图的应用 - 技术栈

最小生成树（最小代价树）

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和)也可能不同。设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树(Minimum-Spanning-Tree, MST)。

最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的
最小生成树的边数=顶点数一1。砍掉一条则不连通，增加一条边则会出现回路
如果一个连通图本身就是―棵树，则其最小生成树就是它本身
只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

Prim算法（普里姆）

Prim 算法（普里姆): 从某一个顶点开始构建生成树; 每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。 3+5+1+4+2=15 时间复杂度：O(|V|2次方）适合用于边稠密图

Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

Kruskal算法(克鲁斯卡尔) 每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通(原本已经连通的就不选) 直到所有结点都连通时间复杂度：O(|E|log|E|) 适合用于边稀疏图

Prim算法的实现思想

更新还没加入的各个顶点的lowCast值

第二轮：更新还没加入的各个顶点的lowCast值第3轮：第4轮：第5轮：

Kruskal算法的实现思想

初始︰将各条边按权值排序第1轮:检查第1条边的两个顶点是否连通(是否属于同一个集合) 第2轮︰检查第2条边的两个顶点是否连通(是否属于同一个集合) 第3轮︰检查第3条边的两个顶点是否连通(是否属于同一个集合) 第4轮︰检查第4条边的两个顶点是否连通(是否属于同一个集合) 第5轮︰检查第5条边的两个顶点是否连通(是否属于同一个集合) ..... 每轮判断两个顶点是否属于同一集合

最短路径问题

"G港"是个物流集散中心，经常需要往各个城市运东西，怎么运送距离最近？ --单源最短路径问题各个城市之间也需要互相往来，相互之间怎么走距离最近？ --每对顶点间的最短路径

单源最短路径--BFS算法（无权图）、Dijkstra算法（带权图、无权图）各顶点间的最短路径--Floyd算法（带权图、无权图）

BFS求无权图的单源最短路径

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bool visited[MAX_VERTEX_NUM];//访问标记数组
//广度优先遍历
void BFS(Graph G,int v){//从顶点v出发，广度优先遍历图G
	visit(v);			//访问初始顶点v
    visited[v]=TRUE;	//对v做已访问标记
    Enqueue(Q,v);		//顶点v入队列Q
    while(!isEmpty(Q)){
        DeQueue(Q,v);	//顶点v出队列
        for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
            //检测v所有邻接点
            if(!visited[w]){	//w为v的尚未访问的邻接顶点
                visit(w);		//访问顶点w
                visited[w]=TRUE;//对w做已访问标记
                EnQueue(Q,w);	//顶点w入队列
            }
    }
}

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//求顶点u到其他顶点的最短路径
void BFS_MIN_Distance(Graph G,int v){//从顶点v出发，广度优先遍历图G
	//d[i]表示从v到i结点的最短路径
    for(i=0;i<G.vexnum;++i){
        d[i]=∞; //初始化路径长度
        path[i]=-1;//最短路径从哪个顶点过来
    }
    d[u]=0;
    visited[v]=TRUE;	//对v做已访问标记
    Enqueue(Q,v);		//顶点v入队列Q
    while(!isEmpty(Q)){
        DeQueue(Q,v);	//顶点v出队列
        for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
            //检测v所有邻接点
            if(!visited[w]){	//w为v的尚未访问的邻接顶点
                d[w]=d[v]+1；	//路径长度加1
                path[w]=u;		//最短路径应从v到w
                visited[w]=TRUE;//对w做已访问标记
                EnQueue(Q,w);	//顶点w入队列
            }
    }
}

最短路径问题-Dijkstra算法

Dijkstra算法 检查所有邻接自Vi的顶点，若其final值为false，则更新dist和path信息

检查所有邻接自Vi的顶点，若其final值为false，则更新dist和path信息 V0到V2的最短（带权）路径长度为：dist[2]=9 通过path[ ]可知，V0到V2的最短（带权）路径：V0->V4->V1->V2 Dijkstra算法不适用于有负权值的带权图

最短路径-Floyd算法

Floyd算法：求出每一对顶点之间的最短路径 #0：若允许在V0中转，最短路径是？ #1：若允许在V0、V1中转，最短路径是？ #2：若允许在V0、V1、V2中转，最短路径是？ Floyd算法核心代码

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//....准备工作，根据图的信息初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){		//考虑以Vk作为中转点
	for(int i=0;i<n;i++){	//遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){//以Vk为中转点的路径更短
                A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];//更新最短路径长度
                path[i][j]=k;			//中转点
            }、
        }
    }
}

Floyd算法不能解决带有"负权回路"的图（有负权值的边组成回路），这种图有可能没有最短路径

有向无环图描述表达式

有向无环图：若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图 Step4:从底向上逐层检查同层的运算符是否可以合体

拓扑排序

AOV网 AOV网（Activity On Vertex NetWork，用顶点表示活动的网）用DAG网（有向无环图）表示一个工程。顶点表示活动，有向边<Vi,Vj>表示活动Vi必须先语活动Vj进行 拓扑排序 拓扑排序的实现： 1：从AOV网中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出 2：从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边 3：重复1和2直到当前的AOV网为空或当前网中不存在无前驱的顶点为止

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#define MaxVertexNum 100 //图中顶点数目的最大值
typedef struct ArcNode{  //边表结点
	int adjvex;		//该弧所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *nextarc;	//指向下一条弧的指针
}ArcNode;
typedef struct VNode{	//顶点表结点
	VertexType data;	//顶点信息
    ArcNode *firstarc;	//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct{
    AdjList vertices;	//邻接表
    int vexnum,arcnum;	//图的顶点数和弧数
}Graph;		//Graph是以邻接表存储的图类型
bool TopologicalSort(Graph G){
	InitStack(S);	//初始化栈，存储入度为0的顶点
    for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
        if(indegree[i]==0)
            Push(S,i);	//将所有入度为0的顶点进栈
    int count=0;		//计数，记录当前已经输出的顶点数
    while(!isEmpty(S)){	//栈不空，则存在入度为0的顶点
        Pop(S,i);	//栈顶元素出栈
        print[count++]=i;	//输出顶点i
        for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){
        	//将所有i指向的顶点的入度减1，并且将入度减为0的顶点压入栈s
            v=p->adjvex;
            if(!(--indegree[v]))
                Push(S,v);	//入度为0，则入栈
        }
    }
    if(count<G.vexnum)
        return false;	//排序失败，有向图中有回路
    else 
        return true;	//拓扑排序成功
}

逆拓扑排序的实现（DFS算法）

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void DFSTraverse(Graph G){	//对图G进行深度优先遍历
	for(v=0;v<G.vexnum;++v)	
        visited[v]=FALSE;	//初始化已访问标记数据
    for(v=0;v<G.vexnum;++v)	//本代码中是从v=0开始遍历
        if(!visited[v])
            DFS(G,v);
}
void DFS(Graph G,int v){//从顶点v出发，深度优先遍历图G
	visited[v]=TRUE;	//设已访问标记
    for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighor(G,v,w))
        if(!visited[w]){	//w为u的尚未访问的邻接顶点
        DFS(G,w);
        }
    print(v);//输出顶点
}

关键路径

AOE网 在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销（如完成活动所需的时间），称之为用边表示活动的网络，简称AOE网（Activity On Edge NetWork） AOE网具有以下两个性质： 1：只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始 2：只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时，该顶点所代表的事件才能发生。另外，有些活动是可以并行进行的。

从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，而把关键路径上的活动称为关键活动完成整个工程的最短时间就是关键路径的长度，若关键活动不能按时完成，则整个工程的完成时间就会延长 求关键路径的步骤 求所有事件的最早发生时间 求所有事件的最迟发生时间 求所有活动的最早发生时间 求所有活动的最迟发生时间 求所有活动的时间余量 关键活动：a2、a5、a7 关键路径：V1->V3->V4->V6 关键活动、关键路径的特性 若关键活动耗时增加，则整个过程的工期将增长缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期当缩短到一定程度时，关键活动可能会变成非关键活动可能有多条关键路径，只提高一条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个工程的工期，只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到缩短工期的目的