前言
hello,好久不见。元旦玩过后该收心了,我也倒计时一下蓝桥杯考试时间,大家一起复习,一起登顶。今天讲解高精度算法。
这个算法其实是给学c++同学讲的,因为python自带高精度所以不需要,且我讲到所有内容都是c++版本,今年就要报考c++,今年学好了Java可以上Java内容。
不多bb了上正文
正文
先介绍一下为什么要用高精度。
int
:通常,int
类型的大小是依赖于特定平台的,常见的有 16 位(2 字节)、32 位(4 字节)和 64 位(8 字节)等。在某些平台上,int
可能只有 16 位,能够存储的最大值是 32767;而在其他平台上,int
可能有 32 位或 64 位,能够存储的最大值分别是 2147483647 和 9223372036854775807。long long
:long long
类型通常至少有 64 位,并且能够存储的最大值是 9223372036854775807。实际上,long long
的大小和能够存储的最大值也是依赖于特定平台和编译器的。
所以由此看来如果输入的数过大int 和longlong类型都会爆掉,那我要是硬使用
会怎么样呢,下面这个照片给大家展示一下。
很明显是不行的,所以要引入高精度这个算法。
高精度如何存数字呢,很明显就是数组。
高精度加法
主要思想:用字符数组进行接收数字,将数字逐一逆序存储到数组中,对应位置依次相加。
在此之前,我们回忆一下小学加法的做法:
1.对应位置相加
2.逢十进一
(1)8+9=17,逢十进一,17%10得到个位存储的数字为7。
(2)4+5+1=10,逢十进一,10%10得到个位存储的数字为0。
(3)两个数字百位都没有数字了,所以百位存储的数字就为1。
(4)得到答案107。
高精度加法步骤:
(1):字符数组存储大数字
(2):逆序插入整形数组
(3):对应位置数字相加,并进行%10运算存储到数组中,逢十进一
(4):将数组数字逆序输出
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);//t=a+b eg:t=12,t%10=2 push back 放入c的最后一位
t /= 10;//eg:x=12,x/10=1
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
int main()
{
string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');//读入的话是把小数放入a[0]以此类推
for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');
auto C = add(A, B);//auto相当于一种定义类型,这里计算机可以直接判断定义类型
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];//输出的话我们习惯于把高位放在第一个跟读入的方式相反
cout << endl;
return 0;
}
(1)设置一个足够大的数N,用于标识数组的长度
(2)创建两个字符数组用于存储高精度数字
(3)创建整形数组
(4)(5)求两个高精度数字的位数
(6)(7)将两个高精度数字逆序存储到整形数组中
(8)存储两个数字中长度更长的
(9)计算新数组的长度
(10)(11)将两个数字对应位置进行相加
(12)将相加得到的数字%10存储到数组中
(13)判断是否需要进1
(14)判断最后是否还需要进1
(15)逆序打印
高精度减法
主要思想:用字符数组进行接收数字,将数字逐一逆序存储到数组中,对应位置依次相减。做法和高精度加法类似。
小学减法的做法:
1.对应位置相减,不够相减就向后一位借1
高精度减法步骤:
(1):字符数组存储大数字
(2):逆序插入整形数组
(3):对应位置数字相减,并判断当前所在位的被减数是否需要借1
(4):将数组数字逆序打印
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
if (A[i] != B[i])
return A[i] > B[i];
return true;
}
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
vector<int> C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');
vector<int> C;
if (cmp(A, B)) C = sub(A, B);
else C = sub(B, A), cout << '-';
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];
cout << endl;
return 0;
}
(1)设置一个足够大的数N,用于标识数组的长度
(2)创建两个字符数组,用于接收高精度数字
(3)创建两个整形数组,用于逆序存储高精度数字
(4)接收相减的结果
(5)将大数字逆序插入到整形数组中
(6)比较两个高精度数字的长度,用于后面消除前导0
(7)比较两个高精度数字的大小
(8)模拟减法竖式运算
(9)对应位置数字相减
(10)将相减得到的结果插入到数组中
(11)判断是否需要向后一位借1
(12)去除前导0
(13)逆序打印结果
高精度乘法
主要思想:依旧是模拟小学的乘法运算,使用字符数组存储大数字,再逆序存储到整形数组中。
小学乘法的做法:
1.对应位置相乘
2.对相乘的结果%10加到后一位
这里我们进行乘法的模拟运算:
通过该图我们发现:
a0b0对应C1的位置
a1b0对应C1的位置
a2b0对应C2的位置
a3b0对应C3的位置
a0b1对应C1的位置
a1b1对应C2的位置
a2b1对应C3的位置
a3b1对应C4的位置
由此可以归纳出来一个规律
C[i+j]=a[i]*a[j]
由此也可得出进位等于C[i+j+1]
高精度乘法的步骤:
(1):字符数组存储大数字
(2):逆序插入整形数组
(3):对应位置数字相乘,相乘结果进行%10运算,并加到后一位上。
(4):将数组数字逆序打印
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//考虑b=0的情况的,如果b!=0就不用加
return C;
}
int main()
{
string a;
int b;
cin >> a >> b;
vector<int> A;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
auto C = mul(A, b);
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
return 0;
}
(1)设置一个足够大的数N,用于标识数组的长度。
(2)创建两个字符数组用于存储高精度数字。
(3)创建整形数组。
(4)将数字逆序插入数组中
(5)对所得结果%10进行进位操作
(6)相乘得到的结果需要进行%10才能存储到数组中
(7)去除前导0
(8)逆序打印数字
高精度除法
主要思想:依旧是模拟小学的除法运算,使用字符数组存储大数字,再存储到整形数组中。(这里插入到数组中,不是逆序插入!)
(1)4/12不够除,所以第一位商0
(2)42/12商3余3
(3)33/12商2余9
所以答案就为32余9
这里的过程为:
4/12,不够除
410+12=42 ,42/12=3,这位余下了一个3
310+3==33 , 33/12=2,被除数每一位都走完,除法结束。余数为0
可以得到规律:
前一位的余数*10+当前位的数字/除数=商
高精度除法步骤:
(1):字符数组存储大数字
(2):正序插入整形数组
(3):计算上一位的余数*10+当前位的数字/除数的结果
(4):计算当前位的余数
(5):将数组数字逆序打印
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
vector<int> C;
r = 0;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
{
r = r * 10 + A[i];
C.push_back(r / b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end());
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
string a;
vector<int> A;
int B;
cin >> a >> B;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
int r;
auto C = div(A, B, r);
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];
cout << endl << r << endl;
return 0;
}
(1)创建一个足够大的N为数组分配空间
(2)创建一个字符串数组用于存储大数字
(3)(4)创建两个整形数组,一个用于存储大数字,一个用于存储结果
(5)存储低精度数字
(6)将大数字按正常顺序存储数组中
(7)因为是第一位,没有上一位,所以余数t一开始设置为0
(8)当前位的数字加上上一位的余数*10,再除以除数
(9)计算当前位的余数
(10)去除前导0
(11)顺序打印结果