【LeetCode第115场双周赛】100029. 和带限制的子多重集合的数目 | 前缀和背包 | 中等

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给定一个长度为 n n n 的数组 n u m s nums nums 和一个区间左右端点 l , r l,r l,r 。

返回 n u m s nums nums 中子多重集合的和在闭区间 l , r l, r l,r 之间的 子多重集合的数目 。

子多重集合 指的是从数组中选出一些元素构成的 无序 集合，每个元素 x x x 出现的次数可以是 0 , 1 , . . . , o c c x 0, 1, ..., occx 0,1,...,occx 次，其中 o c c x occx occx 是元素 x x x 在数组中的出现次数。

注意：

• 如果两个子多重集合中的元素排序后一模一样，那么它们两个是相同的子多重集合 。
• 空集合的和是 0 。

数据范围

• 1 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 4 1\leq n\leq 2\cdot 10^4 1≤n≤2⋅104
• 0 ≤ n u m s i ≤ 2 ⋅ 1 0 4 , s u m ( n u m s ) ≤ 2 ⋅ 1 0 4 0\leq numsi\leq 2\cdot 10^4, sum(nums)\leq 2\cdot 10^4 0≤numsi≤2⋅104,sum(nums)≤2⋅104
• 0 ≤ l ≤ r ≤ 2 ⋅ 1 0 4 0\leq l\leq r\leq 2\cdot 10^4 0≤l≤r≤2⋅104

题解

本题从数据范围出发。

考虑 n u m s nums nums 总和不超过 20000 20000 20000 ，那么 n u m s nums nums 中不同的数有多少个呢？

考虑最小的情况下有 x x x 种数，每种数一个，那么总和为： x × ( x + 1 ) 2 \frac{x\times (x+1)}{2} 2x×(x+1)

当 x = 200 x=200 x=200 时， x × ( x + 1 ) 2 = 20100 > 20000 \frac{x\times (x+1)}{2}=20100>20000 2x×(x+1)=20100>20000 ，故至多有 199 199 199 个不同的数。

那么问题转换为一个分组背包问题，值为 v v v 的数的个数有 c c c 个，那么可以选择这个数 0 , v 0,v 0,v 次，这样可以转换成 01 01 01 背包，最多有 O ( n ) O(n) O(n) 个物品。

这样时间复杂度为： O ( n ∑ n u m s ) O(n\sum nums) O(n∑nums) ， 4 e 8 4e8 4e8 不能通过。

考虑从定义出发：
d p i j dpij dpij 表示前 i i i 种物品，容量使用为 j j j 的方案数。

那么 d p i j dpij dpij 的状态转移方程是什么呢？

d p i j = ∑ k d p i − 1 k dpij=\sum\limits_{k} dpi-1k dpij=k∑dpi−1k ，满足 0 ≤ j − k ≤ c n t i × v a l i 0\leq j-k\leq cnti\times vali 0≤j−k≤cnti×vali

其中 c n t i cnti cnti 表示第 i i i 个数的数量， v a l i vali vali 表示第 i i i 个数的值。

那么就是要求一个区间和了。

麻烦在于如果二维转移，时间复杂度还是 O ( n ∑ n u m s ) O(n\sum nums) O(n∑nums) 。

这里具体的实现是，先用完全背包计算前缀和，然后最多考虑每个数的次数 c n t i cnti cnti 次。

def func():
	dp = [0] * (r + 1)
	dp[0] = 1
	nums_cnt
	// 枚举每个数及其次数
	for v, c in nums_cnt;
		for i in range(x, r + 1):
			dp[i] += dp[i - 1]
		// 这样 dp[i] 就是考虑有 0 个，1 个，... i/v 个数 v 的集合
		// 做完了前缀和
		// 但是需要注意的是，数的数量只有 c 个
		// 所以我们还需要多的部分
		for i in range(r + 1, (c + 1) * v - 1, -1):
			// dp[i] 只能由 dp[i], dp[i-v], dp[i-2v], ..., dp[i-cv] 
			// 转移而来，所以对于 dp[i-(c+1)*v]存储的是 i-(c+1)*v 的前缀和，
			// 其并不能转移到 dp[i] ，删去即可
			dp[i] -= dp[i-(c + 1) * v]
	// 最后考虑 0 选择即可，有 zero + 1 种选法
	return (nums_cnt[0] + 1) * sum(dp[l:r+1])

时间复杂度： O ( 200 ∑ n u m s ) O(200\sum nums) O(200∑nums)

代码

class Solution {
public:
    int countSubMultisets(vector<int>& nums, int l, int r) {
        const int MAX = 20010;
        const int MOD = 1e9 + 7;
        vector<int> dp(r + 1);
        dp[0] = 1;
        
        vector<int> cnt(MAX);
        vector<int> vec;
        int zero = 0;
        for (int u: nums) {
            if (u == 0) {
                zero += 1;
                continue;
            }
            cnt[u] += 1;
            if (cnt[u] == 1) vec.push_back(u);
        }
        
        for (int u: vec) {
            for (int i = u; i <= r; ++i) {
                dp[i] += dp[i - u];
                if (dp[i] >= MOD) dp[i] -= MOD;
            }
            int left = (cnt[u] + 1) * u;
            for (int i = r; i >= left; --i) {
                dp[i] -= dp[i - left];
                if (dp[i] < 0) dp[i] += MOD;
            }
        }
        
        int ans = 0;
        for (int i = l; i <= r; ++i) {
            ans += dp[i];
            if (ans >= MOD) ans -= MOD;
        }
        
        ans = 1ll * ans * (zero + 1) % MOD;
        
        return ans;
    }
};