奇异值分解
SVD是一个很有用的矩阵因子化方法。
SVD提出的目的：任何一个 m × n m\times n m×n的矩阵都可以当作一个超椭圆（高维空间的椭圆），可以把它们当作单位球体S的像。
一个超椭圆可以通过将单位球型在正交方向 u 1 , u 2 , . . . , u m \mathbf{u_1},\mathbf{u_2},...,\mathbf{u_m} u1,u2,...,um通过缩放因子 σ 1 , . . . , σ m \sigma_1,..., \sigma_m σ1,...,σm，其中m是维度，如果在平面上m=2
通过上面这张图，可以做出下面的定义：
- singular value: σ 1 , . . . , σ n ≥ 0 \sigma_1,..., \sigma_n\geq 0 σ1,...,σn≥0一般假设 σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... σ1≥σ2≥...
- Light singular vectors: u 1 , u 2 , . . . , u n \mathbf{u_1},\mathbf{u_2},...,\mathbf{u_n} u1,u2,...,un,单位向量
- right singular vectors: v 1 , v 2 , . . . , v n \mathbf{v_1},\mathbf{v_2},...,\mathbf{v_n} v1,v2,...,vn是ui的逆向满足 A v i = σ i u i Av_i = \sigma_i u_i Avi=σiui
这个名字中左和右来自svd的公式。
把上面的公式矩阵化，可以得到：
A V = U ^ Σ ^ AV = \hat U \hat \Sigma AV=U^Σ^
在这里面 - Σ ^ ∈ R n × n \hat{\Sigma}\in\mathbb{R}^{n\times n} Σ^∈Rn×n是一个非负数对角矩阵
- U ^ ∈ R m × n \hat{U}\in\mathbb{R}^{m\times n} U^∈Rm×n是一个列正交矩阵
- V ∈ R n × n V\in\mathbb{R}^{n\times n} V∈Rn×n是一个列正交矩阵
因此V是个正交矩阵，因为它是基向量，因此我们就可以得到reduced SVD：
A = U ^ Σ ^ V T A = \hat U \hat \Sigma V^T A=U^Σ^VT
正如QR分解一样，可以把扩充 U ^ \hat U U^的列使得 U ∈ R m × m U\in\mathbb{R}^{m\times m} U∈Rm×m
然后需要给 Σ ^ \hat{\Sigma} Σ^添加一些为为0的行，使得可以沉默掉新添加到U中的随机列，这样就得到了完全SVD
A = U Σ V T A = U \Sigma V^T A=UΣVT
对比reduced和full
现在重新考虑当时把球型变为超椭圆型的目的。
1 V T V^T VT是球型S
2 Σ \Sigma Σ拉伸球型得到椭球形
3 U U U旋转投射而不改变形状
通过SVD可以知道一些矩阵性质
- A的秩为r，也就是非零奇异值的个数
proof:U和V是满秩的，所以rank（A） = rank( Σ \Sigma Σ) - image(A) = span{ u 1 , u 2 , . . . , u r \mathbf{u_1},\mathbf{u_2},...,\mathbf{u_r} u1,u2,...,ur}
null(A) = span{ v r + 1 , . . . , v n \mathbf{v_{r+1}},...,\mathbf{v_n} vr+1,...,vn} - ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = σ 1 ||A||_2=\sigma_1 ∣∣A∣∣2=σ1
proof: ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ≡ m a x ∣ ∣ V ∣ ∣ 2 = 1 ||A||2 \equiv max{||V||_2=1} ∣∣A∣∣2≡max∣∣V∣∣2=1||Av||_2 - A的奇异值是AAT的特征值的平方根。
根据上面的性质：可以知道SVD的两种应用
长方形矩阵的条件数
K ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A + ∣ ∣ K(A)=||A||||A^+|| K(A)=∣∣A∣∣∣∣A+∣∣
其中 A + A^+ A+是伪逆
- ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = σ m a x ||A||2 = \sigma{max} ∣∣A∣∣2=σmax
- ∣ ∣ A + ∣ ∣ 2 = 1 σ m i n ||A^+||2 = \frac{1}{\sigma{min}} ∣∣A+∣∣2=σmin1
所以 K ( A ) = σ m a x σ m i n K(A)=\frac{\sigma_{max}}{\sigma_{min}} K(A)=σminσmax
低秩近似
把SVD变为
A = ∑ j = 1 r σ j u j v j T A = \sum^r_{j=1}\sigma_j u_j v_j^T A=j=1∑rσjujvjT
每个 u j v j T u_j v_j^T ujvjT都是一个秩为1的矩阵
Theorem:
对于 0 ≤ v ≤ r 0\leq v \leq r 0≤v≤r,让 A v = ∑ j = 1 v σ j u j v j T Av = \sum^v_{j=1}\sigma_ju_jv_j^T Av=∑j=1vσjujvjT
所以
∣ ∣ A − A v ∣ ∣ 2 = inf B ∈ R m × n , r a n k ( B ) ≤ v ∣ ∣ A − B ∣ ∣ 2 ||A-Av||2 = \inf{B\in \mathbb{R}^{m\times n}, rank(B)\leq v}{||A-B||_2} ∣∣A−Av∣∣2=B∈Rm×n,rank(B)≤vinf∣∣A−B∣∣2
同样的也可以在Frobenius norm中证明，这个理论说明SVD是压缩矩阵的一个好的方法。