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6 独立集及其算法
6.1 独立集和覆盖
6.1.1 独立数和覆盖数
独立集 ：设 S ⊆ V ( G ) S \subseteq V(G) S⊆V(G)，若 S S S 中任意两个顶点在 G G G 中都不相邻，即 G [ S ] G[S] G[S] 是空图，则称顶点子集 S S S 是 G G G 的一个顶点独立集，简称独立集。
团 ：若 S S S 中任何两个相异顶点都相邻，则称 S S S 为团。含有 k k k 个顶点的独立集，称为 k k k 独立集。含有 k k k 个顶点的团称为 k k k 团。
极大独立集 ：设 S S S 是图 G G G 的独立集，但是任意增加一个顶点不再是独立集，则称 S S S 为极大独立集。
最大独立集 ： G G G 中顶点数最多的独立集，称为 G G G 的最大独立集，数量大小记作 α ( G ) \alpha(G) α(G)。
覆盖 ： G G G 的顶点集的一个子集，包含 G G G 的每一条边的至少一个顶点。若 K K K 是图 G G G 的覆盖，但对任何 v ∈ K v \in K v∈K，都不是覆盖，则称 K K K 为极小覆盖。
最小覆盖 ：顶点数最少的覆盖称为最小覆盖，顶点数记作 β ( G ) \beta(G) β(G)。
6.1.2 性质
定理：设 S ⊂ V ( G ) S \subset V(G) S⊂V(G) 为顶点子集，则 S S S 是 G G G 的独立集的充要条件是 S ‾ \overline{S} S 为 G G G 的覆盖。
证明：设 S S S 是 G G G 的独立集，则 G G G 的任何一条边都至少有一个端点是 S ‾ \overline{S} S 中的顶点，故 S ‾ \overline{S} S 是 G G G 的覆盖。
设 S ‾ \overline{S} S 是 G G G 的覆盖，则 G G G 的任何一条边都至少有一个端点属于 S ‾ \overline{S} S，从而 G G G 的任何一条边都不可能两个端点都在 S S S中，亦即 S S S 中任何两个顶点都不想林，故 S S S 是 G G G 的独立集。
定理：对于任何图 G G G，有 α ( G ) + β ( G ) = v ( G ) \alpha(G)+\beta(G)=v(G) α(G)+β(G)=v(G)。
证明：设 S S S 是 G G G 的一个最大独立集， K K K 是 G G G 的最小覆盖， V ( G ) V(G) V(G) \ K K K 是 G G G 的独立集， V ( G ) V(G) V(G) \ S S S 是 G G G 的覆盖。因此， v ( G ) − β ( G ) ≤ ∣ V ( G ) v(G)-\beta(G) \leq |V(G) v(G)−β(G)≤∣V(G) \ K ∣ ≤ α ( G ) K| \leq \alpha(G) K∣≤α(G)， v ( G ) − α ( G ) ≤ ∣ V ( G ) v(G)-\alpha(G) \leq |V(G) v(G)−α(G)≤∣V(G) \ S ∣ ≤ β ( G ) S| \leq \beta(G) S∣≤β(G),移项得证。
6.1.3 极大独立集的计算
设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 是简单图，且 V = { v 1 , v 2 , . . . , v n } V=\{v_1,v_2,...,v_n\} V={v1,v2,...,vn}，约定 (1) G G G 的每个顶点 v i v_i vi 当作一个布尔变量；(2)布尔积 v i v j v_iv_j vivj 表示包含 v i , v j v_i,v_j vi,vj，相应于交运算 v i ∩ v j v_i \cap v_j vi∩vj；(3) 布尔和 v i + v j v_i+v_j vi+vj 表示包含 v i v_i vi 或 v j v_j vj，相应于并运算 v i ∪ v j v_i \cup v_j vi∪vj。
计算 ϕ ‾ \overline{\phi} ϕ，等于若干个 右边两点的补的并，例如 ϕ ‾ = ( v 1 ‾ + v 2 ‾ ) ( v 1 ‾ + v 3 ‾ ) ( v 1 ‾ + v 4 ‾ ) ( v 3 ‾ + v 4 ‾ ) ( v 3 ‾ + v 6 ‾ ) ( v 4 ‾ + v 5 ‾ ) ( v 5 ‾ + v 6 ‾ ) = v 2 ‾ v 3 ‾ v 4 ‾ v 6 ‾ + v 2 ‾ v 3 ‾ v 4 ‾ v 5 ‾ + v 1 ‾ v 3 ‾ v 4 ‾ v 6 ‾ + v 1 ‾ v 3 ‾ v 5 ‾ + v 1 ‾ v 2 ‾ v 4 ‾ v 6 ‾ \overline{\phi} = (\overline{v_1} + \overline{v_2})(\overline{v_1} + \overline{v_3})(\overline{v_1} + \overline{v_4})(\overline{v_3} + \overline{v_4})(\overline{v_3} + \overline{v_6})(\overline{v_4} + \overline{v_5})(\overline{v_5} + \overline{v_6}) = \overline{v_2}\overline{v_3}\overline{v_4}\overline{v_6} + \overline{v_2}\overline{v_3}\overline{v_4}\overline{v_5} + \overline{v_1}\overline{v_3}\overline{v_4}\overline{v_6} + \overline{v_1}\overline{v_3}\overline{v_5} + \overline{v_1}\overline{v_2}\overline{v_4}\overline{v_6} ϕ=(v1+v2)(v1+v3)(v1+v4)(v3+v4)(v3+v6)(v4+v5)(v5+v6)=v2v3v4v6+v2v3v4v5+v1v3v4v6+v1v3v5+v1v2v4v6，因此所有极大独立集为 { v 1 , v 5 } , { v 1 , v 6 } , { v 2 , v 5 } , { v 2 , v 4 , v 6 } , { v 3 , v 5 } \{v_1,v_5\},\{v_1,v_6\},\{v_2,v_5\},\{v_2,v_4,v_6\},\{v_3,v_5\} {v1,v5},{v1,v6},{v2,v5},{v2,v4,v6},{v3,v5}，最大独立集为 { v 2 , v 4 , v 6 } \{v_2,v_4,v_6\} {v2,v4,v6}， α ( G ) = 3 \alpha(G)=3 α(G)=3。
6.1.4 独立集与连通度的关系
定理：设 G G G 是 n ( n ≥ 2 ) n(n \geq 2) n(n≥2) 阶简单图，且对 G G G 中任何不相邻的相异顶点 x , y x,y x,y，均有 d ( x ) + d ( y ) ≥ n d(x)+d(y) \geq n d(x)+d(y)≥n，则 α ( G ) ≤ K ( G ) \alpha(G) \leq K(G) α(G)≤K(G)。
证明：完全图下，结论显然成立。
(反证法)若 α ( G ) ≥ K ( G ) + 1 \alpha(G) \geq K(G) + 1 α(G)≥K(G)+1，设 S , T S,T S,T 分别是 G G G 中最大独立集和最小顶点割，则有 ∣ S ∣ = α ( G ) = α ≥ 2 |S| = \alpha(G) = \alpha \geq 2 ∣S∣=α(G)=α≥2， ∣ T ∣ = K ( G ) = k |T| = K(G) = k ∣T∣=K(G)=k。设 G 1 , G 2 , . . . , G l G_1,G_2,...,G_l G1,G2,...,Gl 是 G − T G-T G−T 的连通分支， l ≥ 2 l \geq 2 l≥2，则由 S S S 是独立集知 ∣ N G ( x ) ∪ N G ( y ) ≤ n − α , ∀ x , y ∈ S |N_G(x) \cup N_G(y) \leq n - \alpha, \forall x,y \in S ∣NG(x)∪NG(y)≤n−α,∀x,y∈S。于是 ∀ x , y ∈ S \forall x,y \in S ∀x,y∈S，有 ∣ N G ( x ) ∪ N G ( y ) ∣ = ∣ N G ( x ) ∣ + ∣ N G ( y ) ∣ − ∣ N G ( x ) ∪ N G ( y ) ∣ = d G ( x ) + d G ( y ) − ∣ N G ( x ) ∪ N G ( y ) ∣ ≥ n − ( n − α ) = α ≥ k + 1 > ∣ T ∣ |N_G(x) \cup N_G(y)| = |N_G(x)| + |N_G(y)| - |N_G(x) \cup N_G(y)| = d_G(x) + d_G(y) - |N_G(x) \cup N_G(y)| \geq n-(n-\alpha)=\alpha \geq k + 1 > |T| ∣NG(x)∪NG(y)∣=∣NG(x)∣+∣NG(y)∣−∣NG(x)∪NG(y)∣=dG(x)+dG(y)−∣NG(x)∪NG(y)∣≥n−(n−α)=α≥k+1>∣T∣。
注意到，与属于 G − T G-T G−T 的不同连通分支的两个顶点同时相邻的顶点只能属于 T T T，故上式表明，在 G − T G-T G−T 中，恰有一个连通分支含 S S S 中顶点。不妨设 S ⊆ V ( G 1 ) ∪ T , x ∈ V ( G 1 ) ∩ S S \subseteq V(G_1) \cup T, x \in V(G_1) \cap S S⊆V(G1)∪T,x∈V(G1)∩S，令 y ∈ V ( G 2 ) y \in V(G_2) y∈V(G2)，则 ∣ N G ( x ) ∪ N G ( y ) ∣ ≤ n − ∣ S − V ( G 1 ) − 1 ∣ = n − α + ∣ S ∩ T ∣ − 1 |N_G(x) \cup N_G(y)| \leq n - |S-V(G_1)-1| = n - \alpha + |S \cap T| -1 ∣NG(x)∪NG(y)∣≤n−∣S−V(G1)−1∣=n−α+∣S∩T∣−1。又因为 N G ( x ) ∩ N G ( y ) ⊆ T N_G(x) \cap N_G(y) \subseteq T NG(x)∩NG(y)⊆T \ S S S,.所以 ∣ N G ( x ) ∩ N G ( y ) ≤ k − ∣ S ∩ T ∣ |N_G(x) \cap N_G(y) \leq k - |S \cap T| ∣NG(x)∩NG(y)≤k−∣S∩T∣。综合两个式子，得 d G ( x ) + d G ( y ) = ∣ N G ( x ) ∪ N G ( y ) ∣ + ∣ N G ( x ) ∩ N G ( y ) ∣ ≤ ( n − α + ∣ S ∩ T ∣ − 1 ) + ( k − ∣ S ∩ T ∣ ) = n − α + k − 1 ≤ n − 2 d_G(x)+d_G(y) = |N_G(x) \cup N_G(y)| + |N_G(x) \cap N_G(y)| \leq (n-\alpha+|S \cap T| -1) + (k - |S \cap T|) = n - \alpha + k - 1 \leq n - 2 dG(x)+dG(y)=∣NG(x)∪NG(y)∣+∣NG(x)∩NG(y)∣≤(n−α+∣S∩T∣−1)+(k−∣S∩T∣)=n−α+k−1≤n−2 与已知矛盾，所以 α ( G ) ≤ K ( G ) \alpha(G) \leq K(G) α(G)≤K(G)。
6.2 Ramsey数
6.2.1 Ramsey数
Ramsey数 ：给定正整数 k , l k,l k,l，若存在一个正整数 n n n，使得任何 n n n 阶简单图或者含有 k k k 团，或者含有 l l l 独立集，则记之为 n → ( k , l ) n \rightarrow (k,l) n→(k,l)，并称使 n → ( k , l ) n \rightarrow (k,l) n→(k,l) 成立的最小正整数 n n n 为 R a m s e y Ramsey Ramsey 数，记作 r ( k , l ) r(k,l) r(k,l)。
由 R a m s e y Ramsey Ramsey 数的定义，容易得到如下结论：
- n ′ ≥ n n' \geq n n′≥n，且 n → ( k , l ) n \rightarrow (k,l) n→(k,l)，则 n ′ → ( k , l ) n' \rightarrow (k,l) n′→(k,l)
- 若 r ( k , l ) r(k,l) r(k,l) 存在，则 r ( l , k ) r(l,k) r(l,k) 也存在，且 r ( k , l ) = r ( l , k ) r(k,l)=r(l,k) r(k,l)=r(l,k)
- r ( 1 , l ) = r ( l , 1 ) = 1 r(1,l)=r(l,1)=1 r(1,l)=r(l,1)=1
- r ( 2 , l ) = r ( l , 2 ) = l r(2,l)=r(l,2)=l r(2,l)=r(l,2)=l
定理：对于任何正整数 k , l k,l k,l，有 ( k , l ) (k,l) (k,l) 存在。
证明：对 k , l k,l k,l 使用双重归纳法。已知对任何正整数 k , l k,l k,l， r ( k , 1 ) = r ( 1 , l ) = 1 r(k,1)=r(1,l)=1 r(k,1)=r(1,l)=1，下设 k ≥ 2 , l ≥ 2 k \geq 2,l \geq 2 k≥2,l≥2。假设 r ( k − 1 , l ) ， r ( k , l − 1 ) r(k-1,l)，r(k,l-1) r(k−1,l)，r(k,l−1) 都存在，往证 r ( k − 1 , l ) + r ( k , l − 1 ) → ( k , l ) r(k-1,l)+r(k,l-1) \rightarrow (k,l) r(k−1,l)+r(k,l−1)→(k,l)。设 G G G 是任意一个 r ( k − 1 , l ) + r ( k , l − 1 ) r(k-1,l)+r(k,l-1) r(k−1,l)+r(k,l−1) 阶简单图，设 v ∈ V ( G ) v \in V(G) v∈V(G)，因为 d G ( v ) + d G ‾ ( v ) = r ( k − 1 , l ) + r ( k , l − 1 ) − 1 d_G(v)+d_{\overline{G}}(v) = r(k-1,l)+r(k,l-1)-1 dG(v)+dG(v)=r(k−1,l)+r(k,l−1)−1，所以下列两种情况必有一种出现：（1） d G ( v ) ≥ r ( k − 1 , l ) d_G(v) \geq r(k-1,l) dG(v)≥r(k−1,l)，（2） d G ‾ ( v ) ≥ r ( k , l − 1 ) d_{\overline{G}}(v) \geq r(k,l-1) dG(v)≥r(k,l−1)。若（1）出现，记 N G ( v ) = S N_G(v)=S NG(v)=S，则 ∣ S ∣ ≥ r ( k − 1. l ) |S| \geq r(k-1.l) ∣S∣≥r(k−1.l)，从而 G [ S ] G[S] G[S] 中或者含有 k − 1 k-1 k−1 团，或者含有 l l l 独立集，于是 G [ S ∪ { v } ] G[S \cup \{v\}] G[S∪{v}] 中或者含有 k k k 团，或者含有 l l l 独立集。若（2）出现，注意到 r ( k , l − 1 ) = r ( l − 1 , k ) r(k,l-1)=r(l-1,k) r(k,l−1)=r(l−1,k)，通过类似推理，也能得到上述推论，综上得证，从而 r ( k , l ) r(k,l) r(k,l) 存在。
6.2.2 Ramsey数的上界
定理：对任何正整数 k ≥ 2 , l ≥ 2 k \geq 2, l \geq 2 k≥2,l≥2，有 r ( k , l ) ≤ r ( k − 1 , l ) + r ( k , l − 1 ) r(k,l) \leq r(k-1,l) + r(k,l-1) r(k,l)≤r(k−1,l)+r(k,l−1)，并且若 r ( k − 1. l ) r(k-1.l) r(k−1.l)， r ( k , l − 1 ) r(k,l-1) r(k,l−1) 都是偶数，则有 r ( k , l ) ≤ r ( k − 1 , l ) + r ( k , l − 1 ) − 1 r(k,l) \leq r(k-1,l) + r(k,l-1) - 1 r(k,l)≤r(k−1,l)+r(k,l−1)−1。
证明...
定理：对于任何正整数 k , l k,l k,l，都有 r ( k , l ) ≤ C k + l − 2 k − 1 r(k,l) \leq C_{k+l-2}^{k-1} r(k,l)≤Ck+l−2k−1。
证明：对 k + l k+l k+l 用数学归纳法，利用 r ( 1 , l ) = r ( k , 1 ) = 1 r(1,l) = r(k,1) = 1 r(1,l)=r(k,1)=1 及 r ( 2 , l ) = l , r ( k , 2 ) = k r(2,l)=l,r(k,2)=k r(2,l)=l,r(k,2)=k 知， k + l ≤ 5 k+l \leq 5 k+l≤5 时，结论成立。设 m , n m,n m,n 为正整数，假设结论满足 5 ≤ k + l < m + n 5 \leq k+l < m+n 5≤k+l<m+n 的一切正整数 k , l k,l k,l 都成立，于是有 r ( m , n ) ≤ r ( m , n − 1 ) + r ( m − 1 , n ) ≤ C m + n − 3 m − 1 + C m + n − 3 m − 2 = C m + n − 2 m − 1 r(m,n) \leq r(m,n-1) + r(m-1,n) \leq C_{m+n-3}^{m-1} + C_{m+n-3}^{m-2}=C_{m+n-2}^{m-1} r(m,n)≤r(m,n−1)+r(m−1,n)≤Cm+n−3m−1+Cm+n−3m−2=Cm+n−2m−1，由归纳原理，结论对一切正整数 k , l k,l k,l 成立。
6.2.3 Ramsey数的下界
定理：对于任何正整数 k k k，有 r ( k , k ) > k ⋅ 2 k 2 − 2 r(k,k) > k · 2^{\frac{k}{2}-2} r(k,k)>k⋅22k−2。
证明：...
推论：对任何正整数 k , l k,l k,l，记 m = m i n { k , l } m=min\{k,l\} m=min{k,l}，则 r ( k , l ) > m ⋅ 2 m 2 − 2 r(k,l) > m·2^{\frac{m}{2}-2} r(k,l)>m⋅22m−2
6.2.4 Turan定理
k k k 部图 ：若图 G G G 的顶点集 V V V 可以划分成 V = V 1 ∪ V 2 ∪ . . . ∪ V k V=V_1 \cup V_2 \cup ... \cup V_k V=V1∪V2∪...∪Vk，这里 V i ∩ V j = ∅ V_i \cap V_j = \emptyset Vi∩Vj=∅，且 V i V_i Vi 中任何两个顶点在 G G G 中都不相邻，则称 G G G 是 k k k 部图，且 V i V_i Vi 中任一顶点与 V j V_j Vj 任一顶点之间恰有一条边相连 ( 1 ≤ i < j ≤ k 1 \leq i < j \leq k 1≤i<j≤k)，则称 G G G 是完全 k k k 部图。
定理：若简单图 G G G 不包含 K k + 1 K_{k+1} Kk+1，则存在一个以 V = V ( G ) V=V(G) V=V(G) 为顶点集的完全 k k k 部图 H H H，使得 d G ( x ) ≤ d H ( x ) ( ∀ x ∈ V ) d_G(x) \leq d_H(x)(\forall x \in V) dG(x)≤dH(x)(∀x∈V)，而且若 d G ( x ) = d H ( x ) ( ∀ x ∈ V ) d_G(x)=d_H(x) (\forall x \in V) dG(x)=dH(x)(∀x∈V)，则 G G G ≌ H H H。
证明：...
Turan图 ：设 v v v 是 n n n 阶完全 k k k 部图，若每一个 V i V_i Vi 取值都在 v k \frac{v}{k} kv 的下界与上界范围内，则把 G G G 记作 T v , k T_{v,k} Tv,k，即 T v , k T_{v,k} Tv,k 中任何两个 V i , V j V_i,V_j Vi,Vj 的顶点数最多相差 1 1 1。
引理：设 G G G 是 v v v 阶完全 k k k 部图，则 ε ( G ) ≤ ε ( T v , k ) \varepsilon(G) \leq \varepsilon(T_{v,k}) ε(G)≤ε(Tv,k)，并且若 ε ( G ) = ε ( T v , k ) \varepsilon(G)=\varepsilon(T_{v,k}) ε(G)=ε(Tv,k)，则 G G G ≌ T v , k T_{v,k} Tv,k。
证明：...
定理： e x ( v , K k + 1 ) = ε ( T v , k ) ex(v,K_{k+1}) = \varepsilon(T_{v,k}) ex(v,Kk+1)=ε(Tv,k)