定积分的应用@元素法@微元法@平面图形面积

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abstract

微元法
定积分的应用@平面图形面积@体积@弧长

微元法(元素法)

定积分(一重,二重,三重积分)应用的关键在于微元法
设所求的量 F F F依赖于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]以及在此区间上定义的某函数 f ( x ) f(x) f(x),且满足
- 当 f ( x ) f(x) f(x)为常数 C C C时, F = C ⋅ ( b − a ) F=C\cdot{(b-a)} F=C⋅(b−a)
- 当 [ a , b ] [a,b] [a,b]分为一些小区间 Δ x \Delta{x} Δx之和时,量 F F F也被分割为相应的一些 Δ F \Delta{F} ΔF之和,即 F F F具有可加性
将 f ( x ) f(x) f(x)在小区间 [ x , x + Δ x ] [x,x+\Delta{x}] [x,x+Δx]上视为常量,于是由微分学有,近似
- Δ F ≈ f ( x ) Δ x \Delta{F}\approx{f(x)}\Delta{x} ΔF≈f(x)Δx(1),或更准确表示为: Δ F \Delta{F} ΔF= f ( x ) Δ x + o ( Δ x ) f(x)\Delta{x}+o(\Delta{x}) f(x)Δx+o(Δx), ( Δ x → 0 ) (\Delta{x}\to{0}) (Δx→0)(2)
- 从而 d F \mathrm{d}F dF= f ( x ) d x f(x)\mathrm{d}x f(x)dx(3),两边做 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的积分,即 F = ∫ a b f ( x ) d x F=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x F=∫abf(x)dx
式(1)或(2)称为取微元 ,式(3)称为** F F F的微元**

微元法的步骤

划分,近似,求和,逼近

平面图形的面积

直角坐标系上图形面积

曲线 y = y 2 ( x ) y=y_2(x) y=y2(x)和 y = y 1 ( x ) y=y_1(x) y=y1(x),( y 2 ( x ) ⩾ y 1 ( x ) y_2(x)\geqslant{y_1(x)} y2(x)⩾y1(x))以及 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b围成的平面图形的面积 S = ∫ a b ( y 2 ( x ) − y 1 ( x ) ) d x S=\int_{a}^{b}(y_2(x)-y_1(x))\mathrm{d}x S=∫ab(y2(x)−y1(x))dx
曲线 x = x 2 ( y ) x=x_2(y) x=x2(y)和 x = x 1 ( y ) x=x_1(y) x=x1(y),( x 2 ( y ) ⩾ x 1 ( y ) x_2(y)\geqslant{x_1(y)} x2(y)⩾x1(y))以及 y = c , y = d y=c,y=d y=c,y=d围成的平面图形面积为 S = ∫ c d ( x 2 ( y ) − x 1 ( y ) ) d y S=\int_{c}^{d}(x_2(y)-x_1(y))\mathrm{d}y S=∫cd(x2(y)−x1(y))dy

参数方程确定的曲线所围成的图形面积

由参数方程: x = x ( t ) x=x(t) x=x(t), y = y ( t ) y=y(t) y=y(t), ( α ⩽ t ⩽ β ) (\alpha\leqslant{t}\leqslant\beta) (α⩽t⩽β)确定的曲线 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x),与 x x x轴, x = a , y = b x=a,y=b x=a,y=b所围成平面图形的面积 S S S
- 其中 x ( α ) = a x(\alpha)=a x(α)=a; x ( β ) = b x(\beta)=b x(β)=b;且 x ( t ) , y ( t ) , x ′ ( t ) x(t),y(t),x'(t) x(t),y(t),x′(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]连续
则
- S = ∫ α β ∣ y ( t ) x ′ ( t ) ∣ d t S=\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)x'(t)|\mathrm{d}t S=∫αβ∣y(t)x′(t)∣dt
- 或 S = ∫ α β ∣ x ( t ) y ′ ( t ) ∣ d t S=\int_{\alpha}^{\beta}|x(t)y'(t)|\mathrm{d}t S=∫αβ∣x(t)y′(t)∣dt
公式的推导可以直接由参数方程 x = x ( t ) x=x(t) x=x(t), y = y ( t ) y=y(t) y=y(t)和定积分的换元公式代入 S = ∫ α β ∣ y ∣ d x S=\int_{\alpha}^{\beta}|y|\mathrm{d}x S=∫αβ∣y∣dx得到,
- 设参数方程确定的曲线为 y 1 = f ( x ) y_1=f(x) y1=f(x),则将 x = x ( t ) x=x(t) x=x(t)代入,得 y ( t ) = f ( x ( t ) ) y(t)=f(x(t)) y(t)=f(x(t))
- S S S= ∫ α β ∣ f ( x ) ∣ d x \int_\alpha^{\beta}|f(x)|\mathrm{d}x ∫αβ∣f(x)∣dx= ∫ α β ∣ f ( x ( t ) ) ∣ x ′ ( t ) d t \int_\alpha^{\beta}|f(x(t))|x'(t)\mathrm{d}t ∫αβ∣f(x(t))∣x′(t)dt= ∫ α β ∣ y ( t ) ∣ x ′ ( t ) d t \int_\alpha^{\beta}|y(t)|x'(t)\mathrm{d}t ∫αβ∣y(t)∣x′(t)dt
- 其中被积函数 ∣ y ∣ |y| ∣y∣取绝对值是为了将 x x x下方的区域翻折到 x x x轴上侧,才是曲线和坐标轴围成的面积
S S S= ∫ α β ∣ y ( t ) ∣ x ′ ( t ) d x \int_{\alpha}^{\beta}|y(t)|x'(t)\mathrm{d}x ∫αβ∣y(t)∣x′(t)dx,其中 x ( t ) x(t) x(t)递增或递减,公式都成立

例

某些曲线方程的显函数形式不易表示,可考虑使用参数方程表示,并利用换元积分法的方法对参数方程确定的曲线相关图形的面积进行定积分计算
例如椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1所围区域的面积,
- 椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1在第一象限的面积,是整个椭圆面积 S S S的 1 4 \frac{1}{4} 41, S = 4 ∫ 0 a y d x S=4\int_{0}^{a}y\mathrm{d}x S=4∫0aydx,此时参数 t ∈ [ 0 , π 2 ] t\in[0,\frac{\pi}{2}] t∈[0,2π]
- 令 x = a cos ⁡ t x=a\cos{t} x=acost,则 y = b sin ⁡ t y=b\sin{t} y=bsint
- 当 x x x从 0 → a 0\to{a} 0→a时,即 a cos ⁡ t a\cos{t} acost从 0 → a 0\to{a} 0→a,即 cos ⁡ t \cos{t} cost从而 0 → 1 0\to{1} 0→1,所以 t t t从 π 2 → 0 \frac{\pi}{2}\to{0} 2π→0
- 应用定积分换元法, d x \mathrm{d}x dx= − a sin ⁡ t d t -a\sin{t}\mathrm{d}t −asintdt
- S S S= 4 ∫ π 2 0 b sin ⁡ t ⋅ ( − a ) sin ⁡ t d t 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}b\sin{t}\cdot{(-a)\sin{t}}\mathrm{d}t 4∫2π0bsint⋅(−a)sintdt= 4 a b ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 t d t 4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{t}\mathrm{d}t 4ab∫02πsin2tdt 对调积分限
  - = 4 a b ( 1 2 ( t − 1 2 sin ⁡ 2 t ) ) ∣ 0 π 2 4ab(\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}\sin{2t}))|_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4ab(21(t−21sin2t))∣02π= π a b \pi{ab} πab

极坐标上图形面积👺

极坐标曲线 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ)介于两射线 θ = α \theta=\alpha θ=α与 θ = β \theta=\beta θ=β, ( 0 < β − α ⩽ 2 π ) (0<\beta-\alpha\leqslant{2\pi}) (0<β−α⩽2π)之间的曲边扇形 的面积为 S = 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta S=21∫αβr2(θ)dθ

曲边扇形面积

曲边扇形:普通扇形(或称为圆弧扇形或圆扇形)的圆弧改为一般曲线弧后的图形
- 一般默认扇形指的是圆扇形
对于极坐标曲线方程 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ),自变量为极角 θ \theta θ,因变量为 r r r
假设 r ( θ ) r(\theta) r(θ)在区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续, r ( θ ) ⩾ 0 r(\theta)\geqslant{0} r(θ)⩾0,求两射线 θ = α \theta=\alpha θ=α与 θ = β \theta=\beta θ=β, ( 0 < β − α ⩽ 2 π ) (0<\beta-\alpha\leqslant{2\pi}) (0<β−α⩽2π)以及 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ)所围成的曲边扇形的面积 S S S
这个问题的计算公式可以通过定积分的定义推导
- 设区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]分为 n n n个部分区间,并构成 n n n个区间的 n + 1 n+1 n+1个分点为 α = θ 0 < θ 1 < ⋯ < θ n = β \alpha=\theta_0<\theta_1<\cdots<\theta_{n}=\beta α=θ0<θ1<⋯<θn=β
- 记 Δ θ i \Delta{\theta}{i} Δθi= θ i − θ i − 1 \theta_i-\theta{i-1} θi−θi−1, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n);取 λ = max ⁡ 1 ⩽ i ⩽ n { Δ θ i } \lambda=\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta\theta_{i}} λ=1⩽i⩽nmax{Δθi}
- 在每个部分区间内,任取一点 ξ i \xi_i ξi,(或记为 θ ‾ i \overline{\theta}_{i} θi)
- 那么以 ξ i \xi_i ξi为半径,以射线 θ = θ i − 1 \theta=\theta_{i-1} θ=θi−1和 θ = θ i \theta=\theta_i θ=θi为两个边作圆扇形 O A B OAB OAB
- 将这些小扇形的面积相加,得和式: S 1 S_1 S1= ∑ i = 1 n 1 2 [ r ( ξ i ) ] 2 Δ θ i \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}[r(\xi_i)]^2\Delta{\theta_{i}} ∑i=1n21[r(ξi)]2Δθi= ∑ i = 1 n 1 2 r 2 ( ξ i ) Δ θ i \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}r^2(\xi_i)\Delta{\theta_{i}} ∑i=1n21r2(ξi)Δθi,其正好是 f ( θ ) = 1 2 [ r ( θ ) ] 2 f(\theta)=\frac{1}{2}[r(\theta)]^2 f(θ)=21[r(θ)]2= 1 2 r 2 ( θ ) \frac{1}{2}{r^2(\theta)} 21r2(θ)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的积分和数
- λ \lambda λ越小, S 1 S_1 S1就越接近 S S S,由于 f ( θ ) f(\theta) f(θ)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,从而
  - lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 r 2 ( ξ i ) Δ θ i \lim\limits_{\lambda\to{0}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}r^2(\xi_i)\Delta{\theta_{i}}} λ→0lim∑i=1n21r2(ξi)Δθi= ∫ α β f ( θ ) d θ \int_{\alpha}^{\beta}f(\theta)\mathrm{d}\theta ∫αβf(θ)dθ= 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta 21∫αβr2(θ)dθ(1)
综上,公式 S = 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta S=21∫αβr2(θ)dθ,就是曲边扇形的面积

曲扇环面积

进一步地,若要求出曲扇环 ,(这里指扇环的两条圆弧改为一般曲线弧后的图形)
- 结合曲边扇形的描述,用极坐标描述这个图形为:两个直边重合的曲边扇形面积之差
- 即,由射线 θ = α , θ = β \theta=\alpha,\theta=\beta θ=α,θ=β,曲线 r = r 1 ( θ ) r=r_1(\theta) r=r1(θ), r = r 2 ( θ ) r=r_2(\theta) r=r2(θ), ( r 2 ( θ ) ⩽ r 1 ( θ ) ) (r_2(\theta)\leqslant r_1(\theta)) (r2(θ)⩽r1(θ))所围成的图形面积为 S = 1 2 ∫ α β r 1 2 ( θ ) d θ S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r_1^2(\theta)\mathrm{d}\theta S=21∫αβr12(θ)dθ- 1 2 ∫ α β r 2 2 ( θ ) d θ \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r_2^2(\theta)\mathrm{d}\theta 21∫αβr22(θ)dθ= 1 2 ∫ α β [ r 1 2 ( θ ) − r 2 2 ( θ ) ] d θ \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)]\mathrm{d}\theta 21∫αβ[r12(θ)−r22(θ)]dθ

应用

例

极坐标方程 r 2 = 2 a 2 cos ⁡ 2 θ r^2=2a^2\cos{2\theta} r2=2a2cos2θ围成的区域面积
- 该方程曲线是伯努利双纽线(系数为 2 a 2 2a^2 2a2),该图形不连续,且有2个相互垂直的对称轴,并且被这两个对称轴划分为全等的4部分(相关性质另加它文)
- 只需要研究其在 ( r > 0 , θ ∈ [ 0 , π 2 ] ) (r>0,\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]) (r>0,θ∈[0,2π])的部分仅有 θ ∈ [ 0 , π 4 ] \theta\in[0,\frac{\pi}{4}] θ∈[0,4π]部分有定义,因此参数 θ \theta θ从 0 0 0变化到 π 4 \frac{\pi}{4} 4π
- 套用极坐标方程的曲线面积公式; S 0 S_0 S0= 1 2 ∫ 0 π 4 2 a 2 cos ⁡ 2 θ d θ \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2a^2\cos2\theta\mathrm{d}\theta 21∫04π2a2cos2θdθ= a 2 2 \frac{a^2}{2} 2a2
- 从而 S S S= 4 S 0 4S_0 4S0= 2 a 2 2a^2 2a2

例

平面区域 D D D由曲线 y = x 2 y=x^2 y=x2, x = y 2 x=y^2 x=y2围成,求面积 S S S
- 解出两曲线交点 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1)
- 绘出草图,可知 y = x 2 y=x^2 y=x2在 y = x y=\sqrt{x} y=x ( x ⩾ 0 x\geqslant{0} x⩾0)相交的图形上方曲线为 y = x y=\sqrt{x} y=x
- 由面积公式: S = ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x S=\int_{0}^{1}(\sqrt{x-x^2})\mathrm{d}x S=∫01(x−x2 )dx= [ 3 2 x 3 2 − 1 3 x 3 ] 0 1 [\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1} [23x23−31x3]01= 1 3 \frac{1}{3} 31