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记忆化搜索的原理其实很简单，简单来说就是对暴力搜索的一些优化，因此整体上来讲难度不高
记忆化搜索
所谓记忆化搜索，直白来说就是一个带有备忘录的递归
如何实现记忆化搜索？
- 添加一个备忘录
- 递归每次返回的时候，都把结果放在备忘录当中
- 每次进行递归前，都到备忘录中看一看
下面用一个经典题目诠释记忆化搜索的意义
斐波那契数列
- 递归
cpp
class Solution
{
public:
// 递归
int fib(int n)
{
if(n == 0 || n == 1) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
};- 动态规划
cpp
class Solution
{
public:
// 动态规划
int fib(int n)
{
if(n == 0 || n == 1)
return n;
vector<int> v(n + 1);
v[0] = 0, v[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
v[i] = v[i - 1] + v[i - 2];
return v[n];
}
};- 记忆化搜索
cpp
class Solution
{
public:
// 记忆化搜索
int memo[31];
int fib(int n)
{
// 先到备忘录中看看
if(memo[n] != 0)
return memo[n];
if(n == 0 || n == 1)
{
memo[n] = n;
return memo[n];
}
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
};从上面这个例题能感觉出来，记忆化搜索其实就是在递归的基础上进行了一些优化，没有什么本质性的新增内容，基于这个原因，用下面的例题来进一步学习记忆化搜索
例题
不同路径
暴力搜索
cpp
class Solution
{
public:
int dfs(int m, int n, int p, int q)
{
if(m > p || n > q) return 0;
if(m == p && n == q) return 1;
return dfs(m + 1, n, p, q) + dfs(m, n + 1, p, q);
}
int uniquePaths(int m, int n)
{
return dfs(0, 0, m - 1, n - 1);
}
};采用记忆化搜索进行一定程度的优化
cpp
class Solution
{
public:
int arr[101][101];
int dfs(int m, int n, int p, int q)
{
if(arr[m][n] != 0) return arr[m][n];
if(m > p || n > q) return 0;
if(m == p && n == q) return 1;
int down = dfs(m + 1, n, p, q);
int right = dfs(m, n + 1, p, q);
arr[m + 1][n] = down;
arr[m][n + 1] = right;
return down + right;
}
int uniquePaths(int m, int n)
{
return dfs(0, 0, m - 1, n - 1);
}
};最长递增子序列
暴力搜索
cpp
class Solution
{
public:
vector<int> path;
int maxSize;
int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
{
dfs(0, nums, INT_MIN);
return maxSize;
}
void dfs(int pos, vector<int>& nums, int prev)
{
maxSize = max(maxSize, (int)path.size());
for (int i = pos; i < nums.size(); i++)
{
if (nums[i] > prev)
{
path.push_back(nums[i]);
dfs(i + 1, nums, nums[i]);
path.pop_back();
}
}
}
};记忆化搜索
cpp
class Solution
{
public:
int memo[2501];
int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
{
int ret = 0;
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
ret = max(ret, dfs(i, nums));
}
return ret;
}
int dfs(int pos, vector<int>& nums)
{
if(memo[pos] != 0) return memo[pos];
int ret = 1;
for(int i = pos + 1; i < nums.size(); i++)
{
if(nums[i] > nums[pos])
{
ret = max(ret, dfs(i, nums) + 1);
}
}
memo[pos] = ret;
return ret;
}
};猜数字大小
暴力搜索
cpp
class Solution
{
public:
int getMoneyAmount(int n)
{
return dfs(1, n);
}
int dfs(int begin, int end)
{
if(begin >= end) return 0;
int res = INT_MAX;
// 选一个节点作为根节点
for(int i = begin; i <= end; i++)
{
// 找左子树花费的钱
int left = i + dfs(begin, i - 1);
// 找右子树花费的钱
int right = i + dfs(i + 1, end);
res = min(res, max(left, right));
}
return res;
}
};记忆化搜索优化
cpp
class Solution
{
public:
vector<vector<int>> memo;
int getMoneyAmount(int n)
{
memo.resize(n + 1, vector<int>(n + 1));
return dfs(1, n);
}
int dfs(int begin, int end)
{
if(begin >= end) return 0;
if(memo[begin][end] != 0) return memo[begin][end];
int res = INT_MAX;
// 选一个节点作为根节点
for(int i = begin; i <= end; i++)
{
// 找左子树花费的钱
int left = i + dfs(begin, i - 1);
// 找右子树花费的钱
int right = i + dfs(i + 1, end);
res = min(res, max(left, right));
}
memo[begin][end] = res;
return res;
}
};矩阵中的最长递增路径
记忆化搜索
cpp
class Solution
{
public:
int m, n;
int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
vector<vector<int>> memo;
int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix)
{
m = matrix.size();
n = matrix[0].size();
memo.resize(m, vector<int>(n));
int res = 0;
for(int i = 0; i < m; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
res = max(res, dfs(i, j, matrix));
}
}
return res;
}
// 从第i行和第j列的这个元素开始的最长递增路径
int dfs(int i, int j, vector<vector<int>>& matrix)
{
if(memo[i][j] != 0) return memo[i][j];
int ret = 1;
// 长度等于其四周的元素的最长递增路径
for(int k = 0; k < 4; k++)
{
int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
// 如果坐标合法并且是递增
if(x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && matrix[x][y] > matrix[i][j])
{
ret = max(ret, 1 + dfs(x, y, matrix));
}
}
memo[i][j] = ret;
return ret;
}
};