概率论

【TJU】研究生应用统计学课程笔记（2）——第一章数理统计的基本知识（1.3 统计中常用的分布族）分布函数族： F ( x ; θ ) F(x; \theta) F(x;θ) 表示 X X X 的分布，参数 θ \theta θ 可能取值的集合称为参数空间，记作 Θ \Theta Θ，称 { F ( x ; θ ) : θ ∈ Θ } \{F(x; \theta) : \theta \in \Theta\} {F(x;θ):θ∈Θ} 为 X X X 的分布函数族。

【TJU】研究生应用统计学课程笔记（3）——第一章数理统计的基本知识（1.4 正态总体的样本均值和样本方差的分布、1.5 充分统计量和完备统计量）设 ( X 1 , … , X n ) (X_1, \dots, X_n) (X1,…,Xn) 是取自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2) 的一个样本， X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i Xˉ=n1∑i=1nXi， S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_

概率论：事件与概率的深度剖析目录前言总结：一、基本定义二、事件之间的运算：逻辑代数运算（1）事件之间的关系（2）常见的运算定律及大一统记忆口诀

密码杂凑函数 -- 生日攻击

【TJU】研究生应用统计学课程笔记（1）——第一章数理统计的基本知识（1.1 数理统计的基本内容、1.2 数理统计的基本概念）定义：样本空间到实数集的函数。按取值类型可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量通常用概率质量函数描述： P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2 , . . . P(X = x_i) = p_i, i = 1, 2, ... P(X=xi)=pi,i=1,2,...

【TJU】应用统计学——第五周作业（3.1 假设检验的基本思想、3.2 单个正态总体参数的假设检验）1️⃣ 对正态总体数学期望的检验问题，当方差已知时采用的检验统计量服从（）分布设总体为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，且 σ 2 \sigma^2 σ2 已知，检验 H 0 : μ = μ 0 H_0:\mu=\mu_0 H0:μ=μ0 时常用统计量为

大模型、运筹优化、概率论与控制论在港口物流智能调度中的融合应用（挑战与未来研究报告）一、研究摘要针对港口物流场景船舶到港不确定、作业扰动频繁、实时调度难度大等痛点，本报告提出大模型预测+运筹学算法实时决策+概率论辅助决策+控制论实时调整的四层协同智能调度框架。该框架以大模型完成多源异构数据长时序概率预测，为调度提供前瞻性输入；以运筹学传统算法实现港口泊位、岸桥、集卡、堆场资源的硬约束实时优化决策；依托概率论量化作业风险与不确定性，筛选鲁棒性最优调度方案；通过控制论实现作业过程实时反馈与动态纠偏，形成“预测-决策-抗扰-调控”闭环。报告系统梳理该融合架构的核心优势与技术逻辑，深入分析层间信

贝叶斯滤波与卡尔曼滤波「贝叶斯滤波用似然 × 先验求最大后验（MAP）」，和「卡尔曼滤波用联合高斯分布求条件后验」，不是两种不同的估计思路，而是线性高斯假设下，同一个贝叶斯推断的两种等价实现方式。

机器学习概率论与统计学--(13)线性回归线性回归是统计学和机器学习中最基础、最常用的预测模型。它研究一个或多个自变量（预测变量）与一个连续因变量之间的线性关系。本讲将深入探讨线性回归的模型假设、参数估计（最小二乘法与最大似然估计的等价性）、显著性检验（t检验与F检验）、模型诊断（残差分析、异常值检测）、拟合优度（R²与调整R²）以及多重共线性的识别与处理。

机器学习概率论与统计学--(12)假设检验假设检验是统计推断的另一大支柱。它提供了一套规范的流程，用于根据样本数据对关于总体的某个陈述（假设）做出拒绝或不拒绝的决策。本讲将从基本概念出发，介绍假设检验的框架、两类错误、常见参数检验方法（t检验、方差分析）以及非参数检验（卡方检验），最后讨论p值的局限。

30_泰勒级数泰勒级数是一种用多项式来逼近任意光滑函数的方法。它的核心思想是：如果你知道一个函数在某一点处的各阶导数，你就可以用一个无限次的多项式来还原它（在收敛区间内）。

误差状态卡尔曼滤波（ESKF）推导目录1. 概率基础知识1.1 独立1.2 全概率公式1.3 条件概率公式1.4 贝叶斯公式1.5 高斯概率密度函数

⊱⋛赫宇⋚⊰

转专业数学一、 1、2、3、全忘 4、设f(x)f(x)f(x)满足f′′(x)+(f′(x))2=sin⁡2(x)f''(x)+(f'(x))^2=\sin^2(x)f′′(x)+(f′(x))2=sin2(x)，f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0，则 A、000是f(x)f(x)f(x)的极大值点 B、000是f(x)f(x)f(x)的极小值点 C、000不是f(x)f(x)f(x)的极值点，(0,f(0))(0,f(0))(0,f(0))是f(x)f(x)f(x)的拐点 D、000不是f(x)f(x)

概率-基础概率是一个介于 000 和 111 之间的数（包含 000 和 111），用于衡量事件发生的可能性:样本空间（Sample Space）：指一个随机试验中，所有可能出现的结果的集合，通常用符 Ω\OmegaΩ（大写希腊字母欧米伽）表示。

【TJU】应用统计学——第四周作业（2.3 C-R不等式、2.4区间估计）1️⃣ 设 θ ^ 1 , θ ^ 2 \hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2 θ^1,θ^2 是 θ \theta θ 的点估计，若 D ( θ ^ 1 ) ≤ D ( θ ^ 2 ) D(\hat{\theta}_1) \le D(\hat{\theta}_2) D(θ^1)≤D(θ^2), 则 θ ^ 1 \hat{\theta}_1 θ^1 比 θ ^ 2 \hat{\theta}_2 θ^2 更有效。

eiθ=cosθ+isinθ证明ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+⋯ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+5!x5+⋯

机器学习概率论与统计学--(11)概率论极限定理极限定理是概率论中连接抽象理论与实际应用的关键桥梁。它们解释了为什么在大量重复试验下，随机现象会呈现出稳定的规律性，以及为什么正态分布在自然界中无处不在。本讲将深入讲解两大核心定理：大数定律（以弱大数定律为主）和中心极限定理，包括其数学表述、直观理解、证明思路（切比雪夫不等式）以及实际应用中的近似计算。

【理论推导】指数族分布的核心性质：对数配分函数的梯度为什么是充分统计量的期望？对于指数族分布，对数配分函数 A ( η ) A(\eta) A(η) 关于自然参数 η \eta η 的梯度，恰好等于该分布下充分统计量 T ( x ) T(x) T(x) 的期望，即 ∇ A ( η ) = E x ∼ q [ T ( x ) ] \nabla A(\eta) = \mathbb{E}_{x \sim q}[T(x)] ∇A(η)=Ex∼q[T(x)] 本文给出这一性质的理论证明。

26_为什么工程上必须使用拉普拉斯变换简单来说：强制性加入拉普拉斯分析，是因为现实工程系统太"笨"，只懂乘除，不懂微积分。或者说，拉普拉斯变换是把复杂的微积分方程变成简单的代数方程的魔法。

庄周迷蝴蝶

Extended Kalman Filter目录1、雅可比矩阵2、图解和公式2.1 预测2.2 更新3、EKF的局限性解决线性问题的KF见：https://blog.csdn.net/weixin_39559465/article/details/159685860?spm=1001.2014.3001.5501