文章目录
- [1. 基本数据结构概述](#1. 基本数据结构概述)
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- [1.1 数据结构和算法的关系](#1.1 数据结构和算法的关系)
- [1.2 线性数据结构概述](#1.2 线性数据结构概述)
- [1.3 二叉树简介](#1.3 二叉树简介)
- [2. 栈](#2. 栈)
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- [2.1 手写栈](#2.1 手写栈)
- [2.2 C++STL栈](#2.2 C++STL栈)
- [2.3 Java 栈](#2.3 Java 栈)
- [2.4 Python栈](#2.4 Python栈)
- [3 习题](#3 习题)
1. 基本数据结构概述
很多计算机教材提到:程序 = 数据结构 + 算法。
"以数据结构为弓,以算法为箭"
数据结构是是计算机存储、组织数据的方法。常用的数据结构有:数组(Array)、栈(Stack)、队列(Queue)、链表(Linked List)、树(Tree)、图(Graph)、堆(Heap)、散列表(Hash)等。分为两大类:线性表、非线性表。数组、栈、队列、链表是线性表,其他是非线性表。
1.1 数据结构和算法的关系
数据结构和算法往往密不可分。下面以图的存储为例,说明数据结构和算法的关系。这几种存图的数据结构,各有优缺点,也各有自己的应用场景。
(1)边集数组
定义结构体数组:
cpp
struct Edge{
int u, v, w;
}edges[M];
其中(u,v,w)表示一条边,起点是u,终点是v,边长是w。edges[M]可以存M条边。
边集数组的优点:是最节省空间的存图方法,存储空间不可能再少了。n=1000个点,m=5000条边的图,使用的存储空间是12×5000 = 60KB。
边集数组的缺点:不能快速定位某条边。如果要找某点u和哪些点有边连接,得把整个edges[M]从头到尾搜一遍才能知道。
边集数组的的应用场景:如果算法不需要查找特定的边,就用边集数组。例如最小生成树Kruskal算法、最短路径Bellman-ford算法。
(2)邻接矩阵
定义一个二维数组:
cpp
int edge[N][N];
其中edge[i][j]表示点i和点j之间有一条边,边长为edge[i][j]。它可以存N个点的边。若edge[i][j]=0,表示i和j之间没有边;若edge[i][j] != 0,i和j之间有边,边长为edge[i][j]。
邻接矩阵的优点:能极快地查询任意两点之间是否有边。如果edge[i][j] != 0,说明点i和j之间有一条边,边长edge[i][j]。
邻接矩阵的缺点:如果图是一张稀疏图,大部分点和边之间没有边,那么邻接矩阵很浪费空间,因为大多数edge[][]=0,没有用到。n=1000个点,m=5000条边的图,使用的存储空间是12×1000×1000 = 12MB。
邻接矩阵的应用场景:(1)稠密图,几乎所有的点之间都有边,edge[][]数组几乎用满了,很少浪费;(2)算法需要快速查找边,而且计算结果和任意两点的关系有关,例如最短路径算法的Floyd算法。
(3)邻接表
邻接矩阵的优点:十分节省空间,因为只存储存在的边。
邻接矩阵的缺点:没有明显的缺点。它的存储空间只比边集数组大一点点,而查询边的速度只比邻接矩阵慢一点点。
邻接矩阵应用场景:基于稀疏图的大部分算法。
1.2 线性数据结构概述
在所有数据结构中,线性表是最简单的。线性表有数组、链表、队列、栈,它们有一个共同的特征:把同类型的数据一个接一个地串在一起。
下面对线性表做个概述,并比较它们的优缺点。
(1)数组
数组是最最简单的数据结构,它的逻辑结构和物理内存的存储完全一样。例如C语言中定义一个整型数组int a[10],系统会分配一个40字节的存储空间,这100个字符的存储地址是连续的。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int a[10];
for (int i=0;i<10;i++)
cout << &a[i] << " "; //打印10个整数的存储地址
return 0;
}
在作者机器上运行,输出10个整数的存储地址:
0x6dfec4 0x6dfec8 0x6dfecc 0x6dfed0 0x6dfed4 0x6dfed8 0x6dfedc 0x6dfee0 0x6dfee4 0x6dfee8
数组的优点:(1)简单,容易编程;(2)访问快捷,要定位到某个数据,只需使用下标即可,例如a[0]是第1个数据,a[i]是第i-1个数据;(3)与某些应用场景直接对应,例如数列是一维数组,可以在一维护数组上排序,矩阵是二维数组,表示空间坐标,等等。
数组的缺点:删除和增加数据很麻烦,非常耗时。例如要删除数组int a[10]的第5个数据,只能采用覆盖的方法,从第6个数据开始,每个往前挪一位。增加数据也麻烦,例如要在第5个位置插入一个数据,只能把原来第5个开始的数据逐个往后挪一位,空出第5个位置给新数据。
(2)链表
链表是为了克服数组的缺点提出的一种线性表,链表的插入和删除操作,不需要挪动其他数据。简单地说,链表是"是用指针串起来的数组"。链表的数据不是连续存放的,而是用指针串起来的。例如下图删除链表的第3个数据,只要把原来连接第3个数据的指针断开,然后连接它前后的数据即可,不用挪动其他的数据。
链表的优点:增加和删除数据很便捷。这个优点弥补了数组的缺点。
链表的缺点:定位某个数据比较麻烦。例如要输出第5个数据,需要从链表头开始,沿着指针一步步走,找到第5个。链表的这个缺点却是数组的优点。
链表和数组的优缺点正好相反,它们的应用场合不同,数组适合静态数据,链表适合动态数据。
链表如何编程实现?在常见的数据结构教材中,链表的数据节点是动态分配的,各节点之间用指针来连接。但是在算法竞赛中,如果手写链表,一般不用动态分配,而是用静态数组来模拟。
手写链表的代码见题目:排队顺序
题解
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[1000010];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
int head;
cin >> head;
cout << head;
while (arr[head] != 0) {
cout << " " << arr[head];
head = arr[head];
}
return 0;
}
当然,除非必要,一般不手写链表,而是用系统提供的链表,例如C++ STL的list,Java LinkedList,Python的list。
链表在蓝桥杯等算法竞赛中不太常用,所以本章没有详细介绍。
(3)队列
队列是线性数据的一种使用方式,模拟现实世界的排队操作。例如排队购物,只能从队头离开队伍,新来的人只能排到队尾,不能插队。队列有一个出口和一个入口,出口是队头,入口是队尾。队列的编程实现,可以用数组,也可以用链表。
队列这种数据结构无所谓优缺点,只有适合不适合。例如宽度优先搜索BFS,就是基于队列的,用其他数据结构都不合适。
(4)栈
栈也是线性数据的一种使用方式,模拟现实世界的单出入口。例如一管泡腾片,先放进去的泡腾片后出来。栈的编程比队列更简单,同样可以用数组或链表实现。
栈有它的使用场合,例如递归使用栈来处理函数的自我调用过程。
1.3 二叉树简介
二叉树是一种高度组织性、高效率的数据结构。例如在一棵有n个节点的满二叉树上定位某个数据,只需走logn步,插入和删除某个数据也只需logn步。在二叉树的基础上发展出了很多高级数据结构和算法。大多数高级数据结构,例如树状数组、线段树、树链剖分、平衡树、动态树等,都是基于二叉树的。
2. 栈
栈(stack)是比队列更简单的数据结构,它的特点是"先进后出"。
队列有两个口,一个入口和一个出口。而栈只有唯一的一个口,既从这个口进入,又从这个口出来。所以如果自己写栈的代码,比队列的代码更简单。
2.1 手写栈
如果使用环境简单,最简单的手写栈代码用数组实现。
cpp
const int N = 300008; //定义栈的大小
struct mystack{
int a[N]; //存放栈元素,从a[0]开始
int t = -1; //栈顶位置,初始栈为空,置初值为-1
void push(int data){ a[++t] = data; } //把元素data送入栈
int top() { return a[t]; } //读栈顶元素,不弹出
void pop() { if(t>-1) t--;} //弹出栈顶
int size() { return t+1;} //栈内元素的数量
int empty() { return t==-1 ? 1:0; } //若栈为空返回1
};
使用栈时要注意不能超过栈的空间。上面第1行定义了栈的大小是N,栈内的元素数量不要超过它。
用下面的例子给出上述手写代码的应用。
例题:表达式括号匹配
题解:
合法的括号串例如"(())"、"()()()",像")(()"这样是非法的。合法括号组合的特点是:左括号先出现,右括号后出现;左括号和右括号一样多。
括号组合的合法检查是栈的经典应用。用一个栈存储所有的左括号。遍历字符串的每一个字符,处理流程是:
(1)若字符是 '(',进栈。
(2)若字符是')',有两种情况:如果栈不空,说明有一个匹配的左括号,弹出这个左括号,然后继续读下一个字符;如果栈空了,说明没有与右括号匹配的左括号,字符串非法,输出NO,程序退出。
(3)读完所有字符后,如果栈为空,说明每个左括号有匹配的右括号,输出YES,否则输出NO。
C++代码
手写栈:
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300008; //定义栈的大小
struct mystack{
int a[N]; //存放栈元素,从a[0]开始
int t = -1; //栈顶位置,初始栈为空,置初值为-1
void push(int data){ a[++t] = data; } //把元素data送入栈
int top() { return a[t]; } //读栈顶元素,不弹出
void pop() { if(t>-1) t--; } //弹出栈顶
int size() { return t+1;} //栈内元素的数量
int empty() {return t==-1 ? 1:0; } //若栈为空返回1
}st;
int main(){
char x;
while(cin>>x){ //循环输入
if(x=='@') break; //输入为@停止;
if(x=='(') st.push(x); //左括号入栈
if(x==')'){ //遇到一个右括号
if(st.empty()) {cout<<"NO";return 0;} //栈空,没有左括号与右括号匹配
else st.pop(); //匹配到一个左括号,出栈
}
}
if(st.empty()) cout<<"YES"; //栈为空,所有左括号已经匹配到右括号,输出yes
else cout<<"NO";
return 0;
}
STL:
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string str;
stack<char> ops;
int main()
{
cin >> str;
long res = 0;
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
char c = str[i];
if (c == '(') {
ops.push(c);
}
else if (c == ')') {
if (!ops.empty()) {
ops.pop();
}
else {
cout << "NO";
return 0;
}
}
}
if (!ops.empty()) {
cout << "NO";
return 0;
}
cout << "YES";
return 0;
}
Java代码
java
import java.util.Scanner;
public class Main {
static final int N = 300008;
static class mystack {
int[] a = new int[N];
int t = -1;
void push(int data) { a[++t] = data; }
int top() { return a[t]; }
void pop(){ if(t > -1) t--; }
int size(){ return t + 1; }
boolean empty() { return t == -1 ? true : false; }
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
mystack st = new mystack();
String s = sc.next();
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
char x = s.charAt(i);
if(x == '@') break;
if(x == '(') st.push(x);
if(x == ')') {
if(st.empty()) {
System.out.println("NO");
return;
}
else st.pop();
}
}
if(st.empty()) System.out.println("YES");
else System.out.println("NO");
}
}
Python代码
Python的手写栈用到了list。用list模拟栈有一个好处,不用担心栈空间不够大,因为list自动扩展空间。而且list的栈操作非常快,因为栈顶是list的末尾元素,栈只有一个出入口,只在list的末尾进行进栈和出栈操作,操作极为快捷。下面是list实现的栈功能。
下面是例题的Python代码,栈用list模拟。
python
st = [] #定义栈,用list实现
flag = True #判断左括号和右括号的数量是否一样多
s = input().strip()
for x in s:
if x=='(': st.append("(") #进栈
if x==")":
if len(st)!=0: #len():栈的长度
st.pop() #出栈,也可以写成 del st[-1] ,st[-1]是栈顶
else: #栈已空,没有匹配的左括号
flag = False
break
if len(st)==0 and flag: print('YES')
else: print('NO')
2.2 C++STL栈
竞赛时一般不自己手写栈,而是用STL stack:https://wyqz.top/p/870124582.html#toc-heading-9。
STL stack的主要操作见下表。
用下面的例题说明STLqueue的应用
例题:排列
题解:
把符合条件的一对<i, j>称为一个"凹"。首先模拟检查"凹",了解执行的过程。以"3 1 2 5"为例,其中的"凹"有:"3-1-2"和"3-1-2-5";还有相邻的"3-1"、"1-2"、"2-5"。一共5个"凹",总价值13。
像"3-1-2"和"3-1-2-5"这样的"凹",需要检查连续3个以上的数字。
例如"3 1 2",从"3"开始,下一个应该比"3"小,例如"1",再后面的数字比"1"大,才能形成"凹"。
再例如"3-1-2-5",前面的"3-1-2"已经是"凹"了,最后的"5"也会形成新的"凹",条件是这个"5"必须比中间的"1-2"大才行。
总结上述过程是:先检查"3";再检查"1"符合"凹";再检查"2",比前面的"1"大,符合"凹";再检查"5",比前面的"2"大,符合"凹"。
以上是检查一个"凹"的两头,还有一种是"嵌套"。一旦遇到比前面小的数字,那么以这个数字为头,可能形成新的"凹"。例如"6 4 2 8",其中的"6-4-2-8"是"凹",内部的"4-2-8"也是凹。如果学过递归、栈,就会发现这是嵌套,所以本题用栈来做很合适。
以"6 4 2 8"为例,用栈模拟找"凹"。当新的数比栈顶的数小,就进栈;如果比栈顶的数大,就出栈,此时找到了一个"凹"并计算价值。下图中的圆圈数字是数在数组中的下标位置,用于计算题目要求的价值。
图(1):6进栈。
图(2):4准备进栈,发现比栈顶的6小,说明可以形成凹,4进栈。
图(3):2准备进栈,发现比栈顶的4小,说明可以形成凹,2进栈。
图(4):8准备进栈,发现比栈顶的2大,这是一个凹"4-2-8",对应下标"②--④",弹出2,然后计算价值,j-i+1=④-②+1=3。
图(5):8准备进栈,发现比栈顶的4大,这是一个凹"6-4-8",对应下标"①--④",弹出4,然后计算价值,j-i+1=④-①+1=4。
图(6):8终于进栈了,数字也处理完了,结束。
在上述过程中,只计算了长度为3和3以上的凹,并没有计算题目中"(3)a[i]-a[j]之间不存在其他数字"的长度为2的凹,所以最后统一加上这种情况的价值(n-1)×2 = 6。
最后统计得"6 4 2 8"的总价值是3+4+6=13。
C++代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300008;
int a[N]; //这里a[]是题目的数字排列
int main(){
int n; cin>>n;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i]; //输入数列
stack <int> st; //定义栈
long long ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
while(!st.empty() && a[st.top()] < a[i]){
st.pop();
if(!st.empty()){
int last = st.top();
ans += (i - last + 1);
}
}
st.push(i);
}
ans += (n - 1) * 2; //(3)a[i]-a[j]之间不存在其他数字的情况
cout<<ans;
}
2.3 Java 栈
Java Stack https://docs.oracle.com/en/java/javase/14/docs/api/java.base/java/util/Stack.html
有以下操作。
例题 排列 的Java代码。
java
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
public class Main {
static final int N = 300008;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[N];
for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = sc.nextInt();
Stack<Integer> st = new Stack<>();
long ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
while(!st.empty() && a[st.peek()] < a[i]) {
st.pop();
if(!st.empty()) {
int last = st.peek();
ans += (long)(i - last + 1);
}
}
st.push(i);
}
ans += (n - 1) * 2;
System.out.println(ans);
}
}
2.4 Python栈
python的栈可以用以下三种方法实现:(1)list;(2)deque;(3)LifoQueue。比较它们的运行速度,list和deque一样快,而LifoQueue慢得多,建议使用list。前面已经介绍了用list实现栈的方法。
下面是例题 排列 的代码。
python
n = int(input())
a = [int(x) for x in input().split()]
st = [] #定义栈,用list实现
ans = 0
for i in range(n):
while len(st) != 0 and a[st[-1]] < a[i]: #st[-1]是栈顶
st.pop() #弹出栈顶
if len(st) != 0:
last = st[-1] #读栈顶
ans += (i - last + 1)
st.append(i) #进栈
ans += (n - 1) * 2
print(ans)