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本文参考：
B站：DR_CAN
Dr. CAN学习笔记-Ch01自动控制原理
- [1. 开环系统与闭环系统Open/Closed Loop System](#1. 开环系统与闭环系统Open/Closed Loop System)
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- [1.1 EG1: 烧水与控温水壶](#1.1 EG1: 烧水与控温水壶)
- [1.2 EG2: 蓄水与最终水位](#1.2 EG2: 蓄水与最终水位)
- [1.3 闭环控制系统](#1.3 闭环控制系统)
- [2. 稳定性分析Stability](#2. 稳定性分析Stability)
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- [2.1 序言](#2.1 序言)
- [2.2 稳定的分类](#2.2 稳定的分类)
- [2.3 稳定的对象](#2.3 稳定的对象)
- [2.4 稳定的系统](#2.4 稳定的系统)
- [2.5 系统稳定性的讨论](#2.5 系统稳定性的讨论)
- [2.6 补充内容------Transfer Function(传递函数) - nonzero Initial Condition(非零初始条件)](#2.6 补充内容——Transfer Function(传递函数) - nonzero Initial Condition(非零初始条件))
- [3. 燃烧卡路里-系统分析实例](#3. 燃烧卡路里-系统分析实例)
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- [3.1 数学模型](#3.1 数学模型)
- [3.2 比例控制 Proprotional Control](#3.2 比例控制 Proprotional Control)
- [4 终值定理和稳态误差Final Value Theorem & Steady State Error](#4 终值定理和稳态误差Final Value Theorem & Steady State Error)
- [5 比例积分控制器Proportional-Intefral Controller](#5 比例积分控制器Proportional-Intefral Controller)
- [6 根轨迹Root locus](#6 根轨迹Root locus)
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- [6.1 根的作用](#6.1 根的作用)
- [6.2 手绘技巧](#6.2 手绘技巧)
- [6.3 分离点/汇合点&根轨迹的几何性质](#6.3 分离点/汇合点&根轨迹的几何性质)
- [7 Lead Compensator超前补偿器（调节根轨迹）](#7 Lead Compensator超前补偿器（调节根轨迹）)
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- [7.1 Plot Rootlocus 绘制根轨迹](#7.1 Plot Rootlocus 绘制根轨迹)
- [7.2 System Performance 系统表现](#7.2 System Performance 系统表现)
- [7.3 改善/加快收敛速度](#7.3 改善/加快收敛速度)
- [7.4 超前补偿器 Lead Comperastor](#7.4 超前补偿器 Lead Comperastor)
- [8 Lag Compensator滞后补偿器](#8 Lag Compensator滞后补偿器)
- [9 PID控制器](#9 PID控制器)
- [10 奈奎斯特稳定性判据-Nyquist Stability Criterion](#10 奈奎斯特稳定性判据-Nyquist Stability Criterion)
1. 开环系统与闭环系统Open/Closed Loop System
1.1 EG1: 烧水与控温水壶
1.2 EG2: 蓄水与最终水位
h ˙ = q i n A − g h A R \dot{h}=\frac{q_{in}}{A}-\frac{gh}{AR} h˙=Aqin−ARgh
设 A = 1 A=1 A=1. 目标： h = x → x d h=x\rightarrow x_d h=x→xd ------ 保持液面高度
x d = C R g , C = x d g R = u , G ( s ) = 1 S + g R x_d=\frac{CR}{g},C=\frac{x_dg}{R}=u,G\left( s \right) =\frac{1}{S+\frac{g}{R}} xd=gCR,C=Rxdg=u,G(s)=S+Rg1
1.3 闭环控制系统
X = D G 1 + H D G V X=\frac{DG}{1+HDG}V X=1+HDGDGV
2. 稳定性分析Stability
2.1 序言
2.2 稳定的分类
2.3 稳定的对象
明确分析对象
e = T a r g e t − θ e=Target\,\,-\,\,\theta e=Target−θ
Does the error converge to zero or not ------ error dynamics stable or not
2.4 稳定的系统
Open loop 开环
Closed loop 闭环
EG1：
EG2：
2.5 系统稳定性的讨论
2.6 补充内容------Transfer Function(传递函数) - nonzero Initial Condition(非零初始条件)
3. 燃烧卡路里-系统分析实例
3.1 数学模型
3.2 比例控制 Proprotional Control
4 终值定理和稳态误差Final Value Theorem & Steady State Error
5 比例积分控制器Proportional-Intefral Controller
消除稳态误差------设计新的控制器
6 根轨迹Root locus
6.1 根的作用
G ( s ) = s + 3 s 2 + 2 s + 4 G\left( s \right) =\frac{s+3}{s^2+2s+4} G(s)=s2+2s+4s+3
Matlab可绘制 riocus(g)
掌握根的变化规律 ， 设计控制器，补偿器 ： Compentator Lead Lag...
根 ------ 极点
- 一阶系统
- 二阶系统
- 三阶系统
6.2 手绘技巧
Matlab可以精确绘制------手绘------掌握根的变化规律------设计控制器
根轨迹的基本形式
根轨迹研究的是： 当 K K K从0到 + ∞ +\infty +∞时，闭环系统根（极点）位置的变化规律
1 + K G ( s ) = 0 , G ( s ) = N ( s ) D ( s ) = ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n ) 1+KG\left( s \right) =0,G\left( s \right) =\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}=\frac{\left( s-z_1 \right) \left( s-z_2 \right) \cdots \left( s-z_{\mathrm{m}} \right)}{\left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right) \cdots \left( s-p_{\mathrm{n}} \right)} 1+KG(s)=0,G(s)=D(s)N(s)=(s−p1)(s−p2)⋯(s−pn)(s−z1)(s−z2)⋯(s−zm)
其中， z 1 ⋯ z m z_1\cdots z_{\mathrm{m}} z1⋯zm 为零点 Zeros ⊙ \odot ⊙ ， p 1 ⋯ p n p_1\cdots p_{\mathrm{n}} p1⋯pn 为极点 Poles × \times ×
规则1 ：共有 n n n条根轨迹， 若 n > m n>m n>m；共有 m m m条根轨迹，若 m > n m>n m>n； ⇐ max { m , n } \Leftarrow \max \left\{ m,n \right\} ⇐max{m,n}
规则2 ：若 m = n m=n m=n，随着 K K K从 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0→∞ ， 根轨迹从 G ( s ) G\left( s \right) G(s)的极点向零点移动： 1 + K G ( s ) = 0 ⇒ D ( s ) + K N ( s ) = 0 1+KG\left( s \right) =0\Rightarrow D\left( s \right) +KN\left( s \right) =0 1+KG(s)=0⇒D(s)+KN(s)=0 ， K → 0 K\rightarrow 0 K→0 时 D ( s ) = 0 D\left( s \right) =0 D(s)=0（极点）； K → ∞ K\rightarrow \infty K→∞ 时 N ( s ) = 0 N\left( s \right) =0 N(s)=0 （零点）
规则3：实轴上的根轨迹存在于从右向左第奇数个极点/零点的左边
规则4：若附属跟存在，则一定是共轭的，所以根轨迹通过实轴对称
规则5：若 n > m n>m n>m ， 则有 n − m n-m n−m个极点指向无穷；若 m > n m>n m>n ， 则有 m − n m-n m−n条根轨迹从无穷指向零点
规则6：根轨迹延渐近线移动，渐近线与实轴的交点 σ = ∑ p − ∑ z n − m \sigma =\frac{\sum{p}-\sum{z}}{n-m} σ=n−m∑p−∑z ，渐近线与实轴的夹角 θ = 2 q + 1 n − m π , q = 0 , 1 , . . . , n − m − 1 / m − n − 1 \theta =\frac{2q+1}{n-m}\pi ,q=0,1,...,n-m-1/m-n-1 θ=n−m2q+1π,q=0,1,...,n−m−1/m−n−1
6.3 分离点/汇合点&根轨迹的几何性质
以 2nd-order system 为例：
Properties of Root locus
7 Lead Compensator超前补偿器（调节根轨迹）
7.1 Plot Rootlocus 绘制根轨迹
G ( s ) = 1 s ( s + 2 ) G\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s+2 \right)} G(s)=s(s+2)1
7.2 System Performance 系统表现
输入Input ------ δ ( t ) \delta \left( t \right) δ(t) 单位冲激
- K K K 较小时， p 1 , p 2 p_1,p_2 p1,p2 ： x ( t ) = c 1 e p 1 t + c 2 e p 2 t , p 1 < 0 , p 2 < 0 x\left( t \right) =c_1e^{p_1t}+c_2e^{p_2t},p_1<0,p_2<0 x(t)=c1ep1t+c2ep2t,p1<0,p2<0
- K K K 较大时，根在复平面： p 1 , p 2 p_1,p_2 p1,p2 ： x ( t ) = c e − t sin ω n t x\left( t \right) =ce^{-t}\sin \omega _{\mathrm{n}}t x(t)=ce−tsinωnt - 无论如何改变 K K K值，都无法改变收敛速度
-
7.3 改善/加快收敛速度
------改变根轨迹，希望根在 − 2 + 2 3 -2+2\sqrt{3} −2+23
G ( s ) = 1 s ( s + 2 ) G\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s+2 \right)} G(s)=s(s+2)1
在根轨迹上的点满足： ∠ K G ( s ) = − π \angle KG\left( s \right) =-\pi ∠KG(s)=−π （零点到根的夹角和 - 极点到根的夹角和）
7.4 超前补偿器 Lead Comperastor
H ( s ) = s − z s − p , ∥ z ∥ < ∥ p ∥ H\left( s \right) =\frac{s-z}{s-p},\left\| z \right\| <\left\| p \right\| H(s)=s−ps−z,∥z∥<∥p∥
8 Lag Compensator滞后补偿器
从稳态误差 入手（steady state Error）
误差 Error ： E ( s ) = R ( s ) − X ( s ) = R ( s ) − E ( s ) ⋅ K G ( s ) ⇒ E ( s ) ( 1 + K G ( s ) ) = R ( s ) ⇒ E ( s ) = 1 1 + K G ( s ) R ( s ) = R ( s ) 1 1 + K N ( s ) D ( s ) = 1 s 1 1 + K N ( s ) D ( s ) E\left( s \right) =R\left( s \right) -X\left( s \right) =R\left( s \right) -E\left( s \right) \cdot KG\left( s \right) \Rightarrow E\left( s \right) \left( 1+KG\left( s \right) \right) =R\left( s \right) \Rightarrow E\left( s \right) =\frac{1}{1+KG\left( s \right)}R\left( s \right) =R\left( s \right) \frac{1}{1+K\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}}=\frac{1}{s}\frac{1}{1+K\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}} E(s)=R(s)−X(s)=R(s)−E(s)⋅KG(s)⇒E(s)(1+KG(s))=R(s)⇒E(s)=1+KG(s)1R(s)=R(s)1+KD(s)N(s)1=s11+KD(s)N(s)1
单位阶跃unit step ： R ( s ) = 1 s R\left( s \right) =\frac{1}{s} R(s)=s1
稳态误差Steady State Error------FVT终值定理
e s s = lim t → ∞ e ( t ) = lim s → o s E ( s ) = lim s → o s ⋅ 1 s 1 1 + K N ( s ) D ( s ) = 1 1 + K N ( 0 ) D ( 0 ) = D ( 0 ) D ( 0 ) + K N ( 0 ) ess=\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}e\left( t \right) =\underset{s\rightarrow o}{\lim}sE\left( s \right) =\underset{s\rightarrow o}{\lim}s\cdot \frac{1}{s}\frac{1}{1+K\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}}=\frac{1}{1+K\frac{N\left( 0 \right)}{D\left( 0 \right)}}=\frac{D\left( 0 \right)}{D\left( 0 \right) +KN\left( 0 \right)} ess=t→∞lime(t)=s→olimsE(s)=s→olims⋅s11+KD(s)N(s)1=1+KD(0)N(0)1=D(0)+KN(0)D(0)
9 PID控制器
P ------ Proportional
I ------ Integral
D ------ Derivative
- 当前误差/过去误差/误差的变化趋势
- K p ⋅ e K_{\mathrm{p}}\cdot e Kp⋅e：比例增益------当前误差
- K I ⋅ ∫ e d t K_{\mathrm{I}}\cdot \int{e}dt KI⋅∫edt：积分增益------过去误差-积累
- K D ⋅ d e d t K_{\mathrm{D}}\cdot \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} KD⋅dtde ：微分增益------变化趋势 （对噪音敏感）
L [ u ] = L [ K P ⋅ e + K I ⋅ ∫ e d t + K D ⋅ d e d t ] ⇒ U ( s ) = ( K P + K I 1 s + K D s ) ⋅ E ( s ) \mathcal{L} \left[ u \right] =\mathcal{L} \left[ K_{\mathrm{P}}\cdot e+K_{\mathrm{I}}\cdot \int{e}\mathrm{d}t+K_{\mathrm{D}}\cdot \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} \right] \Rightarrow U\left( s \right) =\left( K_{\mathrm{P}}+K_{\mathrm{I}}\frac{1}{s}+K_{\mathrm{D}}s \right) \cdot E\left( s \right) L[u]=L[KP⋅e+KI⋅∫edt+KD⋅dtde]⇒U(s)=(KP+KIs1+KDs)⋅E(s)
PID
PD控制 ：提高稳定性，改善瞬态
PI控制：改善稳态误差
10 奈奎斯特稳定性判据-Nyquist Stability Criterion
Cauchy's Argument Priciple 柯西幅角原理
结论： s s s平面内顺时针画一条闭合曲线 A A A， B B B曲线是 A A A通过 F ( s ) F(s) F(s)后在 F ( s ) F(s) F(s)平面上的映射， A A A曲线每包含一个 F ( s ) F(s) F(s)的零点（极点）， B B B曲线就绕 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点顺时针（逆时针）一圈
