算法设计与分析第二章作业

1. 描述最大字段和的分治算法

题目

思路

判断最大子段和，可以用分治的思想，每次将序列一分为二，选择两个序列的最大子段和。

但是这里还有一种可能，就是子段可以横跨两个子序列，所以我们的最大子段和就是：

MAX（左边序列最大字段和，横跨两序列的最大子段和，右边序列的最大子段和）。

对于左右两边的最大子段和，可以用分治递归的方法来做，临界条件就是序列中只剩一个数了，这时候最大子段和就是这个数，而递归函数就是对左右两边分别求最大子段和（调用自身），而且还得求跨序列的最大子段和，取三者的最大值来返回。

那么怎么求跨序列的最大子段和呢？其实很简单，首先要对原来的大序列添加几个指针，开头的是指针l，最右边的是指针r，因为要分治，所以再设置一个中间的指针mid，此时序列就可以分为两个部分，分别是（l，mid）和（mid+1，r），这时候的跨序列子段，必须包含mid和mid+1这两个地方，当然也可以向左或向右延申，所以，我们只需要求出从mid开始向左延申的最大字段和，还有从mid+1开始向右延申的最大子段和，将两者相加，就能得到跨序列的最大子段和了。

思路很好理解，照着上面的描述画出图来就一目了然了。下面来看看代码实现吧。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5;
int n, a[N];
int maxSum (int left, int right) {
    if (left == right)
        return a[left];
    int mid = left + right >> 1;
    int lmax = maxSum (left, mid);
    int rmax = maxSum (mid + 1, right);
    int sum = a[mid];
    int clmax = a[mid];
    for (int i = mid - 1; i >= left; i--) {
        sum += a[i];
        if (sum > clmax)
            clmax = sum;
    }
    sum = a[mid + 1];
    int crmax = a[mid + 1];
    for (int i = mid + 2; i <= right; i++) {
        sum += a[i];
        if (sum > crmax)
            crmax = sum;
    }
    int cmax = clmax + crmax;
    int maxsum = max (cmax, max (lmax, rmax));
    if (maxsum < 0)
        maxsum = 0;
    return maxsum;
}
int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];
    cout << maxSum (0, n - 1);
    return 0;
}

2. 分析该算法的时间复杂度

分解子问题：O(1)

求解子问题：2T(n/2)

合并子问题：O(n)

故时间复杂度为T(n)=2T(n/2)+O(n)=nlogn

3. 对分治法的体会和思考

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

其中的划分再击破，和递归的分解再解决异曲同工，其实同样用到了递归的思想，只不过分治法先分再治，最后还得合并。