数据结构中邻接矩阵中的无向图和有向图

一、图的基本概念（先理解这个！）

1. 什么是图？

图 = 顶点（Vertex） + 边（Edge）
顶点：表示实体（如城市、人物）
边：表示顶点间的关系（如道路、朋友关系）

2. 无向图 vs 有向图

无向图：边没有方向，像双向道路
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A — B 表示 A和B互相连接
```
有向图：边有方向，像单行线
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```
A → B 表示 A指向B，但B不指向A
```

二、邻接矩阵是什么？

1. 基本概念

邻接矩阵是一个二维表格（矩阵），用来记录顶点之间是否相连
行和列都代表图中的顶点
矩阵中的值：
- 1（或权重）：表示相连
- 0：表示不相连

2. 简单比喻

像一份「社交关系调查表」：
- 行：我是谁
- 列：我认识谁
- 表格内容：我是否认识对方

三、无向图的邻接矩阵（详细示例）

1. 示例图结构（城市交通网）：

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    A
   / \
  B — C
   \ /
    D

顶点：A, B, C, D

边：A-B, A-C, B-C, B-D, C-D

2. 邻接矩阵构建：

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    A  B  C  D
  A 0  1  1  0
  B 1  0  1  1
  C 1  1  0  1
  D 0  1  1  0

3. 详细解读：

A行：A与B相连(1)，A与C相连(1)，A与D不相连(0)
B行：B与A相连(1)，B与C相连(1)，B与D相连(1)
对称性 ：因为是无向图，矩阵是对称的（对角线对称）

4. 为什么对称？

A连B 等价于 B连A
所以 matrix[A][B] = matrix[B][A] = 1

四、有向图的邻接矩阵（详细示例）

1. 示例图结构（微博关注关系）：

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  A → B
  ↓   ↑
  C → D

A关注B、C
C关注D
D关注B

2. 邻接矩阵构建：

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    A  B  C  D
  A 0  1  1  0
  B 0  0  0  0
  C 0  0  0  1
  D 0  1  0  0

3. 详细解读：

A行：A→B(1)，A→C(1)，A→D(0)
B行：B没有关注任何人（全是0）
C行：C→D(1)
D行：D→B(1)

4. 关键特点：

不对称 ：A关注B，但B不关注A → matrix[A][B]=1但matrix[B][A]=0
方向性：行→列（行指向列）

五、带权图的邻接矩阵（扩展知识）

1. 示例（城市间距离）：

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    A
  5/ \3
  B — C
  2\ /4
    D

2. 邻接矩阵（记录权重）：

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    A   B   C   D
  A 0   5   3   ∞
  B 5   0   ∞   2
  C 3   ∞   0   4
  D ∞   2   4   0

∞ 表示不相连（或距离无穷远）
数字表示实际距离

六、邻接矩阵的优缺点

优点：

快速判断是否相邻 ：
matrix[i][j] == 1? → O(1)时间
适合稠密图（边很多的情况）
方便计算（如求顶点的度）

缺点：

空间浪费 ：

对于n个顶点，需要n²空间，但很多位置是0
添加/删除顶点麻烦：需要重建矩阵

七、实战练习（检验理解）

练习1：无向图

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  1 — 2
  |   |
  3 — 4

请写出邻接矩阵：

答案：

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    1  2  3  4
  1 0  1  1  0
  2 1  0  0  1
  3 1  0  0  1
  4 0  1  1  0

练习2：有向图

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  1 → 2
  ↓   ↓
  3 → 4

请写出邻接矩阵：

答案：

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    1  2  3  4
  1 0  1  1  0
  2 0  0  0  1
  3 0  0  0  1
  4 0  0  0  0

八、常见考试问题

Q1：如何计算无向图顶点的度？

度 = 顶点连接边的数量
在邻接矩阵中 = 对应行（或列）中1的个数

示例：前面无向图中B的度 = B行中1的个数 = 3

Q2：如何计算有向图顶点的入度和出度？

出度：从顶点指出的边数 = 对应行中1的个数
入度：指向顶点的边数 = 对应列中1的个数

示例：前面有向图中B的入度 = B列中1的个数 = 2（A→B, D→B）

通过以上详细的示例和解析，你应该能够：

区分无向图和有向图的邻接矩阵
自己构建给定图的邻接矩阵
从邻接矩阵还原图结构
计算顶点的度、入度、出度