目前，Lucene 限制 dot_product (点积) 只能在标准化向量上使用。 归一化迫使所有向量幅度等于一。 虽然在许多情况下这是可以接受的，但它可能会导致某些数据集的相关性问题。 一个典型的例子是 Cohere 构建的嵌入（embeddings）。 它们的向量使用幅度来提供更多相关信息。
那么，为什么不允许点积中存在非归一化向量，从而实现最大内积呢？ 有什么大不了的？
负值和 Lucene 优化
Lucene要求分数非负，因此在析取 (disjunctive query) 查询中多匹配一个子句只能使分数更高，而不是更低。 这实际上对于动态修剪优化（例如 block-max WAND）非常重要，如果某些子句可能产生负分数，则其效率会大大降低。 此要求如何影响非标准化向量？
在归一化情况下，所有向量都在单位球面上。 这允许通过简单的缩放来处理负分数。
图 1：二维单位球体（例如单位圆）中的两个相反的二维向量。 在这里计算点积时，最糟糕的情况是 -1 = [1, 0] * [-1, 0]。 Lucene 通过向结果加 1 来解决这一问题。
当向量保持其大小时，可能值的范围是未知的。
图 2：计算这些向量的点积时 [2, 2] * [-5, -5] = -20
为了允许 Lucene 将 blockMax WAND 与非标准化向量结合使用，我们必须缩放分数。 这是一个相当简单的解决方案。 Lucene 将使用简单的分段函数缩放非标准化向量：
kotlin
1. if (dotProduct < 0) {
2. return 1 / (1 + -1 * dotProduct);
3. }
4. return dotProduct + 1;现在，所有负分数都在 0 -1 之间，所有正分数都在 1 以上。这仍然可以确保较高的值意味着更好的匹配并消除负分数。 很简单，但这不是最后的障碍。
三角形问题
最大内积不遵循与简单欧几里得空间相同的规则。 三角不等式的简单假设知识被抛弃。 不直观的是，向量不再最接近其自身。 这可能会令人不安。 Lucene 的向量底层索引结构是分层可导航小世界 (HNSW)。 这是基于图的算法，它可能依赖于欧几里得空间假设。 或者在非欧几里得空间中探索图会太慢吗？
一些研究表明，快速搜索需要转换到欧几里得空间。 其他人则经历了更新向量存储以强制转换为欧几里得空间的麻烦。
这导致我们停下来深入挖掘一些数据。 关键问题是：HNSW 是否通过最大内积搜索提供良好的召回率和延迟？ 虽然 HNSW 最初的论文和其他已发表的研究表明确实如此，但我们需要进行尽职调查。
我们进行的实验很简单。 所有的实验都是在真实数据集或稍微修改的真实数据集上进行的。 这对于基准测试至关重要，因为现代神经网络创建符合特定特征的向量（请参阅本文第 7.8 节中的讨论）。 我们测量了非标准化向量的延迟（以毫秒为单位）与召回率。 将数字与具有相同测量值但采用欧几里德空间变换的数字进行比较。 在每种情况下，向量都被索引到 Lucene 的 HNSW 实现中，并且我们测量了 1000 次查询迭代。 每个数据集考虑了三种单独的情况：按大小顺序插入的数据（从小到大）、按随机顺序插入的数据以及按相反顺序插入的数据（从大到小）。
以下是 Cohere 真实数据集的一些结果：
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[图 3：以下是嵌入维基百科文章的 Cohere 多语言模型的结果。 可在 HuggingFace 上找到。 前 10 万份文档已建立索引并进行了测试。]
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[图 4：这是 Cohere 在维基百科上的英语和日语嵌入的混合。 这两个数据集都可以在 HuggingFace 上找到。]
我们还针对一些合成数据集进行了测试，以确保我们的严谨性。 我们使用 e5-small-v2 创建了一个数据集，并通过不同的统计分布缩放了向量的大小。 为了简洁起见，我将仅显示两个分布。
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[图 5： 幅度 Pareto distribution 。 pareto distribution 具有"肥尾"，这意味着分布的一部分的幅度比其他部分大得多。]
图 6：幅度的伽马分布。 这种分布可能具有很高的方差，并使其在我们的实验中独一无二。
在我们所有的实验中，唯一需要进行转换的是使用伽玛分布创建的合成数据集。 即使这样，向量也必须以相反的顺序插入，首先是最大幅度，以证明变换的合理性。 这些都是例外情况。
如果你想了解所有实验以及整个过程中的所有错误和改进，请参阅 Lucene Github 问题，其中包含所有详细信息（以及过程中的错误）。 这是一个开放式研究和开发的项目！
结论
这是一个相当长的旅程，需要进行多次调查才能确保 Lucene 能够支持最大内积。 我们相信数据不言自明。 无需进行重大转换或对 Lucene 进行重大更改。 所有这些工作将很快解锁 Elasticsearch 的最大内积支持，并允许 Cohere 提供的模型成为 Elastic Stack 中的一等公民。
注：最大内积已经在 8.11 中进行了支持！
原文：Bringing Maximum-Inner-Product into Lucene --- Elastic Search Labs