2304. 网格中的最小路径代价 : 从「图论最短路」过渡到「O(1) 空间的原地模拟」

题目描述

这是 LeetCode 上的 2304. 网格中的最小路径代价 ，难度为中等。

Tag : 「最短路」、「图」、「模拟」、「序列 DP」、「动态规划」

给你一个下标从 0 开始的整数矩阵 grid，矩阵大小为 m x n，由从 0 到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m × n − 1 m \times n - 1 </math>m×n−1 的不同整数组成。

你可以在此矩阵中，从一个单元格移动到下一行的任何其他单元格。

如果你位于单元格 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x , y ) (x, y) </math>(x,y) ，且满足 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x < m − 1 x < m - 1 </math>x<m−1，你可以移动到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x + 1 , 0 ) (x + 1, 0) </math>(x+1,0), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x + 1 , 1 ) (x + 1, 1) </math>(x+1,1), ..., <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x + 1 , n − 1 ) (x + 1, n - 1) </math>(x+1,n−1) 中的任何一个单元格。注意：在最后一行中的单元格不能触发移动。

每次可能的移动都需要付出对应的代价，代价用一个下标从 0 开始的二维数组 moveCost 表示，该数组大小为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( m × n ) × n (m \times n) \times n </math>(m×n)×n ，其中 moveCost[i][j] 是从值为 i 的单元格移动到下一行第 j 列单元格的代价。从 grid 最后一行的单元格移动的代价可以忽略。

grid 一条路径的代价是：所有路径经过的单元格的值之和加上所有移动的代价之和。从第一行任意单元格出发，返回到达最后一行任意单元格的最小路径代价。

示例 1：

css 复制代码

输入：grid = [[5,3],[4,0],[2,1]], moveCost = [[9,8],[1,5],[10,12],[18,6],[2,4],[14,3]]

输出：17

解释：最小代价的路径是 5 -> 0 -> 1 。
- 路径途经单元格值之和 5 + 0 + 1 = 6 。
- 从 5 移动到 0 的代价为 3 。
- 从 0 移动到 1 的代价为 8 。
路径总代价为 6 + 3 + 8 = 17 。

示例 2：

lua 复制代码

输入：grid = [[5,1,2],[4,0,3]], moveCost = [[12,10,15],[20,23,8],[21,7,1],[8,1,13],[9,10,25],[5,3,2]]

输出：6

解释：
最小代价的路径是 2 -> 3 。 
- 路径途经单元格值之和 2 + 3 = 5 。 
- 从 2 移动到 3 的代价为 1 。 
路径总代价为 5 + 1 = 6 。

提示：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m = g r i d . l e n g t h m = grid.length </math>m=grid.length
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n = g r i d [ i ] . l e n g t h n = grid[i].length </math>n=grid[i].length
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2 < = m , n < = 50 2 <= m, n <= 50 </math>2<=m,n<=50
grid 由从 0 到 m * n - 1 的不同整数组成
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m o v e C o s t . l e n g t h = m × n moveCost.length = m \times n </math>moveCost.length=m×n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m o v e C o s t [ i ] . l e n g t h = n moveCost[i].length = n </math>moveCost[i].length=n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = m o v e C o s t [ i ] [ j ] < = 100 1 <= moveCost[i][j] <= 100 </math>1<=moveCost[i][j]<=100

建新图 + 建虚拟点 + 堆优化 Dijkstra

注意：可以直接使用解法二的方法，但先认真看完本做法，再去看解法二，会有相当丝滑的体验。

每次移动，实际路径权值 = 经过边的权值 + 目的地的权值。

利用原图，构建新图：每个单元格视为一个点，除最后一行外，每个点对下一行的所有点连一条有向边，边权 = 原图中该边的权值 + 原图中该目的地的权值。

分析新图中的点边数量：

点：共 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m × n m \times n </math>m×n 个点，数量为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2.5 × 1 0 3 2.5 \times 10^3 </math>2.5×103
边：不算最后一行，共 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( m − 1 ) × n (m - 1) \times n </math>(m−1)×n 个点，这些点与下一行的每个点均有一条有向边，合计 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( m − 1 ) × n 2 (m - 1) \times n^2 </math>(m−1)×n2 条边，数量为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1.25 × 1 0 5 1.25 \times 10^5 </math>1.25×105

原问题转换为：求点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> j j </math>j 的最短路，其中点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 所在位置为第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 行，点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> j j </math>j 所在位置为第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m − 1 m - 1 </math>m−1 行。

这似乎是一个「多源汇最短路」问题？但求解多源汇最短路的 Floyd 算法是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 3 ) O(n^3) </math>O(n3) 的，会超时。

实际上，我们也并不真的关心图中任意点之间的最短路，仅仅关心第一行到最后一行的最短路。

因此，我们可通过建立"虚拟源点"和"虚拟汇点"的方式，来将"多源汇最短路"问题转换为"单源最短路"问题。

具体的，我们创建一个"虚拟源点"，该点向所有第一行的点连权值为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g r i d [ 0 ] [ i ] grid[0][i] </math>grid[0][i] 的有向边；同时创建一个"虚拟汇点"，最后一行的所有点向该点连权值为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 的有向边。

问题进一步转化为：求"虚拟源点"到"虚拟汇点"的最短路。

至此，我们通过 建新图 -> 创建虚拟源汇点（转换为单源最短路）-> 套用单源最短路算法 解决本题。

将新图中点的数量记为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n，边数记为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m m </math>m，朴素 Dijkstra 复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 2 ) O(n^2) </math>O(n2)，堆优化的 Dijkstra 的复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( m log ⁡ n ) O(m\log{n}) </math>O(mlogn)，当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m < n 2 m < n^2 </math>m<n2 （相对稀疏）时，优先使用堆优化 Dijkstra。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    int N = 50 * 50 + 2, M = 50 * 50 * 50, idx = 0, n;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        w[idx] = c;
        he[a] = idx++;
    }
    public int minPathCost(int[][] grid, int[][] moveCost) {
        int N = grid.length, M = grid[0].length;
        int S = N * M, T = S + 1;
        n = N * M + 2;
        Arrays.fill(he, -1);
        //「虚拟源点」向「第一行」进行连边
        for (int i = 0; i < M; i++) add(S, grid[0][i], grid[0][i]);
        // 转换原图
        for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                int a = grid[i][j];
                for (int k = 0; k < M; k++) {
                    int b = grid[i + 1][k];
                    add(a, b, moveCost[a][k] + b);
                }
            }
        }
        //「最后一行」向「虚拟汇点」进行连边
        for (int i = 0; i < M; i++) add(grid[N - 1][i], T, 0);
        // 最短路
        int[] dist = dijkstra(S);
        return dist[T];
    }
    int[] dijkstra(int x) {
        // 起始先将所有的点标记为「未更新」和「距离为正无穷」
        int[] dist = new int[n];
        Arrays.fill(dist, 0x3f3f3f3f);
        boolean[] vis = new boolean[n];
        dist[x] = 0;
        // 使用「优先队列」存储所有可用于更新的点
        // 以 (点编号, 到起点的距离) 进行存储，优先弹出「最短距离」较小的点
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[1]-b[1]);
        q.add(new int[]{x, 0});
        while (!q.isEmpty()) {
            // 每次从「优先队列」中弹出
            int[] poll = q.poll();
            int u = poll[0], step = poll[1];
            // 如果弹出的点被标记「已更新」，则跳过
            if (vis[u]) continue;
            // 标记该点「已更新」，并使用该点更新其他点的「最短距离」
            vis[u] = true;
            for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] <= dist[u] + w[i]) continue;
                dist[j] = dist[u] + w[i];
                q.add(new int[]{j, dist[j]});
            }
        }
        return dist;
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    static const int N = 50 * 50 + 2, M = 50 * 50 * 50;
    int he[N], e[M], ne[M], w[M], idx, n, INF = 0x3f3f3f3f;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        w[idx] = c;
        he[a] = idx++;
    }
    int minPathCost(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<int>>& moveCost) {
        int N = grid.size(), M = grid[0].size();
        int S = N * M, T = S + 1;
        n = N * M + 2;
        fill(he, he + n, -1);
        //「虚拟源点」向「第一行」进行连边
        for (int i = 0; i < M; i++) add(S, grid[0][i], grid[0][i]);
        // 转换原图
        for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                int a = grid[i][j];
                for (int k = 0; k < M; k++) {
                    int b = grid[i + 1][k];
                    add(a, b, moveCost[a][k] + b);
                }
            }
        }
        //「最后一行」向「虚拟汇点」进行连边
        for (int i = 0; i < M; i++) add(grid[N - 1][i], T, 0);
        // 最短路
        vector<int> dist = dijkstra(S);
        return dist[T];
    }
    vector<int> dijkstra(int x) {
        vector<int> dist(n, 0x3f3f3f3f);
        vector<bool> vis(n, false);
        dist[x] = 0;
        // 使用「优先队列」存储所有可用于更新的点
        // 以 (到起点的距离, 点编号) 进行存储，优先弹出「最短距离」较小的点
        priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
        q.push({0, x});
        while (!q.empty()) {
            // 每次从「优先队列」中弹出
            auto [step, u] = q.top();
            q.pop();
            // 如果弹出的点被标记「已更新」，则跳过
            if (vis[u]) continue;
            // 标记该点「已更新」，并使用该点更新其他点的「最短距离」
            vis[u] = true;
            for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] <= dist[u] + w[i]) continue;
                dist[j] = dist[u] + w[i];
                q.push({dist[j], j});
            }
        }
        return dist;
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

import heapq

class Solution:
    def minPathCost(self, grid, moveCost):
        N, M = len(grid), len(grid[0])
        S, T = N * M, N * M + 1
        n = N * M + 2
        he = [-1] * n
        e, ne, w = [-1] * (50 * 50 * 50), [-1] * (50 * 50 * 50), [-1] * (50 * 50 * 50)
        idx = 0

        def add(a, b, c):
            nonlocal idx
            e[idx] = b
            ne[idx] = he[a]
            w[idx] = c
            he[a] = idx
            idx += 1

        def dijkstra(x):
            dist = [float('inf')] * n
            vis = [False] * n
            dist[x] = 0
            # 使用「优先队列」存储所有可用于更新的点
            # 以 (到起点的距离, 点编号) 进行存储，优先弹出「最短距离」较小的点
            q = [(0, x)]
            heapq.heapify(q)
            while q:
                # 每次从「优先队列」中弹出
                step, u = heapq.heappop(q)
                # 如果弹出的点被标记「已更新」，则跳过
                if vis[u]: continue
                # 标记该点「已更新」，并使用该点更新其他点的「最短距离」
                vis[u] = True
                i = he[u]
                while i != -1:
                    j, c = e[i], w[i]
                    i = ne[i]
                    if dist[j] <= dist[u] + c: continue
                    dist[j] = dist[u] + c
                    heapq.heappush(q, (dist[j], j))
            return dist

        #「虚拟源点」向「第一行」进行连边
        for i in range(M):
            add(S, grid[0][i], grid[0][i])
        # 转换原图
        for i in range(N - 1):
            for j in range(M):
                a = grid[i][j]
                for k in range(M):
                    b = grid[i + 1][k]
                    add(a, b, moveCost[a][k] + b)
        #「最后一行」向「虚拟汇点」进行连边
        for i in range(M):
            add(grid[N - 1][i], T, 0)
        # 最短路
        dist = dijkstra(S)
        return dist[T]

时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( m log ⁡ n ) O(m\log{n}) </math>O(mlogn)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 为新图中的点数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N × M = 2.5 × 1 0 3 N \times M = 2.5 \times 10^3 </math>N×M=2.5×103， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m m </math>m 为新图中的边数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( M − 1 ) × N 2 = 1.25 × 1 0 5 (M - 1) \times N^2 = 1.25 \times 10^5 </math>(M−1)×N2=1.25×105
空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n + m ) O(n + m) </math>O(n+m)

堆优化 Dijkstra

什么？你说你实在不想建新图，也不想搞什么虚拟点，就想用你心爱的 BFS 来做？！

我懂你意思，但那不叫 BFS。

只是将「建新图」和「建虚拟点」的过程省掉，仍需要使用优先队列（堆）来每次取出当前"路径代价最小"的点来进行扩充，执行过程仍为堆优化 Dijkstra 的核心操作。

尤其所谓"省掉" 建新图和建虚拟点，真就字面上的"省掉"，并非不存在，因为两种做法思路是完全一致的。可简单列举「本解法」与「解法一」的对应关系：

起始往队列放入首行元素，对应了解法一的"建立虚拟源点"过程；
从队列中取元素出来扩充时，若当前元素所在行是最后一行时，用当前路径代价来更新答案，对应了解法一的"建立虚拟汇点"过程；
扩充时直接遍历列（即下一行的所有点），对应的解法一的"用原图边建新图"的过程。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int minPathCost(int[][] grid, int[][] moveCost) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length, INF = 0x3f3f3f3f, ans = INF;
        int[][] dist = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) dist[i][j] = INF;
        }
        PriorityQueue<int[]> d = new PriorityQueue<>((a,b)->a[2]-b[2]);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            d.add(new int[]{0, i, grid[0][i]});
            dist[0][i] = grid[0][i];
        }
        while (!d.isEmpty()) {
            int[] info = d.poll();
            int x = info[0], y = info[1], cur = info[2];
            if (x == m - 1) {
                ans = Math.min(ans, cur);
                continue;
            }
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                int step = moveCost[grid[x][y]][i], ne = grid[x + 1][i];
                int tot = cur + step + ne;
                if (tot >= ans || dist[x + 1][i] <= tot) continue;
                dist[x + 1][i] = tot;
                d.add(new int[]{x + 1, i, tot});
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    int minPathCost(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<int>>& moveCost) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size(), INF = 0x3f3f3f3f, ans = INF;
        vector<vector<int>> dist(m, vector<int>(n, INF));
        priority_queue<vector<int>, vector<vector<int>>, greater<vector<int>>> pq;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            pq.push({0, i, grid[0][i]});
            dist[0][i] = grid[0][i];
        }
        while (!pq.empty()) {
            vector<int> info = pq.top();
            pq.pop();
            int x = info[0], y = info[1], cur = info[2];
            if (x == m - 1) {
                ans = min(ans, cur);
                continue;
            }
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                int step = moveCost[grid[x][y]][i], ne = grid[x + 1][i];
                int tot = cur + step + ne;
                if (tot >= ans || dist[x + 1][i] <= tot) continue;
                dist[x + 1][i] = tot;
                pq.push({x + 1, i, tot});
            }
        }
        return ans;
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution:
    def minPathCost(self, grid, moveCost):
        m, n, INF = len(grid), len(grid[0]), float('inf')
        ans = INF
        dist = [[INF] * n for _ in range(m)]
        for i in range(n):
            dist[0][i] = grid[0][i]
        pq = [(0, i, grid[0][i]) for i in range(n)]
        while pq:
            x, y, cur = heapq.heappop(pq)
            if x == m - 1:
                ans = min(ans, cur)
                continue
            for i in range(n):
                step, ne = moveCost[grid[x][y]][i], grid[x + 1][i]
                tot = cur + step + ne
                if tot >= ans or dist[x + 1][i] <= tot: continue
                dist[x + 1][i] = tot
                heapq.heappush(pq, (x + 1, i, tot))
        return ans

时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( m log ⁡ n ) O(m\log{n}) </math>O(mlogn)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 为新图中的点数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N × M = 2.5 × 1 0 3 N \times M = 2.5 \times 10^3 </math>N×M=2.5×103， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m m </math>m 为新图中的边数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( M − 1 ) × N 2 = 1.25 × 1 0 5 (M - 1) \times N^2 = 1.25 \times 10^5 </math>(M−1)×N2=1.25×105
空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n + m ) O(n + m) </math>O(n+m)

原地模拟

什么？你说你连图论的方法都不想用，想就着题意做一遍？

可以。甚至当你调整更新方向，还能利用已有的 grid，实现原地模拟。

具体的，我们将"从上往下走"调整为"从下往上走"，这样可以确保当我们使用底下一行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g r i d [ i + 1 ] [ j ] grid[i + 1][j] </math>grid[i+1][j] 来更新当前行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g r i d [ i ] [ j ] grid[i][j] </math>grid[i][j] 时，所用到的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g r i d [ i + 1 ] [ j ] grid[i + 1][j] </math>grid[i+1][j] 不会被覆盖。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int minPathCost(int[][] grid, int[][] moveCost) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length, INF = 0x3f3f3f3f, ans = INF;
        for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int cur = INF;
                for (int k = 0; k < n; k++) cur = Math.min(cur, grid[i + 1][k] + moveCost[grid[i][j]][k]);
                grid[i][j] += cur;
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) ans = Math.min(ans, grid[0][i]);
        return ans;
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    int minPathCost(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<int>>& moveCost) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size(), INF = INT_MAX, ans = INF;
        for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int cur = INF;
                for (int k = 0; k < n; k++) cur = min(cur, grid[i + 1][k] + moveCost[grid[i][j]][k]);
                grid[i][j] += cur;
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) ans = min(ans, grid[0][i]);
        return ans;
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution:
    def minPathCost(self, grid, moveCost):
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        for i in range(m - 2, -1, -1):
            for j in range(n):
                grid[i][j] += min([grid[i + 1][k] + moveCost[grid[i][j]][k] for k in range(n)])
        return min([grid[0][i] for i in range(n)])

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function minPathCost(grid: number[][], moveCost: number[][]): number {
    let m = grid.length, n = grid[0].length, INF = 0x3f3f3f3f, ans = INF;
    for (let i = m - 2; i >= 0; i--) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            let cur = INF;
            for (let k = 0; k < n; k++) cur = Math.min(cur, grid[i + 1][k] + moveCost[grid[i][j]][k]);
            grid[i][j] += cur;
        }
    }
    for (let i = 0; i < n; i++) ans = Math.min(ans, grid[0][i]);
    return ans;
};

时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( m × n 2 ) O(m \times n^2) </math>O(m×n2)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m m </math>m 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 分别代表给定 grid 的长宽
空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2304 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour... 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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