算法(TS)：计数质数

何遇er2024-01-09 11:58

给定整数 n ，返回所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例 1：

输入：n = 10

输出：4

解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

输入：n = 0

输出：0

示例 3：

输入：n = 1

输出：0

提示：

0 <= n <= 5 * 106

解法一：枚举求解

考虑质数的定义：在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。因此对于任何整数n，我们都能从小到大枚举 $2,n-1$ 中的 x，判断 x 是否能被 n 整除，如果能，则n是质数。这里的时间复杂度为O(n)。继续考虑，如果 x 能被 n 整除，那么 n/x 也能被 n 整除，因此只需要校验 x 或者 n/x 就能判断 n 是不是质数。Math.min(n/x,x)一定落在 $2,Math.sqrt(x)$ 的区间中，因此对于整数 n，只需要判断 $2,Math.sqrt(x)$ 是否有因子即可。这样单次检测的事件复杂度从O(n)减低到O(Math.sqrt(n))。

返回所有小于非负整数 n 的质数的数量，只需要判断从 2 到 n-1 的数是否是质数。

typescript 复制代码

function isPrime(n:number) {
    for(let i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(n%i===0) {
            return false
        }
    }

    return true
}

function countPrimes(n: number): number {
    let count = 0

    for(let i = 2; i < n; i++) {
        if(isPrime(i)){
            count++
        }
    }

    return count
}

解法二：埃氏筛

如果 x 是质数，那么 x 的 j 倍，例如 2x,3x... 一定不是质数，利用可以从这里入手优化时间复杂度。

ini 复制代码

function countPrimes(n: number): number {
    const isPrimeArr = new Array(n).fill(1)
    let count = 0

    for(let i = 2; i < n; i++) {
        if(isPrimeArr[i]) {
            count++
            for(let j = 2;i * j < n;j++) {
                isPrimeArr[i * j] = 0
            }
        }
    }

    return count
}

时间复杂度：O(nlog⁡log⁡n)，空间复杂度：O(n)。