PCA降维Python demo

读这篇15年CVPR的文章🤣🤣🤣🤣🤣

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@inproceedings{liu2015sparse,
	title={Sparse convolutional neural networks},
	author={Liu, Baoyuan and Wang, Min and Foroosh, Hassan and Tappen, Marshall and Pensky, Marianna},
	booktitle={Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition},
	pages={806--814},
	year={2015}
}

原文有这么一句话:

Decompose K and R using Principal Component Analysis (PCA), with P, Qi the principal components.

就，PCA降维我知道，这个还能做矩阵分解? 算了，顺便回忆下PCA的流程，为春招做准备(卑微组加一分😂😂😂

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(1942)

本意是想绘制一个椭圆

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point_num = 13000
x_y = np.random.randn(point_num, 2) * 5
bool_idx = (x_y*x_y / np.array([64, 1])).sum(1) < 1
x_y = x_y[bool_idx]

plt.scatter(x_y[:, 0], x_y[:, 1])
plt.show()

如果此时给这些点组成的矩阵降维的话，由于样本在水平方向的分布比竖直方向的分布更加散得开，所以降成1维之后，留下的是坐标x，也就是这个图的样子:

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# 由于点太多，会使这个图显示一条线段，于是此处 point_num = 130
plt.scatter(x_y[:, 0], y=np.zeros_like(x_y[:, 0]))

(记住这个图，后边有用🚀🚀🚀)

给它逆时针旋转30度

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# 将椭圆逆时针旋转 30 度
theta = np.pi / 6
rotate = [
    [ np.cos(theta), np.sin(theta)],
    [-np.sin(theta), np.cos(theta)],
]
rotate = np.array(rotate)
x_y_new = np.matmul(x_y, rotate)

plt.figure()
plt.scatter(x_y_new[:, 0], x_y_new[:, 1])
plt.show()

算一下协方差矩阵

Σ = 1 n − 1 ( ( X − x ˉ ) T ( X − x ˉ ) ) \Sigma = \frac{1}{n-1} \left ( \left ( X - \bar{x} \right )^T \left ( X - \bar{x} \right ) \right ) Σ=n−11((X−xˉ)T(X−xˉ))

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x_bar = x_y_new.mean(axis=0)
cov_mat = np.matmul((x_y_new - x_bar).T, x_y_new - x_bar)
cov_mat

array([[13718.36010864,  7691.12792157],
       [ 7691.12792157,  4860.68354368]])

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# 计算特征值和特征向量

val, vec = np.linalg.eig(cov_mat)
val, vec # vec 是两个列向量

(array([18164.65885261,   414.38479971]),
 array([[ 0.8657414 , -0.50049159],
        [ 0.50049159,  0.8657414 ]]))

由于原特征只有两维，所以我们直接取第一个特征值 比较大的特征向量，进行降维操作

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data_low = np.matmul(x_y_new, vec[:, 0][:, None])
plt.scatter(x=data_low, y=np.zeros_like(data_low))

降维之后的图，和前面那个图一样

其实可以看下，PCA找的的特征向量和之前的旋转角度有啥关系:

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# plt.scatter(x_y_new[:, 0], x_y_new[:, 1])
# 由于数据量有限, 所以PCA找到的旋转角度有一定误差
plt.arrow(0, 0, vec[:, 0][0], vec[:, 0][1], length_includes_head=False, head_width=0.05, fc='b', ec='k')
plt.arrow(0, 0, np.cos(theta), np.sin(theta), length_includes_head=False, head_width=0.05, fc='b', ec='k')
plt.show()

# matplotlib 箭头绘制参考自:
# https://zhuanlan.zhihu.com/p/452828891

可以看到 point_num = 130 时，二者差一丢丢重合

当 point_num = 130000 时，二者基本重合

感觉原文可能是想说，奇异值分解(SVD)?

对中心化后的样本矩阵做SVD的过程就是PCA

有参考自：https://blog.csdn.net/qq_29153321/article/details/105361428