用微元思想求解三重积分——基于Matlab

仅作自己学习使用

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1. 题目

求解下列三重积分，其中A，μ，r都是常数。

求解的准确性可以用下式进行评估：

听过考研数一张宇课程的朋友应该指导，求解三重积分就是就一个面包，我们将面包无限细分为一个小块，我在代码中是将其细分为一个立方体，这样方便计算，通过设置不同的划分长度，可以获得不同的精度，但是随着划分区间的减少，计算量也会成倍增加。

2. Matlab实现代码

clc
clear

A = 10;     % 源强密度
miu = 0.15;
m = 10;     % 布点数

r = linspace(0,200,m);
dr = r(2)-r(1);

theta = linspace(0,2*pi,m);
dtheta = theta(2)-theta(1);

fia = linspace(0,pi,m);
dfia = fia(2)-fia(1);

fx = 0;
for i = 1 : length(r)
    rr = r(i);
    suma = 0;
    for j = 1:length(fia)
        sumb = 0;
        jj = fia(j);
        for k = 1:length(theta)
              sumb = sumb + (A/(4*pi))*exp(-miu*rr)*sin(jj)*dtheta;
        end
        suma = suma + sumb*dfia;
    end
    fx = fx + suma*dr;
end


fx % 解析解
real = (A/miu)*(1-exp(-miu*max(r))) % 数值解

注意代码中的r，theta，fia我是直接通过linspace函数将其划分为了(m-1)个小的区间，计算的时候通过索引即可求解。其实代码中最重要的还是那三个for循环，如果不好想象的话可以从外到里逐步填空，具体思路如下：
step1:

%% step 1
fx = 0;
for i = 1:length(r)
	rr = rr(i);
	suma = 0; % 第二个for整体的微元
	for j = 1:length(fia)
		%% 填空
	end
	fx = fx + suma * dr;	% 注意这一步df = fx * dx ,这是微元法的精髓
end

step2: 开始填空，这里就相当于是一个二重积分了，把里边的循环补充完整，就假设有无数个循环，里边个循环的写法和外边个循环的写法一样，直接模仿填空即可

fx = 0;
for i = 1:length(r)
	rr = rr(i);
	suma = 0; % 第二个for整体的微元
	for j = 1:length(fia)
		jj = fia(j);
		sumb = 0;
		for k = 1:length(theta)
			%% 填空
		end
		suma = suma + sumb*dfia;
	end
	fx = fx + suma * dr;	% 注意这一步df = fx * dx ,这是微元法的精髓
end

step3: 继续填空，里边个循环最简单了，现在就只是一个简单的积分了，注意里边的积分变量是theta，所以把其他都当作是常数来看待

fx = 0;
for i = 1:length(r)
	rr = rr(i);
	suma = 0; % 第二个for整体的微元
	for j = 1:length(fia)
		jj = fia(j);
		sumb = 0;
		for k = 1:length(theta)
			sumb = sumb + (A/(4*pi))*exp(-miu*rr)*sin(jj)*dtheta;
		end
		suma = suma + sumb*dfia;
	end
	fx = fx + suma * dr;	% 注意这一步df = fx * dx ,这是微元法的精髓
end

3. 结果

m（区间个数-1）	fx（解析解）	real（数值解）
100	78.0511	66.6667
300	70.3008	66.6667
600	68.4640	66.6667
1000	67.7404	66.6667

4. 问题

我是总感觉代码还有一点bug，也就是这行代码：

sumb = sumb + (A/(4*pi))*exp(-miu*rr)*sin(jj)*dtheta;

可能首末点的取值不正确，还请有知道的朋友多多批评指教！