0 插值介绍
插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法。用提供的部分离散的函数值来进行理论分析和设计都是极不方便的，因此希望能够用一个既能反映原函数特征，又便于计算的简单函数去近似原函数。
1 低次拉格朗日插值
定理 ：设 x 0 {x_0} x0, ⋯ {\cdots} ⋯, x n {x_n} xn是互异插值节点，则满足差值条件 p ( x i ) = y i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) {p(x_i)}=y_i(i=0,1,2,\cdots,n) p(xi)=yi(i=0,1,2,⋯,n)的插值多项式 p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n} p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn是存在且唯一的。
证明：由条件可知， p ( x ) p(x) p(x)的系数 a i a_i ai满足
{ a 0 + a 1 x 0 + ⋯ + a n x 0 = y 0 a 0 + a 1 x 1 + ⋯ + a n x 1 = y 1 ⋮ a 0 + a 1 x n + ⋯ + a n x n = y n \left\{ \begin{array}{c} a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0=y_0\\ a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_1=y_1\\ \vdots\\ a_0+a_1x_n+\cdots+a_nx_n=y_n\\ \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧a0+a1x0+⋯+anx0=y0a0+a1x1+⋯+anx1=y1⋮a0+a1xn+⋯+anxn=yn
这是一个关于 a 0 , a 1 , ⋯ , a n a_0,a_1, \cdots ,a_n a0,a1,⋯,an的 n + 1 n+1 n+1元线性方程组，并注意到其系数行列式为一个范德蒙行列式，又由于 i ≠ j i \ne j i=j时 x i ≠ x j x_i \ne x_j xi=xj，于是，方程组唯一解。
以上定理的证明提供了一个求 p ( x ) p(x) p(x)的方法，这就是解方程组。但当 n n n较大时，这是很困难的。对于给定的插值点，求形如 p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n} p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn的插值多项式有不同的方法。
1.1 n=1时插值方法
先讨论 n = 1 n=1 n=1的简单情况，互异插值点 x 0 , x 1 x_0,x_1 x0,x1上的函数值分别为 f ( x 0 ) , f ( x 1 ) f(x_0),f(x_1) f(x0),f(x1)是已知的，通过两点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))及 ( x 1 , f ( x 1 ) ) (x_1,f(x_1)) (x1,f(x1))的插值多项式是一条直线，即两点式
L 1 ( x ) = x − x 1 x 0 − x 1 f ( x 0 ) + x − x 0 x 1 − x 0 f ( x 1 ) L_1(x)=\frac {x-x_1}{x_0-x_1}f(x_0) + \frac {x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1) L1(x)=x0−x1x−x1f(x0)+x1−x0x−x0f(x1)
显然， L 1 ( x 0 ) = f ( x 0 ) , L 1 ( x 1 ) = f ( x 0 ) L_1(x_0)=f(x_0),L_1(x_1)=f(x_0) L1(x0)=f(x0),L1(x1)=f(x0)，满足插值条件，所以 L 1 ( x ) L_1(x) L1(x)就是线性插值多项式。若记 l 0 ( x ) = x − x 1 x 0 − x 1 l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1} l0(x)=x0−x1x−x1， l 1 ( x ) = x − x 0 x 1 − x 0 l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0} l1(x)=x1−x0x−x0，则称 l 0 ( x ) , l 1 ( x ) l_0(x),l_1(x) l0(x),l1(x)为关于 x 0 x_0 x0与 x 1 x_1 x1的线性插值基函数。
于是有
L 1 ( x ) = l 0 ( x ) f ( x 0 ) + l 1 ( x ) f ( x 1 ) L_1(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1) L1(x)=l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)
1.2 n=2时插值方法
当 n = 2 n=2 n=2时，给定互异插值点 x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1,x_2 x0,x1,x2上的函数值分别为
f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , f ( x 2 ) f(x_0),f(x_1),f(x_2) f(x0),f(x1),f(x2)
l 0 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) , l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}, l0(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2),
l 1 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) , l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}, l1(x)=(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2),
l 2 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} l2(x)=(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)
称为关于点 x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1,x_2 x0,x1,x2的二次插值基函数，它满足
l i ( x j ) = { 1 , j = i 0 , j ≠ i , i , j = 0 , 1 , 2 , ⋯ l_i(x_j)= \left\{ \begin{array}{c} 1, j = i \\ 0, j \ne i\\ \end{array},i,j=0,1,2,\cdots \right. li(xj)={1,j=i0,j=i,i,j=0,1,2,⋯
满足条件的 L 2 ( x i ) = f ( x i ) ( i = 0 , 1 , 2 ) L_2(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2) L2(xi)=f(xi)(i=0,1,2)的二次插值多项式 L 2 ( x ) L_2(x) L2(x)可表示为
L 2 ( x ) = l 0 ( x ) f ( x 0 ) + l 1 ( x ) f ( x 1 ) + l 2 ( x ) f ( x 2 ) L_2(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)+l_2(x)f(x_2) L2(x)=l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+l2(x)f(x2)
y = L 2 ( x ) y=L_2(x) y=L2(x)的图形是通过三点 ( x 1 , f ( x i ) ) ( i = 0 , 1 , 2 ) (x_1,f(x_i))(i=0,1,2) (x1,f(xi))(i=0,1,2)的抛物线。
1.3 举例
| x x x | 1 | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| x \sqrt{x} x | 1 | 2 | 3 | 4 |
解：
选择与 x = 5 x=5 x=5最接近的三点 x 0 = 1 , x 1 = 4 , x 2 = 9 x_0=1,x_1=4,x_2=9 x0=1,x1=4,x2=9为插值点，由
L 2 ( x ) = l 0 ( x ) f ( x 0 ) + l 1 ( x ) f ( x 1 ) + l 2 ( x ) f ( x 2 ) L_2(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)+l_2(x)f(x_2) L2(x)=l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+l2(x)f(x2)
得， 5 ≈ 1 ⋅ ( 5 − 4 ) ( 5 − 9 ) ( 1 − 4 ) ( 1 − 9 ) + 2 ⋅ ( 5 − 1 ) ( 5 − 9 ) ( 4 − 1 ) ( 4 − 9 ) + 3 ⋅ ( 5 − 1 ) ( 5 − 4 ) ( 9 − 1 ) ( 9 − 4 ) ≈ 2.267 \sqrt{5} \approx 1 \cdot \frac{(5-4)(5-9)}{(1-4)(1-9)}+2 \cdot \frac{(5-1)(5-9)}{(4-1)(4-9)}+ 3 \cdot \frac{(5-1)(5-4)}{(9-1)(9-4)} \approx 2.267 5 ≈1⋅(1−4)(1−9)(5−4)(5−9)+2⋅(4−1)(4−9)(5−1)(5−9)+3⋅(9−1)(9−4)(5−1)(5−4)≈2.267