2015年五一杯数学建模
B题 空气污染问题研究
原题再现
近十年来，我国 GDP 持续快速增长，但经济增长模式相对传统落后，对生态平衡和自然环境造成一定的破坏，空气污染的弊病日益突出，特别是日益加重的雾霾天气已经干扰到社会的出行秩序和生活质量。国家能源委员会《新能源产业振兴和发展规划》等"国家新能源发展战略"政策的出台，说明国家已经把能源环境问题上升到国家安全级别，经济发展转型、节能减排、能源利用新途径和发展新能源等方面的问题亟待解决。一般认为影响空气质量的主要因素有 PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧化碳、臭氧、硫化氢、碳氢化合物和烟尘等，以京津冀地区为研究对象解决以下问题：
（1）参考现有国标和美标，建立衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。
（2）查找数据并列出京津冀地区主要污染源及其污染参数，分析影响空气质量的主要污染源的性质和种类。
（3）建立单污染源空气污染扩散模型，描述其对周围空气污染的动态影响规律。现有河北境内某一工厂废气排放烟囱高 50m，主要排放物为氮氧化物。早上 9 点至下午3 点期间的排放浓度为 406.92mg/m3，排放速度为 1200m3/h；晚上 10 点-凌晨 4 点期间的排放浓度为 1160mg/m3，排放速度为 5700m3/h；通过你的扩散模型求解该工厂方圆 51公里分别在早上 8 点、中午 12 点、晚上 9 点空气污染浓度分布和空气质量等级。
（4）建立多污染源空气污染扩散模型，并以汽车尾气污染源为例求解分析以下问题：北京在 2015 年 1 月 15 日已经连续三天发生重污染，假设从 16 日开始北京启动汽车单双号限行交通管制措施，求解北京市二环、四环、六环路在 16 日早上 8 点、中午12 点、晚上 9 点时空气污染浓度梯度变化及空气质量等级。
（5）根据你们的模型和求解结果，分析总结影响空气质量的关键参数，为京津冀地区环保部门撰写一份建议报告，给出实现"APEC"蓝天的可行性措施和建议。
整体求解过程概述(摘要)
针对问题一：首先，通过查阅国标和美标的建立和计算方式分析其空气质量指数公式的优缺点；其次，利用层次分析法求出各个污染项目的权重从而建立衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。
针对问题二：首先，经过查找数据后分析数据与污染源之间的关系。采取自下而上方法（即按测数据反演法）编制相关的数据表从而可以更直观的反映京津冀地区主要污染源。其次，通过层次分析和因子分析相结合的方法，取污染物中具有代表性的 SO2、 NOx、PM2.5 、PM10 和扬尘等五种主要污染项目对空气质量的影响进行研究，利用变权函数对京津冀地区的各种污染物数据进行"动态加权"得到综合污染指标，对综合污染指标进行排序和分类,从而得到影响空气质量的主要污染源的性质和种类。
针对问题三：首先，确定出单污染源且只考虑污染物质为氨氧化物情况下，由于高斯烟羽模型具有假定风速风向都不变的局限性，实际情况需要考虑风力、风向、降雨量等情况，由此建立修正高斯烟羽模型；其次，利用高斯模型的修正模型，求解出一定范围内的空气污染扩散分布；最后，当污染源停止排放时，利用相关性，对已排放污染气体在一定空间范围内的分布情况作出大致分析，求解出距离污染源一定范围内不同位置的不同时间段的空气污染浓度分布和空气质量等级。
针对问题四：首先，利用问题三中的单排放源气体扩散模型，由于不同时间段的排放量不同，可以求解出相同位置不同时间段的空气污染浓度；其次，由于不同的位置排放量不同，可以求解出同一时间内不同位置的空气污染浓度；最后，将两者进行综合分析，利用已有数据，通过灰色预测模型可以解出北京市二环、四环、六环路不同时间段空气污染浓度梯度变化。
针对问题五：根据建立的模型和求解结果，分析出影响空气质量的关键参数，由于地区的实际情况不尽相同，可就整个京津冀地区和各省市各自的治理分别给出了可行性措施和建议。
模型假设：
1.污染物的浓度在y、 z 轴上的分布是高斯分布（正态分布）的；
2.污染源的源强是连续且均匀的；
3.气体污染物是理想气体，遵守理想气体方程；
4.取 x 轴为平均风速方向，整个扩散过程中风的方向、大小不随时间地点的改变而改变；
5.北京市某一天内风向大小不变且没有降雨量；
6.将每环等分成四份，假设每份上的所有汽车排放总量大致相同；
7.将每环等分成四份，假设每份上的车流量大致相同。
问题分析：
问题一的分析：
问题一要求参考现有的国标和美标，建立能够衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。首先我们要分析国标和美标的建立方式和其空气质量指数公式的优缺点并根据国标公式确定空气质量指数；其次，通过计算结果可以看出只有空气质量分数的最大值对最终结果有影响，这样的计算方法对数据的利用率比较低，为了能充分利用所得数据并且大致确定各个污染项目对空气质量的影响程度；最后，利用层次分析法建立模型求出各个污染项目的权重从而建立衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。
问题二的分析：
问题二的第一小问，要求我们查找数据并列出京津冀地区主要污染源及其污染参数。通过大量查找数据后分析数据与污染源之间的关系。采取自下而上方法（即按测数据反演法）编制的相关的数据表从而可以更直观的反映京津冀地区主要污染源。关于第二小问，我们只考虑 2 SO 、NOx、PM2.5 、PM10和扬尘等五种污染物对环境的综合影响。由于人类对空气中污染物浓度的敏感程度符合 S 形曲线，因此，构造 S 形变权函数。利用该变权函数对各监测点的各种污染物浓度进行"动态加权"得到综合污染指标，再利用综合污染指标进行排序和分类,从而得到影响空气质量的主要污染源的性质和种类。
问题三的分析：
本题主要考虑的问题有：(1)单污染源中含有多种污染物质，且每一项污染源中每种污染物的含量在总污染中的比重有很大的差异；（2）每一项污染源的排放浓度和排放速度对空气污染有直接的关系；（3）每一项排放污染源的排放时间也有一定的差异，这对各个时间段空气中的污染含量有很大的影响；（4）空气污染扩散与多种因素有关，我们主要考虑每个地区的的地形、风向、风速和降雨量等因素。现有河北境内某一工厂废气排放，以工厂废气排放为单污染源，且以氮氧化物为主要污染物质。本题通过对各个时间段的排放量的不同可以求解该工厂方圆51公里分别在早上8点、中午12点、晚上9点空气污染浓度分布，并进行空气质量等级划分。
问题四的分析：
上述我们已经建立了单污染源空气污染扩散模型，在此基础之上，我们利用多元分析建立多污染源空气扩散模型。以汽车尾气为污染源，每辆汽车可以看成一个污染源。假设每辆汽车的源强一样，且当地的风向、大小保持不变。由于每天有上下班高峰期，空气污染浓度会有很大的变化，且在不同的位置如北京市的二环、三环、六环空气污染浓度也不一样。我们可以在空气污染扩散模型的基础上具体分析，从而解决在不同的时间点不同的位置空气污染浓度梯度变化及空气质量等级。
问题五的分析：
问题五要求根据已建立的模型和求解出的结果，分析总结影响空气质量的关键参数，由问题二、三可得出京津冀地区的主要污染源和各主要污染物的性质、种类，由于各地污染构成的不同且北京地区的技术水平要比京津冀地区的平均水平先进一些，因此我们就整个京津冀地区和各省市的治理分别给出了可行性措施和建议。
模型的建立与求解整体论文缩略图
全部论文请见下方" 只会建模 QQ名片" 点击QQ名片即可
程序代码：(代码和文档not free)
bash
clear all;
[x,y]=meshgrid(0:20:5000,-2000:20:2000); %设定网格
Q=406.92; %NOx 的源强
sigy=0.08*x.*(1+0.0001*x).^(-0.5);%y 方向烟气扩散系数
sigz=0.06*x.*(1+0.0015*x).^(0.5);%z 方向烟气扩散系数
H=[ 130.5362776 132.7538462 119.9039121 120.3678051
120.4165713 120.8539326 126.8520578 132.2781406];%泄漏源有效高度
u=1./[ 2.137078652 2.047244094 2.706501548 2.675399361
2.672171254 2.643564356 2.305128205 2.065873016];%各个方向的速度
f=[ 0.033536585 0.042682927 0.079268293 0.384146341
0.240853659 0.082317073 0.067073171 0.070121951];%风频
s=size(u);%计算 u 的元素个数，以便设置循环次数
for i=1:s(2)
Qpi=Q./(pi*u(i)*sigy.*sigz+eps);%计算公式第一部分
ex1=exp(-0.5*(y./(sigy+eps)).^2);%计算公式第二部分
ex2=exp(-0.5*(H(i)./(sigz+eps)).^2);%计算公式第三部分
X1(:,:,i)=Qpi.*ex1.*ex2*f(i);%计算扩散气体浓度高维数组
end
X=X1;
for j=2:s(2)
X(:,:,j)=X(:,:,(j-1))+X(:,:,j);%计算扩散气体浓度高维数组各二
维数组之和
end
X2=1000000*X(:,:,s(2));%计算求和后最终扩散气体浓度
mesh(x,y,X2);
xlabel('x 轴向距离(m)'),ylabel('y 轴向距离(m)'),zlabel('气体扩散
浓度'),
title('基于高斯烟羽模拟垃圾焚烧炉浓度分布图');