数据结构，第8章：排序(复习）

Landing_on_Mars2023-12-30 11:10

目录

直接插入排序：

1. (程序题)

折半插入排序：

希尔排序：

3. (程序题)

[冒泡排序 ：](#冒泡排序 ：)

2. (程序题)

[快速排序 ：](#快速排序 ：)

5. (程序题)

简单选择排序：

4. (程序题)

堆排序：

6. (程序题)

前置知识：

稳定排序：如果有两个相等的元素在排序前后的相对顺序保持不变，那么排序算法是稳定的。

直接插入排序：

直接插入排序（Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法，其基本思想是将待排序的序列分成两部分，已排序部分和未排序部分。初始时，已排序部分只包含第一个元素，然后从未排序部分取出元素，插入到已排序部分的适当位置，使得已排序部分仍然有序。重复这个过程，直到未排序部分为空。

基本思想 ：排序方法中,从未排序序列中依次取出元素与已排序序列中的元素进行比较,将其放入已排序序列的正确位置上。

1. (程序题)

试设计算法实现直接插入排序,输出在第m趟排序后的结果

输入数据两行：

第1行：多个需要排序的整数，以0结束

第2行：数m，表示第几趟的插入算法

输入：

2 5 3 4 8 7 9 6 1 0

5

输出：

2 3 4 5 7 8 9 6 1

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <math.h>
#include <map>
#include <sstream>
#include <deque>
#include <unordered_map>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4;

int ar[N];
int n;

// 插入排序函数
void sort(int m) {
    for (int i = 2; i <= n && m; i++) {
        m--;
        if (ar[i - 1] > ar[i]) {
            ar[0] = ar[i];
            int j;
            for (j = i - 1; j > 0 && ar[0] < ar[j]; j--)
                ar[j + 1] = ar[j];
            ar[j + 1] = ar[0];
        }
    }
}

int main() {
    do {
        cin >> ar[++n];
    } while (ar[n]);
    n--; 
    int m;
    cin >> m;
    //m = n - 1;
    sort(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ar[i] << " ";
    }
    return 0;
}

用例1：

输入

2 5 3 4 8 7 9 6 1 0 5

输出

2 3 4 5 7 8 9 6 1

用例2：

输入

2 5 3 1 6 10 19 4 18 22 0 6

输出

1 2 3 5 6 10 19 4 18 22

折半插入排序：

折半插入排序是在直接插入排序的基础上的改进，使用二分查找确定插入的位置，虽然移动的次数不变，但是查找的效率得到了明显的提升。

cpp 复制代码 
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#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <math.h>
#include <map>
#include <sstream>
#include <deque>
#include <unordered_map>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4;

int ar[N];
int n;

// 插入排序函数
void sort() {
    for (int i = 2; i <= n ; i++) {
        if (ar[i - 1] > ar[i]) {
            ar[0] = ar[i];
            int j;
            int l = 1, r = i-1, mid, ret = 1;
            while (l <= r) {
                mid = l + (r - l) / 2;
                if (ar[mid]<=ar[0]) {
                    l = mid + 1;
                }
                else {
                    r = mid - 1;
                    ret = mid;
                }
            }
            for (j = i - 1; j >= ret ; j--)
                ar[j + 1] = ar[j];
            ar[ret] = ar[0];
        }
    }
}

int main() {
    do {
        cin >> ar[++n];
    } while (ar[n]);
    n--;
    sort();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ar[i] << " ";
    }
    return 0;
}

希尔排序：

希尔排序也是出入排序的一种改进版，通过固定的距离的跳跃取数将序列分为多组，每组内进行插入排序，最终实现序列的排序。 不难看出，简单插入排序就是间距为1的希尔排序。

希尔排序的时间复杂度是一个很难求解的问题，但大量的实验和研究表明，当增量序列为 dt[k]=2^(t-k+1)-1 时，时间复杂度为 O(n^(3/2)),其中 t 为排序趟数，1<=k<=t<=log2(n+1），当 n 趋向与无穷时 复杂度可以为 O（n(log2(n))^2)。

3. (程序题)

试编写算法，实现希尔排序。

输出在第m趟排序后的结果

输入数据两行：

第1行：多个需要排序的整数，以0结束

第2行：数m，表示第几趟的希尔排序算法

增量序列统一取【5，3，1】

输入：

1 8 4 6 7 9 5 3 2 11 0

1

输出：

1 5 3 2 7 9 8 4 6 11

cpp 复制代码 
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#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
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#include <utility>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <math.h>
#include <map>
#include <sstream>
#include <deque>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e4;

int n;
int ar[N], d[3] = {5, 3, 1};

void F(int u) {
    for (int i = 1 + u; i <= n; i++) {
        if (ar[i] < ar[i - u]) {
            ar[0] = ar[i];
            int j;
            for (j = i - u; j > 0 && ar[0] < ar[j]; j -= u)
                ar[j + u] = ar[j];
            ar[j + u] = ar[0];
        }
    }
}

void sort(int m) {
    for (int i = 0; i < 3 && i < m; i++) {
        F(d[i]);
    }
}

int main() {
    do {
        cin >> ar[++n];
    } while (ar[n]);
    n--;
    int m;
    cin >> m;
    sort(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ar[i] << " ";
    }
    return 0;
}

输入

3 15 9 15 10 4 8 12 20 13 0 2

输出

3 8 4 13 10 9 15 12 20 15

输入

1 8 4 6 7 9 5 3 2 11 0 1

输出

1 5 3 2 7 9 8 4 6 11

输入

100 81 4 66 7 9 55 3 2 11 9 0 3

输出

2 3 4 7 9 9 11 55 66 81 100

冒泡排序 ：

冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法，它重复地遍历待排序数组，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就交换它们。遍历数组的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是数组已经排序完成。

基本思想：排序时扫描待排序记录序列,顺次比较相邻的两个元素的大小,逆序时就交换位置。

2. (程序题)

试设计算法实现冒泡排序。输出在第m趟排序后的结果

输入数据两行：

第1行：多个需要排序的整数，以0结束

第2行：数m，表示第几趟后的冒泡算法

输入：

2 4 3 9 6 8 7 5 1 0

3

输出：

2 3 4 6 5 1 7 8 9

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <math.h>
#include <map>
#include <sstream>
#include <deque>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e4;

int ar[N];
int n;

void sort(int m) {
    for (int i = 1, flg = 0; i <= m; i++, flg = 0) {
        for (int j = 1; j <= n - i; j++) {
            if (ar[j] > ar[j + 1]) {
                flg = 1;
                ar[0] = ar[j];
                ar[j] = ar[j + 1];
                ar[j + 1] = ar[0];
            }
        }
        if (flg == 0)
            break;
    }
}

int main() {
    do {
        cin >> ar[++n];
    } while (ar[n]);
    n--;
    int m;
    cin >> m;
    sort(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ar[i] << " ";
    }
    return 0;
}

输入

2 4 3 9 6 8 7 5 1 0 3

输出

2 3 4 6 5 1 7 8 9

输入

3 15 9 15 10 4 8 12 0 4

输出

3 4 8 9 10 12 15 15

快速排序 ：

快速排序是由冒泡排序改进而得。在冒泡排序中，只对相邻的两个记录进行比较，因此每次交换两个相邻记录时只能消除一个逆序。如果能通过两个（不相邻）的记录的一次交换，消除多个逆序，则会大大加快排序的速度。快速排序方法中的一次交换可消除多个逆序。

算法步骤：

选择一个数，通常为第一个，通过交换排序将比这个数大的放到右边，比这个数小的放到左边，然后再使用递归方法，同样的处理两边的数，知道所有的数都有序。

平均时间复杂度O(nlog2(n))

不难发现快速排序的递归过程是一棵二叉树

快速排序（Quick Sort）是一种基于分治思想的排序算法。它选择一个基准元素，将数组分为两个子数组，使得左边的元素都小于基准元素，右边的元素都大于基准元素。然后递归地对左右子数组进行排序。快速排序是一种高效的排序算法，其平均时间复杂度为 O(n log n)。

5. (程序题)

试编写算法实现快速排序算法。

输入：

1 8 4 6 7 9 5 3 2 0

输出：

1 2 3 4 5 6 7 8 9

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <math.h>
#include <map>
#include <sstream>
#include <deque>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4;
int n;
int ar[N];
void sort(int L, int R) {
    if (L >= R)
        return;
    int t = ar[L];
    int l = L, r = R;
    while (l < r) {
        while (ar[r] >= t && l < r) {
            r--;
        }
        if (ar[r] < t)
            ar[l] = ar[r];
        while (ar[l] <= t && l < r) {
            l++;
        }
        if (ar[l] > t)
            ar[r] = ar[l];
    }
    ar[l] = t;
    sort(L, l - 1);
    sort(l + 1, R);
}

int main() {
    do {
        cin >> ar[++n];
    } while (ar[n]);
    n--;
    sort(1, n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ar[i] << " ";
    }
    return 0;
}

输入

1 8 4 6 7 9 5 3 2 0

输出

1 2 3 4 5 6 7 8 9

输入

9 15 3 15 10 4 8 12 0

输出

3 4 8 9 10 12 15 15

简单选择排序：

算法思路：

依次选出最小、第二小、第三小......最大的数，存入对应的位置。

4. (程序题)

试设计算法实现简单选择排序。

输出在第m趟排序后的结果

输入数据两行：

第1行：多个需要排序的整数，以0结束

第2行：数m，表示第几趟的排序

输入：

1 8 4 6 7 9 5 3 2 0

3

输出：

1 2 3 6 7 9 5 4 8

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <math.h>
#include <map>
#include <sstream>
#include <deque>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4;
int n;
int ar[N], d[3] = { 5, 3, 1 };
void sort(int m) {
    for (int i = 1; i < n && m; i++) {
        m--;
        int mn = i;
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            if (ar[j] < ar[mn]) {
                mn = j;
            }
        }
        ar[0] = ar[i];
        ar[i] = ar[mn];
        ar[mn] = ar[0];
    }
}

int main() {
    do {
        cin >> ar[++n];
    } while (ar[n]);
    n--;
    int m;
    cin >> m;
    sort(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ar[i] << " ";
    }
    return 0;
}

输入

1 8 4 6 7 9 5 3 2 0 3

输出

1 2 3 6 7 9 5 4 8

输入

53 82 9 233 43 14 55 9 4 67 0 4

输出

4 9 9 14 43 233 55 82 53 67

输入

44 9 89 14 43 233 55 82 53 67 0 5

输出

9 14 43 44 53 233 55 82 89 67

堆排序：

在计算机科学中，堆（Heap）是一种基于树的数据结构，它具有以下特点：

  1. 完全二叉树结构： 堆通常被实现为一棵完全二叉树，这意味着除了最底层，其他层的节点都被填满，而且最底层的节点都集中在左侧。

  2. 堆序性质： 堆分为最大堆和最小堆。在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

堆通常用于实现优先队列等抽象数据类型，其中最大（或最小）元素可以迅速地被查找和删除。

根据堆的性质，我们可以将堆分为两种主要类型：

  1. 最大堆（Max Heap）（大根堆）： 最大堆的每个节点的值都大于或等于其子节点的值。根节点包含堆中的最大元素。

  2. 最小堆（Min Heap）（小根堆）： 最小堆的每个节点的值都小于或等于其子节点的值。根节点包含堆中的最小元素。

堆排序通常使用数组来存储，但不限于数组，也可以用链表的方式进行存储，这里为方便起见使用数组进行演示。

这里首先要知道怎么用数组模拟完全二叉树：输出 key[1......n] 中 key[s] 的左节点为 key[2*s] ，右节点为 key[2*s+1]。且有 n 个节点的二叉树的深度 不会超过 log2(n)+1，非叶子节点的下标最大的节点下标为 n/2。

知道的这些就可进行推排序了：首先将所有的数据存入数组 key 中，从对的特点不难看出堆与二叉树的许多操作一样，具有递归性质，所以我们在对的排序过程中也会利用这一递归性质：搜先利用 HeapAdjust 函数对堆进行调整，使它成为大根堆或小根堆，这里以大根堆为例；先从非叶子节点的下标最大的节点 n/2 开始，对以 n/2 下标为根的二叉树进行堆排序，再对以 n/2-1，n/2-2......1 为根的二叉树进行堆排序。利用堆排序的递归性质，最大限度的提高算法的效率。

**HeapAdjust 函数：**比较当前点与它左右孩子的大小，将它与他们三者中的最大值交换，继续以跟踪最大值，重复上述过程，知道不在变化为止。过程可以理解为大的值不断地往上浮，小的值不断往下沉。

时间复杂度O(nlog2(n))

6. (程序题)

试编写算法实现堆排序算法。

输出分两行：

第1行：输出初始堆，以行输出

第2行：输出排好序的数列

输入：

1 8 4 6 7 9 5 3 2 0

输出：

9 8 5 6 7 4 1 3 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4;
typedef struct Heap {
	int key[N];
	int lenth;
}Heap;
void print(Heap& h) {
	for (int i = 1; i <= h.lenth; i++) {
		cout << h.key[i] << " ";
	}
	cout << endl;
}

void HeapAdjust(Heap&h,int u,int len) {
	/*cout << "KKKKKKKKKKKKKK   ";
	print(h);*/
	for (int j = 2 * u; j <=len; j *= 2) {
		if (j < len && h.key[j] < h.key[j + 1])j++;
		if (h.key[u] < h.key[j]) {
			//cout << "PPPPPPPPPPPPP  " << h.key[u] << " " << h.key[j] << endl;
			swap(h.key[u], h.key[j]);
			u = j;
			//cout << "PPPPPPPPPPPPP  " << h.key[u] << " " << h.key[j] << endl;
		}
		else {
			break;
		}
	}
	//cout << "KKKKKKKKKKKKKK   ";
	//print(h);
}



void HeapFun(Heap& h) {
	for (int i = h.lenth / 2; i > 0; i--) {
		//cout << "____________" << i << endl;
		HeapAdjust(h, i,h.lenth);
	}
	print(h);
	for (int i = h.lenth ; i > 1; i--) {
		swap(h.key[1], h.key[i]);
		HeapAdjust(h, 1,i-1);
	}
	print(h);
}

int main() {
	Heap h;
	h.lenth = 0;
	do {
		cin>>h.key[++h.lenth];
	} while (h.key[h.lenth]);
	h.lenth--;
	HeapFun(h);
	return 0;
}

用例1：

输入

1 8 4 6 7 9 5 3 2 0

输出

9 8 5 6 7 4 1 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

用例2：

输入

2 87 39 49 34 62 53 6 44 98 0

输出

98 87 62 49 34 39 53 6 44 2 2 6 34 39 44 49 53 62 87 98

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