引子
先来讲个故事······
话说在神奇的OI大陆上，有一只paper mouse
有一天，它去商场购物，正好是11.11，商店有活动
它很荣幸被选上给1832抽奖
在抽奖箱里，有3个篮蓝球，12个红球
paper mouse能抽3次
蒟蒻的paper mouse就疑惑了:抽到至少1个篮蓝球的概率是多少？？？
Answer:
总共有15个球
只抽到1个篮蓝球的概率是
0.435165（很好理解吧，在4个篮蓝球里取一个，再在11个红球里面取3个，总共是在15个里面取4个）
抽到2个篮蓝球的概率是
0.079121
抽到3个篮蓝球的概率是
0.002198
所以总概率就是三者之和，即0.435165+0.079121+0.002198=0.516484
我们也可以反过来分析：如果paper mouse运气爆棚，一个篮蓝球都没有抽到
那么其对立事件就一定会有至少一个篮蓝球
所以概率就是:1-
1-0.483516=0.516484
也就是说，paper mouse有接近
的概率给心爱的1832送上礼物······
概率
概率就是随机事件出现的可能性大小
For example，上面的故事里就涉及到概率
若某种事件重复了N次，其中A事件出现了M次，出现A事件的概率就是
同时，
，用
表示
即：
1.1 条件概率与全概率
条件概率公式：
如果事件A发生的概率为P(A)，事件B单独发生的概率为P(b)
若B必须在A发生之后发生，则B发生的概率就是条件概率，P(B)=P(A|b)=
（是不是还比较好理解？真正shit的才刚刚开始）
全概率公式：
如果事件 B1, B2,⋯, Bn 构成一个完整的样本空间，且两两互斥，P(Bi) > 0。 则对于任意事件 A 有：
，这就是全概率公式
思想就是：P(A)不是很好求，但是把P(A)拆开计算P(A|Bi)P(Bi)就相对好算一些
举个例子：
paper mouse去表白1832了
他每次写情书，1832都有0.5的概率看见
而第一次看见，1832有0.2的概率同意他
第二次看见时，1832有0.5的概率同意他
第三次看见时，1832一定会同意他的请求
求paper mouse获得1832爱情的概率
通过全概率公式：
事件A是paper mouse陷入爱河
事件集合B是：B={
}，
表示paper mouse表白了i次
所以paper mouse表白成功的概率高达0.3！（喜）
期望
炸裂的东西来了
先看看期望的定义
1.1 期望定义
如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随 机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值 Xi 与对应的概率 P(Xi) 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望，记为 E(X) ，简称期望。
怎么样？是不是蛮有意思的？
换一种通俗但不精确的方式阐述一下（涉及下定义内容，非xxs请谨慎观看）：
期望就是 某件事发生的概率集合中的每一个数 对其对应值的乘积 的和
一个普通骰子，众所周知有六面，对应1~6
每一面转到的概率就是 
，所以：
所以也可以这么说：
数学期望可以理解为某件事情大量发生之后的平均结果。
来个难点的：
设一张彩票为 2 元，每售 100000 张开奖，假每张彩票有一个对应的六位数号码，奖次如下：
- 安慰奖：奖励 4 元，中奖概率0.1
- 幸运奖：奖励 20 元，中奖概率 0.01
- 手气奖：奖励 200 元，中奖概率 0.001
- 一等奖：奖励 2000 元，中奖概率 0.0001
- 特等奖：奖励 20000 元，中奖概率 0.00001
那公司到底是亏还是赚呢？
我们来简单计算一下，对于每一位购买彩票的用户，公司可能支出为：
所以公司期望赚0.8元
1.2 期望的线性性质
设 X, Y 是任意两个随机变量，则有
- E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
- E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )
证明略
再举个栗子：
同时仍一颗骰子的期望为3.5
同时扔两颗骰子的概率是3.5+3.5=7
1.3 条件期望与全期望公式
一个经典xxs的题：
A班平均分为x分，B班平均分为y分
求A、B两个班的平均分
显而易见的：A、B班的平均分不能直接(x+y)/2
而是：
，其中a表示A班人数，b表示B班人数
期望也差不多。
友好的看一下全期望公式：
设 X 是一个离散型随机变量， 当 X = xi 时，随机变量 Y 可能包含多种情况 y1, y2,⋯, yk，随机变量 Y 的条件 数学期望为：
对于随机变量 X 有很多取值 x1, x2,⋯, xa，Y 有很多取值 y1, y2,⋯, yb。
全期望公式：
例如，一项工作由甲一个人完成，平均需要 4 小时，而乙有 0.4 的概率来帮忙，两个人完成平均只需要 3 小时。
若用 X 表示完成这项工作的人数，而 Y 表示完成的这项工作的期望时间（单位小时）
由于这项工作要么由一 个人完成， 要么由两个人完成，那么这项工作完成的期望时间
(例题下次更新)