一、说明
欢迎回到这个三部曲的第二部分!在第一部分中,我们为测度论概率奠定了基础。我们探索了测量和可测量空间的概念,并使用这些概念定义了概率空间。在本文中,我们使用测度论来理解随机变量。
作为一个小回顾,在第一部分中,我们看到概率空间可以使用测度理论按以下方式定义:
现在,我们将考虑范围扩展到随机变量。在学校中,通常引入随机变量作为其值是随机的变量。例如,掷骰子的结果可以通过随机变量X建模,其值随机为 1、2、3、4、5 或 6。虽然这个定义适用于概率的基本应用,但它是一点也不严谨,并且错过了一些非常令人满意的直觉。
二、可测量的功能
因此,我们现在转向测度理论来定义随机变量。为了做到这一点,我们必须定义一个可测量的函数:
让我们分解一下这个定义。首先,与任何其他函数一样,可测量函数将一个集合中的元素映射到另一个集合。但这还不是全部,这个函数还有更多维度。函数f 的域和余域都是分别配备有 σ 代数 ℱ 和 ℳ 的可测空间。而且,最重要的是,可测量函数可以将测量从域的可测量空间"传输"到共域的可测量空间。这是什么意思?假设可测空间*(F, ℱ ) 的* 测度为µ 。然后,我们可以应用f 来获得可测空间 (M, ℳ) 的测度*。*如何?出色地,
而且,我们已经定义了一个可测函数,f⁻1( A)肯定属于 F的 σ 代数,因此可以通过测度 µ 来指定。
图片来源:马修·伯恩斯坦
该图的 A 部分描绘了两个可测量空间*(F,ℱ)* 和*(H,ℋ)。* σ 代数由黑线概述的集合生成。B 部分描述了将F 映射到H 的有效可测量函数f 。即,左边的集合是域,右边的集合是共域。颜色说明f 下F 和H 的子集之间的图像关系。例如,F中的蓝色集合的图像是 H 中的蓝色集合。我们看到ℋ 的每个成员都有一个可测量的原像。C 部分描述了一个不可测量的函数。该函数是不可测量的,因为ℋ 中的蓝色集具有不属于 ℱ 成员的原像*。*
三、随机变量
现在我们已经定义了可测量函数,我们可以开始处理随机变量。使用测度论,我们按以下方式定义随机变量:
这说明了什么?简而言之,随机变量是将概率空间中的元素映射到可测量空间的函数。如果您还记得的话,集合 Ω 称为样本空间,代表所有可能的未来。随机变量X 简单地将每个可想象的未来映射到某个集合F 中的元素。集合F是 X 可以取的所有可能值的集合。随机变量是概率空间中的可测量函数,因为它允许我们将概率测量从概率空间"传输"到我们正在考虑的X结果集。
四、离散随机变量
为了说明这一点,我们考虑抛硬币。令Y 为随机变量,代表抛掷一枚公平硬币的结果。然后,集合 Ω 代表所有可能的未来------硬币在空中旋转、着陆、弹跳等的无限种方式。随机变量将每个未来映射到可测量的空间*(H, ℋ)* ,其中H:={ 0,1}。 在这里,我们将反面编码为 0,将正面编码为 1。例如,硬币可以有两种方式a 和b ,其中硬币在空中翻转并落地为正面。那么X(a)=1 并且X(b)=1。
H 上的 σ 代数表示我们希望为其分配概率的所有结果组:
这里需要注意的是,ℋ中的每个元素在原始概率空间中的 X 下都有一个原像,即该原像是E的成员。因此,我们可以根据测度为ℋ 中的每个集合分配一个概率根据P得到其原像:
用熟悉的表示法来说,这很简单:P(X=1)。
五、连续随机变量
现在,我们转向连续随机变量。这有一个稍微不同的方法,因为,很明显,如果我们采用与离散随机变量相同的方法,我们将遇到数学矛盾。
连续随机变量还将集合 Ω 中的元素映射到集合H。 但在这种情况下,H是所有实数的集合。那是,
现在的问题是,我们不能像对待离散随机变量那样拥有 σ 代数。根据可测函数的定义,我们需要在 ℝ 上构造 σ-代数ℋ ,使得 ℋ 中每个元素的原像都是E 中的一个事件。但是,我们不能为 ℝ 中的每个元素分配非零概率因为集合的基数是无穷大,即它是不可数无限集合。任何为集合中的每个元素分配概率的尝试都会导致 σ-代数ℋ的概率为无穷大------这是一个矛盾,因为任何事件的概率都不能大于 1。
为了避免这个问题,我们转向Borel σ-代数。这本身就是一个广泛深入的话题,需要大量的拓扑知识,因此我们不会在本文中深入探讨。但直观上,Borel σ 代数处理的是实线上的所有区间,而不是实线本身。 也就是说,实线上的区间*(x,y)是 ℋ 的一个元素,因此在* X 下具有可测量的原像。并且,我们分配所有长度为零的区间,即仅包含一个实数的单例集,概率为0。也就是说,分配给任何特定实数的概率为零。然而,分配给实数区间的概率可以是非零的。
现在,我们如何计算 ℋ 中区间原像的测度?大多数情况下,这是通过使用概率密度函数来实现的------概率密度函数是概率中熟悉的概念。这是通过以下方式定义的:
通常,LHS 表示为P(a < X < b)。
至此,我们现在统一了离散随机变量和连续随机变量的概念。希望这为概率论这个反直觉的怪物提供了一些令人满意的直觉。而且,我应该说,测度论不仅仅用于统一这些概念。事实上,通过以这种方式定义随机变量,我们现在已经配备了处理非数字结果(即向量、集合和函数)的随机变量所需的机制。
本三部曲的最后一篇文章将探讨如何使用测度论来理解数学期望。
感谢您的阅读,祝您度过愉快的一天!