Unity中Shader裁剪空间推导（透视相机到裁剪空间的转化矩阵）

文章目录

前言
[一、简单看一下观察空间--->裁剪空间--->屏幕空间的转化](#一、简单看一下观察空间—>裁剪空间—>屏幕空间的转化)
二、透视相机的参数推导
- [1、从XoY平面，求出X~v~从观察空间到裁剪空间的坐标投影 X~p~](#1、从XoY平面，求出X_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 X_p)
- [2、从YoZ平面，求出Y~v~从观察空间到裁剪空间的坐标投影 Y~p~](#2、从YoZ平面，求出Y_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 Y_p)
[三、把投影到近裁剪面的坐标归一化设置](#三、把投影到近裁剪面的坐标归一化设置)
- [1、求归一化设置后的 x~n~](#1、求归一化设置后的 x_n)
- [2、求归一化设置后的 y~n~](#2、求归一化设置后的 y_n)
- 3、得到最后化简的公式
四、构建转化矩阵

前言

我们把顶点坐标信息转化为裁剪空间。有可能使用到正交相机信息或透视相机。我们在这篇文章中，推导一下透视相机视图空间下的坐标转化到裁剪空间的矩阵。

一、简单看一下观察空间--->裁剪空间--->屏幕空间的转化

1、观察空间（右手坐标系、透视相机）

2、裁剪空间（左手坐标系、且转化为了齐次坐标）

3、屏幕空间（把裁剪坐标归一化设置）

4、从观察空间到裁剪空间

用透视投影矩阵先转化到裁剪空间

然后，在转化为齐次坐标

5、从裁剪空间到屏幕空间后

− 1 ≤ x c w ≤ 1 -1 \leq \frac{x_c}{w}\leq1 −1≤wxc≤1

− w ≤ x c ≤ w -w \leq x_c\leq w −w≤xc≤w

二、透视相机的参数推导

我们对于远裁剪面只是已知 f，其他参数都是未知

1、从XoY平面，求出X_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 X_p

点 V 是观察空间下的模型顶点，xyz是已知的
已知： ( x v , y v , z v ) 、 − n (x_v,y_v,z_v) 、 -n (xv,yv,zv)、−n
点P是该点在近裁剪面上的投影点，xyz是未知的
未知： ( x p , y p , z p ) (x_p,y_p,z_p) (xp,yp,zp)
我们在 XoZ平面上，能求的就是 x_p
求: x p x_p xp

z p = − n z_p = -n zp=−n

y p 在 X o Z 平面下，无法计算 y_p 在XoZ平面下，无法计算 yp在XoZ平面下，无法计算

v点向Z轴做垂线，原点连接v点，围成的两个三角形相似，可得：

x p x v = − n z v \frac{x_p}{x_v} = \frac{-n}{z_v} xvxp=zv−n

x p = − n z v x v x_p = \frac{-n}{z_v} x_v xp=zv−nxv

P = ( − n z v x v , 未知 , − n ) P = (\frac{-n}{z_v}x_v,未知,-n) P=(zv−nxv,未知,−n)

2、从YoZ平面，求出Y_v从观察空间到裁剪空间的坐标投影 Y_p

点 V 是观察空间下的模型顶点，xyz是已知的
已知： ( x v , y v , z v ) 、 − n (x_v,y_v,z_v) 、 -n (xv,yv,zv)、−n
点P是该点在近裁剪面上的投影点，xyz是未知的
未知： ( x p , y p , z p ) (x_p,y_p,z_p) (xp,yp,zp)
我们在 YoZ平面上，能求的就是 y_p
求: y p y_p yp

z p = − n z_p = -n zp=−n

x p 在 X o Z 平面下，无法计算 x_p 在XoZ平面下，无法计算 xp在XoZ平面下，无法计算

v点向Z轴做垂线，原点连接v点，围成的两个三角形相似，可得：

y p y v = − n z v \frac{y_p}{y_v} = \frac{-n}{z_v} yvyp=zv−n

y p = − n z v y v y_p = \frac{-n}{z_v} y_v yp=zv−nyv

P = ( − n z v x v , − n z v y v , − n ) P = (\frac{-n}{z_v}x_v,\frac{-n}{z_v} y_v,-n) P=(zv−nxv,zv−nyv,−n)

三、把投影到近裁剪面的坐标归一化设置

P = ( − n z v x v , − n z v y v , − n ) P = (\frac{-n}{z_v}x_v,\frac{-n}{z_v} y_v,-n) P=(zv−nxv,zv−nyv,−n)

化到[-1,1]之间

具体参考Unity中Shader裁剪空间推导（正交相机到裁剪空间的转化矩阵）

1、求归一化设置后的 x_n

l ≤ x ≤ r l \leq x \leq r l≤x≤r 化为： − 1 ≤ 2 x w ≤ 1 -1 \leq \frac{2x}{w} \leq 1 −1≤w2x≤1

− 1 ≤ − 2 n x v z v w ≤ 1 -1\leq \frac{-2nx_v}{z_vw}\leq 1 −1≤zvw−2nxv≤1

− 1 ≤ − 2 n w ⋅ x v z v ≤ 1 -1\leq \frac{-2n}{w}·\frac{x_v}{z_v}\leq 1 −1≤w−2n⋅zvxv≤1

2、求归一化设置后的 y_n

l ≤ y ≤ r l \leq y \leq r l≤y≤r 化为： − 1 ≤ 2 y h ≤ 1 -1 \leq \frac{2y}{h} \leq 1 −1≤h2y≤1

− 1 ≤ − 2 n y v z v h ≤ 1 -1\leq\frac{-2ny_v}{z_vh}\leq1 −1≤zvh−2nyv≤1

− 1 ≤ − 2 n h ⋅ y v z v ≤ 1 -1\leq\frac{-2n}{h}·\frac{y_v}{z_v}\leq1 −1≤h−2n⋅zvyv≤1

3、得到最后化简的公式

由于NDC下的坐标由透视除法而得

我们假设透视除法中的 w 为 -z_v

还原到裁剪空间还需要乘以 -z_v

− 1 ≤ − 2 n w ⋅ x v z v ≤ 1 -1\leq \frac{-2n}{w}·\frac{x_v}{z_v}\leq 1 −1≤w−2n⋅zvxv≤1

x n = − 2 n w x v z v x_n = \frac{-2n}{w}\frac{x_v}{z_v} xn=w−2nzvxv

− x n z v = 2 n w x v -x_nz_v = \frac{2n}{w}x_v −xnzv=w2nxv

− 1 ≤ − 2 n h ⋅ y v z v ≤ 1 -1\leq\frac{-2n}{h}·\frac{y_v}{z_v}\leq1 −1≤h−2n⋅zvyv≤1

y n = − 2 n h y v z v y_n = \frac{-2n}{h}\frac{y_v}{z_v} yn=h−2nzvyv

− y n z v = 2 n h y v -y_n z_v= \frac{2n}{h}y_v −ynzv=h2nyv

z n = ? z_n = ? zn=?

− z n z v = − z v ? -z_nz_v = -z_v? −znzv=−zv?

w = 1 w = 1 w=1

− w n z v = − z v -w_nz_v = -z_v −wnzv=−zv

四、构建转化矩阵

裁剪空间下的点 = 观察空间下的基向量在裁剪空间下的矩阵 * 点在观察空间下的坐标

P c = [ V c ] ⋅ P v P_c = [V_c]·P_v Pc=[Vc]⋅Pv

P c = [ C v ] − 1 ⋅ P v P_c = [C_v]^{-1}·P_v Pc=[Cv]−1⋅Pv

P c = [ C v ] T ⋅ P v P_c = [C_v]^{T}·P_v Pc=[Cv]T⋅Pv

− x n z v = 2 n w x v -x_nz_v = \frac{2n}{w}x_v −xnzv=w2nxv
− y n z v = 2 n h y v -y_n z_v= \frac{2n}{h}y_v −ynzv=h2nyv
− z n z v = − z v ? -z_nz_v = -z_v? −znzv=−zv?
− w n z v = − z v -w_nz_v = -z_v −wnzv=−zv

2 v w 0 ? ? 0 2 n h ? ? 0 0 ? ? 0 0 ? ? \] T = \[ 2 v w 0 0 0 0 2 n h 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? \] \\begin{bmatrix} \\frac{2v}{w} \& 0 \& ? \&?\\\\ 0 \& \\frac{2n}{h} \& ? \&?\\\\ 0 \& 0 \& ? \&?\\\\ 0 \& 0 \& ? \& ?\\\\ \\end{bmatrix}\^T =\\begin{bmatrix} \\frac{2v}{w} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\frac{2n}{h} \& 0 \&0\\\\ ? \& ? \& ? \&?\\\\ ? \& ? \& ? \& ?\\\\ \\end{bmatrix} w2v0000h2n00???????? T= w2v0??0h2n??00??00?? \[ 2 v w 0 0 0 0 2 n h 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? \] ⋅ \[ x v y v z v 1 \] = ( − x n z v , − y n z v , − z n z v , − w n z v ) \\begin{bmatrix} \\frac{2v}{w} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\frac{2n}{h} \& 0 \&0\\\\ ? \& ? \& ? \&?\\\\ ? \& ? \& ? \& ?\\\\ \\end{bmatrix} · \\begin{bmatrix} x_v\\\\ y_v\\\\ z_v\\\\ 1\\\\ \\end{bmatrix} = (-x_nz_v,-y_nz_v,-z_nz_v,-w_nz_v) w2v0??0h2n??00??00?? ⋅ xvyvzv1 =(−xnzv,−ynzv,−znzv,−wnzv) 最后一行由于相乘结果为1可以得出，把最后未知部分设为A，B \[ 2 v w 0 0 0 0 2 n h 0 0 0 0 A B 0 0 − 1 0 \] ⋅ \[ x v y v z v 1 \] \\begin{bmatrix} \\frac{2v}{w} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\frac{2n}{h} \& 0 \&0\\\\ 0 \& 0 \& A \&B\\\\ 0 \& 0 \& -1 \& 0\\\\ \\end{bmatrix} · \\begin{bmatrix} x_v\\\\ y_v\\\\ z_v\\\\ 1\\\\ \\end{bmatrix} w2v0000h2n0000A−100B0 ⋅ xvyvzv1 z c = A z v + B z_c = Az_v+B zc=Azv+B − z n z v = − z v -z_nz_v = -z_v −znzv=−zv z c − z v = A z v + B − z v \\frac{z_c}{-z_v} = \\frac{Az_v+B}{-z_v} −zvzc=−zvAzv+B z n = A z v + B − z v z_n = \\frac{Az_v+B}{-z_v} zn=−zvAzv+B ### 1、在OpenGL\[-1,1\]下： z n = A z v + B − z v z_n = \\frac{Az_v+B}{-z_v} zn=−zvAzv+B { z v = − n , z n = − 1 z v = − f , z n = 1 \\begin{cases} z_v = -n,z_n=-1 \\\\ z_v = -f,z_n = 1 \\end{cases} {zv=−n,zn=−1zv=−f,zn=1 { − 1 = − A n + B n 1 = − A f + B f \\begin{cases} -1 = \\frac{-An+B}{n}\\\\ 1 = \\frac{-Af + B}{f} \\end{cases} {−1=n−An+B1=f−Af+B { − n = − A n + B f = − A f + B \\begin{cases} -n = -An+B\\\\ f = -Af + B \\end{cases} {−n=−An+Bf=−Af+B B = A n − n B = An - n B=An−n f = − A f + A n − n f = -Af +An-n f=−Af+An−n f + n = A ( n − f ) f + n= A(n-f) f+n=A(n−f) A = n + f n − f A = \\frac{n+f}{n-f} A=n−fn+f B = n + f n − f n − n B = \\frac{n+f}{n-f}n-n B=n−fn+fn−n B = n 2 + f n n − f n 2 − n f n − f B = \\frac{n\^2 + fn}{n-f}\\frac{n\^2-nf}{n-f} B=n−fn2+fnn−fn2−nf B = 2 n f n − f B = \\frac{2nf}{n-f} B=n−f2nf ### 2、在DirectX\[1,0\]下： z n = A z v + B − z v z_n = \\frac{Az_v+B}{-z_v} zn=−zvAzv+B { z v = − n , z n = 1 z v = − f , z n = 0 \\begin{cases} z_v = -n,z_n=1 \\\\ z_v = -f,z_n = 0 \\end{cases} {zv=−n,zn=1zv=−f,zn=0 { 1 = − A n + B n 0 = − A f + B f \\begin{cases} 1 = \\frac{-An+B}{n}\\\\ 0 = \\frac{-Af+B}{f} \\end{cases} {1=n−An+B0=f−Af+B { n = − A n + B 0 = − A f + B \\begin{cases} n = -An+B\\\\ 0 = -Af+B \\end{cases} {n=−An+B0=−Af+B B = A f B = Af B=Af n = − A n + A f n = -An+Af n=−An+Af n = A ( f − n ) n = A(f-n) n=A(f−n) A = n f − n A =\\frac{n}{f-n} A=f−nn B = n f f − n B = \\frac{nf}{f-n} B=f−nnf ### 3、把A、B代入矩阵得 * OpenGL \[ 2 v w 0 0 0 0 2 n h 0 0 0 0 n + f n − f 2 n f n − f 0 0 − 1 0 \] \\begin{bmatrix} \\frac{2v}{w} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\frac{2n}{h} \& 0 \&0\\\\ 0 \& 0 \& \\frac{n+f}{n-f} \&\\frac{2nf}{n-f}\\\\ 0 \& 0 \& -1 \& 0\\\\ \\end{bmatrix} w2v0000h2n0000n−fn+f−100n−f2nf0 * DirectX \[ 2 v w 0 0 0 0 2 n h 0 0 0 0 n f − n n f f − n 0 0 − 1 0 \] \\begin{bmatrix} \\frac{2v}{w} \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& \\frac{2n}{h} \& 0 \&0\\\\ 0 \& 0 \& \\frac{n}{f-n} \&\\frac{nf}{f-n}\\\\ 0 \& 0 \& -1 \& 0\\\\ \\end{bmatrix} w2v0000h2n0000f−nn−100f−nnf0