缩小到 [1, √a]，极大地提升算法效率。例如，要找出 100 的所有约数，只需枚举 1 到 10（√100=10），当找到一个约数 i 时，即可同时得到另一个约数 100/i。

此外，约数还具有以下性质：

若 d 是 a 和 b 的约数，则 d 也是**gcd (a, b)**的约数；

若 a 是 b 的倍数，则 b 的所有约数也都是 a 的约数（前提是 a 能被 b 整除）。

这些性质看似简单，却是后续优化算法的重要依据，在解决复杂约数问题时能起到事半功倍的效果。

二、求单个整数的所有约数：试除法的优化与实现

2.1 试除法的核心思路

根据约数成对出现的性质，求单个整数 x 的所有约数时，只需枚举 [1, √x] 范围内的所有整数 i：

若 i 能整除 x，则 i 是 x 的约数，同时 x/i 也是 x 的约数；

若 i = x/i（即 x 是完全平方数），则只需记录一次（避免重复）。

举个例子，求 36 的所有约数：

√36=6，枚举 1 到 6 的整数；

i=1：36%1==0，记录 1 和 36；

i=2：36%2==0，记录 2 和 18；

i=3：36%3==0，记录 3 和 12；

i=4：36%4==0，记录 4 和 9；

i=5：36%5!=0，跳过；

i=6：36%6==0，6=36/6，记录 6；

最终约数集合：{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}。

2.2 避免重复与溢出的技巧

在代码实现中，需要注意两个关键问题：

重复记录：当 x 是完全平方数时，i 和 x/i 相等，此时只需记录一次；

数值溢出 ：枚举条件若写成i*i <= x，当 x 接近 1e12 时，i*i 可能超出 int 范围，因此推荐使用i <= x / i的写法，既避免溢出，又无需调用 sqrt 函数（减少精度误差）。

2.3 C++ 实现求单个整数的所有约数

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 求x的所有约数，返回有序列表
vector<int> get_divisors(int x) {
    vector<int> res;
    // 枚举到sqrt(x)
    for (int i = 1; i <= x / i; ++i) {
        if (x % i == 0) {
            res.push_back(i);
            // 避免重复记录完全平方数的约数
            if (i != x / i) {
                res.push_back(x / i);
            }
        }
    }
    // 排序，使输出更规范
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int x;
    cin >> x;
    auto divisors = get_divisors(x);
    cout << x << "的约数有：";
    for (int d : divisors) {
        cout << d << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

2.4 代码测试与分析

输入：36

输出：36 的约数有：1 2 3 4 6 9 12 18 36

时间复杂度 ：O (√x)。枚举范围从 x 缩小到√x，效率大幅提升。对于 x=1e12，√x=1e6，仅需枚举 1e6 次，完全可以在毫秒级完成。

空间复杂度 ：O (τ(x))，其中 τ(x) 是 x 的约数个数（约数函数）。一个数的约数个数上限为 2√x（如 x=1e6 时，约数个数最多为 100），空间开销可忽略。

三、求区间内所有数的约数集合：倍数法的高效应用

3.1 试除法的局限性

当需要求 [1, n] 范围内所有数的约数集合时，若对每个数单独使用试除法，时间复杂度为 O (n√n)。对于 n=1e5，n√n≈1e7.5，虽然能通过，但效率较低；对于 n=1e6，n√n≈1e9，会直接超时。

此时需要一种更高效的方法 ------ 倍数法 ，利用 "约数的倍数" 这一反向思维，将时间复杂度优化至 O (n log n)。

3.2 倍数法的核心思路

倍数法的本质是**"反向枚举约数"**：对于每个约数 d，[1, n] 中所有以 d 为约数的数都是 d 的倍数（即 d, 2d, 3d, ..., kd，其中 kd ≤n）。因此，我们可以：

枚举每个可能的约数 d（从 1 到 n）；

枚举 d 的所有倍数 m（d, 2d, ..., kd ≤n）；

将 d 添加到 m 的约数集合中。

举个例子，求 [1, 6] 范围内所有数的约数集合：

d=1：倍数为 1,2,3,4,5,6 → 给每个数的约数集合添加 1；

d=2：倍数为 2,4,6 → 给 2,4,6 的约数集合添加 2；

d=3：倍数为 3,6 → 给 3,6 的约数集合添加 3；

d=4：倍数为 4 → 给 4 的约数集合添加 4；

d=5：倍数为 5 → 给 5 的约数集合添加 5；

d=6：倍数为 6 → 给 6 的约数集合添加 6；

最终结果：1：{1}2：{1,2}3：{1,3}4：{1,2,4}5：{1,5}6：{1,2,3,6}

3.3 C++ 实现区间内所有数的约数集合

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
vector<int> divisors[MAXN]; // divisors[m]存储m的所有约数

// 预处理[1, n]范围内所有数的约数集合
void pre_divisors(int n) {
    // 枚举每个约数d
    for (int d = 1; d <= n; ++d) {
        // 枚举d的所有倍数m
        for (int m = d; m <= n; m += d) {
            divisors[m].push_back(d);
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    pre_divisors(n);
    
    // 输出每个数的约数集合
    for (int m = 1; m <= n; ++m) {
        cout << m << "的约数：";
        for (int d : divisors[m]) {
            cout << d << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

3.4 时间复杂度分析

倍数法的时间复杂度为 O (n log n)，这是因为：

对于约数 d，其倍数个数为 n/d；

总操作次数为 n/1 + n/2 + n/3 + ... + n/n = n (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)；

括号内的部分是调和级数 ，当 n 较大时，调和级数的和约为log n + γ（γ 为欧拉常数，约 0.577），因此总时间复杂度为 O (n log n)。

对于 n=1e6，n log n≈1e6×20=2e7，完全可以在 1 秒内完成预处理，效率远高于试除法。

四、约数个数定理与约数和定理：公式法的应用

4.1 约数个数定理

由算术基本定理，任何大于 1 的自然数 n 都可以唯一分解为质因数的乘积：

其中 p₁<p₂<...<pₖ为质数，α₁,α₂,...,αₖ为正整数。

约数个数定理指出：n 的约数个数为所有质因子指数加 1 后的乘积，即：

原理：每个质因子 pᵢ可以选择 0 到 αᵢ个，共 (αᵢ+1) 种选择，所有质因子的选择组合即为约数的总数。

示例：n=12=2²×3¹，约数个数为 (2+1)×(1+1)=6，分别是 1 (2⁰×3⁰)、2 (2¹×3⁰)、3 (2⁰×3¹)、4 (2²×3⁰)、6 (2¹×3¹)、12 (2²×3¹)。

4.2 约数和定理

约数和定理指出：n 的所有约数之和为每个质因子的幂次和的乘积，即：

原理：将每个质因子的所有可能次幂相加，再将结果相乘，得到所有约数的和（乘法分配律）。

示例：n=12=2²×3¹，约数和为 (1+2+4)×(1+3)=7×4=28，验证：1+2+3+4+6+12=28。

4.3 公式法求约数个数与约数和

结合质因数分解，我们可以通过公式法快速计算约数个数和约数和，步骤如下：

对 n 进行质因数分解，得到标准分解式；

根据约数个数定理计算约数个数；

根据约数和定理计算约数和。

4.4 C++ 实现公式法求约数个数与约数和

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;

// 质因数分解，返回质因子及其指数
unordered_map<int, int> prime_factor(int x) {
    unordered_map<int, int> factors;
    for (int i = 2; i <= x / i; ++i) {
        while (x % i == 0) {
            factors[i]++;
            x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) {
        factors[x] = 1;
    }
    return factors;
}

// 计算约数个数
int count_divisors(int x) {
    if (x == 1) return 1;
    auto factors = prime_factor(x);
    int res = 1;
    for (auto [p, alpha] : factors) {
        res *= (alpha + 1);
    }
    return res;
}

// 计算约数和
long long sum_divisors(int x) {
    if (x == 1) return 1;
    auto factors = prime_factor(x);
    long long res = 1;
    for (auto [p, alpha] : factors) {
        long long s = 1;
        long long pow_p = 1;
        // 计算1 + p + p^2 + ... + p^alpha
        for (int i = 1; i <= alpha; ++i) {
            pow_p *= p;
            s += pow_p;
        }
        res *= s;
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    cout << n << "的约数个数：" << count_divisors(n) << endl;
    cout << n << "的约数和：" << sum_divisors(n) << endl;
    return 0;
}

4.5 代码测试与优化

输入：12

输出：12 的约数个数：612 的约数和：28

优化点：

约数和计算中，使用long long 存储结果，避免溢出（如 n=1e5 时，约数和可能超过 int 范围）；

质因数分解时，同样使用i <= x / i的枚举条件，避免溢出。

五、实战例题 1：牛客网约数之和

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/22196

5.1 题目分析

题目描述：求自然数 N 的所有约数之和（N≤1e4）。

输入：一行一个正整数 N。

输出：一行一个整数，表示 N 的约数和。

示例：输入：10

输出：18（1+2+5+10=18）。

解题思路：本题可使用试除法或公式法求解。由于 N≤1e4，两种方法效率差异不大，试除法实现更简洁。

5.2 试除法解法实现

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n / i; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            sum += i;
            if (i != n / i) {
                sum += n / i;
            }
        }
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

5.3 代码分析

时间复杂度 ：O (√n)，对于 n=1e4，√n=100，仅需枚举 100 次；

空间复杂度 ：O (1)，无需额外存储约数集合，直接累加求和；

输入输出优化 ：使用ios::sync_with_stdio(false); **cin.tie(nullptr);**提升读取速度。

六、实战例题 2：牛客网约数个数的和

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14682

6.1 题目分析

题目描述：给定 n，求 1 到 n 的所有数的约数个数的和（n≤1e6）。

输入：一行一个正整数 n。

输出：一行一个整数，表示答案。

示例：输入：3

输出：5（1 的约数个数 1 + 2 的约数个数 2 + 3 的约数个数 2 = 5）。

核心难点：若对每个数单独计算约数个数，时间复杂度为 O (n√n)，n=1e6 时会超时。需利用倍数法的反向思维优化。

6.2 优化思路：反向统计约数个数

根据倍数法的思想，对于每个约数 d，[1, n] 中以 d 为约数的数有 n/d 个（即 d 的倍数个数）。因此，1 到 n 的约数个数的和等于所有 d 从 1 到 n 的 n/d 之和。

示例：n=3

d=1：倍数有 1,2,3 → 贡献 3；

d=2：倍数有 2 → 贡献 1；

d=3：倍数有 3 → 贡献 1；

总和：3+1+1=5，与示例一致。

6.3 高效解法实现

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    LL sum = 0;
    // 枚举每个约数d，贡献为n/d
    for (int d = 1; d <= n; ++d) {
        sum += n / d;
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

6.4 代码分析

时间复杂度 ：O (n)，对于 n=1e6，仅需循环 1e6 次，完全可以在 1 秒内完成；

空间复杂度 ：O (1)，仅需一个变量存储总和；

关键优化：将 "求每个数的约数个数" 转化为 "统计每个约数的倍数个数"，从 O (n√n) 优化到 O (n)，效率大幅提升。

七、进阶优化：数论分块优化约数个数和

7.1 数论分块的核心思想

对于 n=1e7，O (n) 的时间复杂度可能会超时（1e7 次循环约需 1 秒）。此时可以使用数论分块（又称整除分块）进一步优化，将时间复杂度降至 O (√n)。

数论分块的核心观察：对于连续的区间 [l, r]，n/d 的值可能相同。例如 n=10：

d=1→10/1=10；

d=2→10/2=5；

d=3→10/3=3；

d=4→10/4=2；

d=5→10/5=2；

d=6→10/6=1；

d=7→10/7=1；

d=8→10/8=1；

d=9→10/9=1；

d=10→10/10=1；

可以发现，n/d 的值相同的区间为 [1,1]、[2,2]、[3,3]、[4,5]、[6,10]。对于每个区间 [l, r]，n/d 的值为 k，贡献为 k*(r-l+1)。

7.2 数论分块的区间计算

对于当前 l，r 的计算方式为：r = n / (n /l)。例如 n=10，l=4 时，n/l=2，r=10/2=5，即区间 [4,5]。

7.3 C++ 实现数论分块优化约数个数和

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    LL sum = 0;
    // 数论分块，l和r为当前区间的左右端点
    for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l);
        sum += (LL)(n / l) * (r - l + 1);
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

7.4 时间复杂度分析

数论分块的时间复杂度为O (√n)，因为 n/d 的不同取值最多有 2√n 种（当 d≤√n 时，n/d 有√n 种取值；当 d>√n 时，n/d<√n，也有√n 种取值）。对于 n=1e12，√n=1e6，仅需循环 1e6 次，效率极高。

八、常见误区与避坑指南

8.1 数值溢出问题

约数和计算时，未使用 long long 导致溢出（如 n=1e5 时，约数和可能达到 1e10）；

数论分块中，(n/l)*(r-l+1) 未强制转换为long long（n=1e6 时，n/l=1e6，r-l+1=1e6，乘积为 1e12，超出 int 范围）。

8.2 边界条件处理

忽略 n=1 的情况（1 的约数个数为 1，约数和为 1）；

完全平方数的约数重复记录（如 x=4，i=2 时，i=x/i，需只记录一次）；

倍数法中，枚举约数 d 时从 0 开始（d=0 不是任何数的约数，应从 1 开始）。

8.3 效率优化误区

对区间约数集合使用试除法（n=1e6 时超时）；

约数个数和计算时未使用数论分块（n=1e7 时超时）；

质因数分解时使用i*i <= x导致溢出（应使用i <= x / i）。

总结

除了掌握本文介绍的基础方法，还需要多做综合性题目，加深对约数性质的理解，提升知识的融会贯通能力。

如果你在学习过程中遇到具体题目无法解决，或者想进一步了解约数与其他数论知识的结合应用，可以随时留言交流。后续将持续更新数论进阶内容，敬请关注！

【算法基础篇】（四十一）数论之约数问题终极攻略：从求单个约数到批量统计

目录

前言

一、约数的核心概念与性质

1.1 约数的定义

1.2 约数的核心性质

二、求单个整数的所有约数：试除法的优化与实现

2.1 试除法的核心思路

2.2 避免重复与溢出的技巧

2.3 C++ 实现求单个整数的所有约数

2.4 代码测试与分析

三、求区间内所有数的约数集合：倍数法的高效应用

3.1 试除法的局限性

3.2 倍数法的核心思路

3.3 C++ 实现区间内所有数的约数集合

3.4 时间复杂度分析

四、约数个数定理与约数和定理：公式法的应用

4.1 约数个数定理

4.2 约数和定理

4.3 公式法求约数个数与约数和

4.4 C++ 实现公式法求约数个数与约数和

4.5 代码测试与优化

五、实战例题 1：牛客网 约数之和

5.1 题目分析

5.2 试除法解法实现

5.3 代码分析

六、实战例题 2：牛客网 约数个数的和

6.1 题目分析

6.2 优化思路：反向统计约数个数

6.3 高效解法实现

6.4 代码分析

七、进阶优化：数论分块优化约数个数和

7.1 数论分块的核心思想

7.2 数论分块的区间计算

7.3 C++ 实现数论分块优化约数个数和

7.4 时间复杂度分析

八、常见误区与避坑指南

8.1 数值溢出问题

8.2 边界条件处理

8.3 效率优化误区

总结

五、实战例题 1：牛客网约数之和

六、实战例题 2：牛客网约数个数的和