RSA加密攻击练习（一）
RSA相关前置知识概括
RSA算法主要是基于，将一个大数字做质数分解很困难，下面简单介绍一下所需的数学知识，主要写结论，做题拿来用即可，证明过程有兴趣可以自己研究。
欧拉函数
通常用 φ(n) 表示，表示小于n的正整数中与n互质的数的数目。
当n 为质数的时候，有公式 φ(n) = n - 1
当n 可以拆分成两个素数（p和q）的乘积的话，有公式 φ(n) = (p - 1)(q - 1)
因为大数拆分成两个素数的乘积很难，这一步是RSA算法安全性的关键。
同余
若存在整数a 和b ，除以m 的余数相同，则称a，b mod m 同余，记为a ≡ b (mod m)
模逆元
在模运算中，a^-1 不是1/a ，是 ax ≡ 1 (mod m) 中x的值。
在python中pow(a,-1,m) ，就是按照上面这样计算出x的值。
欧拉公式
若m 与n 互为质数，则满足m^φ(n) ≡ 1(mod n)
证明过程参考拉格朗日定理。
lcm 与 gcd
分别代表least common multiple（最小公倍数），greatest common devisor（最大公约数）。
互质
两个正整数a 、b 互质意味着能同时被它们整除的数只有1，即gcd(a, b) = 1
RSA加密解密过程
公钥和私钥都是密钥核心 和模数组成的。
假设公钥是 (e,n) ,私钥是 (d,n) ，其中n 是模数，另外的e 或者d就是密钥核心。
明文是m ，密文是c。
公钥是公开的，所有人可以随意获取，私钥是只有自己拥有的，必须保密不让其他人知道。
- 首先，发送方有公钥和要加密的明文，也就是e,n,m ，我们把它加密为c：
ini
m^e ≡ c (mod n)
c = m^e mod n- 然后，接收方有私钥和加密的密文，也就是 d,n,c ，解密以后就可以读取明文m：
ini
c^d ≡ (m^e)^d ≡ m (mod n)
m = c^d mod n这样的话，别人用了自己公钥加密的消息，就只有自己可以读取内容了，其他人无法读取。
私钥的计算方法
- 首先我们知道下面这个：
scss
m^e ≡ c (mod n)
c^d ≡ (m^e)^d ≡ m (mod n)- 所以我们可以推断出：
scss
m^(e*d) ≡ m (mod n)- 根据前文的欧拉公式我们知道有这样一个结论，在m 与n互质的时候：
scss
m^φ(n) ≡ 1 (mod n)- 于是我们联立2和3的公式发现以下结论：
ini
e*d =(k*φ(n)+1)
等价于：
e*d = 1 (mod φ(n))也就是说d 是 e模φ(n) 的乘法逆元。同时前文说了我们知道有公式 φ(n) = (p - 1)(q - 1) ，所以拿到p和q ，可以算出φ(n)，就可以求出d了。
常见的做题流程
通常我们是得知了c ,e ,n ，然后需要在不知道密钥d 的情况下，求加密前的明文m。
- 首先，我们通过这个小网站去拆分p和q ：factordb.com/index.php?q...
- 我们计算出phi ，也就是φ(n)：
css
phi = (p - 1) * (q - 1)3.通过python的inverse 函数或者pow 函数都可以算出d ，其中inverse 函数需要Crypto.Util.number组件：
ini
d = inverse(e, phi)
或者
d = pow(e, -1, phi)4.最后用pow函数计算结果：
ini
m = pow(c, d, n)通常m就是flag了。
实战刷题
由于现在还没有系统的刷完一个平台的RSA题目，所以没有对RSA所有的攻击手段全部总结详细。
暂时在这里把刷题碰上过的一些简单的e 和n有关的问题总结一下。
n自己就是个素数
如果n 自己就是一个大的素数，那么φ(n) = p - 1
n拆分出来是两个一样的素数
如果只生成了一个大素数，平方出来的n，那么φ(n) = p(p - 1)
n拆分出来是很多很多个素数的乘积
那么φ(n) = (p1 - 1)(p2 - 1)(p3 - 1)(p4 - 1)(p5 - 1)(p6 - 1)(p7 - 1)(p8 - 1)···，也就是每一个数字都要参与一次计算。
e=1时
明文会与密文相等，可以直接将密文c转化为字符串解密。
e=3时
通常在题目中，n是一个非常大的数字，而题目要求的flag通常不是一句很长的字符串，所以在公式 m^e ≡ c (mod n) 中，mod n 很有可能压根没有用上，因为flag （也就是m ）只取三次方，依旧是比n 小太多，求余数压根就是自己本身，所以flag^3 = c ,直接将c 开三次方即可求出明文，如果e 太小可以这样计算。这里可以使用gmpy2的iroot函数来计算。
总结
记录了一下rsa的基本原理，需要依赖的数学结论，以及做题的基本流程与目前遇到的部分题目的解题过程，主要是按照cryptohack网站的顺序来学习的，后面的题目暂时还没研究清楚，等后面的题目研究透彻了以后，再根据现有的各类RSA攻击类型来给题目进行归类总结。