图论------最小生成树
A wise man changes his mind, a fool never will
生成树
一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含图中全部的n个顶点，但只有构成一棵树的n-1条边。
最小生成树
在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。
Prim算法(一般用于稠密图------邻接矩阵)
思想(贪心)
每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。
代码
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 505, INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N], dist[N];
int n;
bool st[N];
int prim() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++) {
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++)
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
st[t] = true;
if (i) res += dist[t];
for (int j = 1; j <= n; j ++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
int main() {
int m;
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while (m --) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF) cout << "impossible" << endl;
else cout << t << endl;
return 0;
}Kruskal 算法(一般用于稀疏图------邻接表)
思想
- 将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断。
- 如果这个边与之前选择的所有边不会组成回路(并查集)，就选择这条边；反之，舍去。
- 直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。
- 筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。
代码
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u和点 v 之间存在一条权值为 w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。数据范围
1 < = n < = 1 0 5 1<=n<=10^5 1<=n<=105
1 < = m < = 2 ∗ 1 0 5 1<=m<=2*10^5 1<=m<=2∗105
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。
输入样例：
4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4输出样例：
6
cpp
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
struct node {
int a, b, w;
bool operator< (node &b)const {
return w < b.w;
}
}e[N * 2];
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int n, m;
int kruskal() {
sort(e, e + m);
for (int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++) {
int a = e[i].a, b = e[i].b, w = e[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != find(b))
{
p[a] = p[b];
++ cnt;
res += w;
}
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i ++) {
int a, b, w;
cin >> a >> b >> w;
e[i] = {a, b, w};
}
int t = kruskal();
if (t == INF) cout << "impossible" << endl;
else cout << t << endl;
return 0;
}