一.数论
1.素数
200以内的素数：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
算术基本定理：
任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达式a＝P1α1P2α2...Ptαt，这里P1＜P2＜P3...＜Pt是素数，其中αi>0.
eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52
根据定理，17是素数，18不是素数。
欧几里得算法------求最大公约数
基本思想：
为了求两个正整数a,b的最大公约数，首先将两个正整数中较大者赋给 a ，较小者赋给b, 然后循环使用R=a mod b ， 直到模运算的余数b=0结束，则前一个余数就是二者的最大公约数。
证明：a=kb+r≡r mod b → a mod b=a-kb
设d是a，b的公因子，即d|a , d|b, 所以d|kb.
由d|a和d|kb，得d|(a mod b)， 故d是b和a mod b的公因子。
a和b的公因子集合与b和(a mod b)的公因子集合相同，故它们两组的最大公因子也相同。
gcd(55,22)=gcd(22,11)=gcd(11,0)=11
gcd(11,10)=gcd(10,1)=1
gcd(1970,1066)的计算过程
|--------|----------|----------|---------|
| 轮序 | x | y | R |
| 1 | 1970 | 1066 | 904 |
| 2 | 1066 | 904 | 162 |
| 3 | 904 | 162 | 94 |
| 4 | 162 | 94 | 68 |
| 5 | 94 | 68 | 26 |
| 6 | 68 | 26 | 16 |
| 7 | 26 | 16 | 10 |
| 8 | 16 | 10 | 6 |
| 9 | 10 | 6 | 4 |
| 10 | 6 | 4 | 2 |
| 11 | 4 | 2 | 0 |
| 12 | 2 | 0 | |
因此，gcd(1970,1066)=2
算法实现：
def gcd(a,b):
# *************begin************#
if a<b:
t=a
a=b
b=t
while a%b!=0:
temp=a%b
a=b
b=temp
return b
# **************end*************#
a = int(input("请输入值a:"))
b = int(input("请输入值b:"))
r = gcd(a,b)
print(r)
扩展的欧几里得算法------求乘法逆元
参考文章：扩展欧几里得算法求逆元python代码实现(含递归与非递归算法)_扩展欧几里得算法 非递归-CSDN博客
基本思想 ：
扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。因此，有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数；然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的一组整数特解。
以下是扩展欧几里得算法的python实现：
算法实现：
1.递归
#扩展欧几里得算法
def ext_gcd(a, b):
if b == 0:
return 1, 0, a
else:
x, y, gcd = ext_gcd(b, a % b) #递归直至余数等于0(需多递归一层用来判断)
x, y = y, (x - (a // b) * y) #辗转相除法反向推导每层a、b的因子使得gcd(a,b)=ax+by成立
return x, y, gcd
2.非递归
print("请输入一个整数：")
a = int(input())
print("请输入模？")
m = int(input())
if a < m:
a, m = m, a
x1, x2,x3= 1, 0, a
y1, y2,y3= 0, 1, m
while y3 != 0:
Q = x3//y3
t1, t2, t3 = x1 - Q*y1, x2 - Q*y2, x3 - Q*y3
x1, x2, x3 = y1, y2, y3
y1, y2, y3 = t1, t2, t3
print(x2)
else:
x1, x2, x3 = 1, 0, a
y1, y2, y3 = 0, 1, m
while y3 != 0:
Q = x3 // y3
t1, t2, t3 = x1 - Q*y1, x2 - Q*y2, x3 - Q*y3
x1, x2, x3 = y1, y2, y3
y1, y2, y3 = t1, t2, t3
print(x1)
以下是两种方法的运行验证结果
说明以上代码正确有效。