本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。
2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
黎 旭,陈 强 洪,甄 文 强 等.惯 性 张 量 平 移 和 旋 转 复 合 变 换 的 一 般 形 式 及 其 应 用[J].工 程 数 学 学 报,2022,39(06):1005-1011.
食用方法质量点的动量与角动量
刚体的动量与角动量------力与力矩的关系
惯性矩阵的表达与推导------在刚体运动过程中的作用
惯性矩阵在不同坐标系下的表达
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义
机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-2质量刚体的在坐标系下运动Part1
- [2. 质量刚体的在坐标系下运动](#2. 质量刚体的在坐标系下运动)
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- [2.1 质量点 Mass Partical 的状态](#2.1 质量点 Mass Partical 的状态)
- [2.2 运动刚体的状态](#2.2 运动刚体的状态)
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- [2.2.1 刚体的质心Center of Mass------点 G G G或点 C o M CoM CoM](#2.2.1 刚体的质心Center of Mass——点 G G G或点 C o M CoM CoM)
- [2.2.2 刚体的动量矩定理 theorem of moment of momentum](#2.2.2 刚体的动量矩定理 theorem of moment of momentum)
2. 质量刚体的在坐标系下运动
2.1 质量点 Mass Partical 的状态
对于质量点而言，其自身在笛卡尔坐标系中的状态仅包括运动状态。由热力学所引起自身的温度变化状态，由此产生的体积变化状态，或者自身亮度的状态变化等，都认为不会对运动状态产生干扰，即将某一空间实体等效为质量点，此时的笛卡尔坐标系所表示的状态空间就是三维空间。
由此，将质量点运动状态的改变视为力对质量点的作用：
F ⃗ P F = d p ⃗ P F d t = d ( m V ⃗ P F ) d t = d m d t ↗ 0 V ⃗ P F + d V ⃗ P F d t m = m a ⃗ P F \vec{F}{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( m\vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{dt}}{\nearrow 0}\vec{V}{\mathrm{P}}^{F}+\frac{\mathrm{d}\vec{V}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}m=m\vec{a}{\mathrm{P}}^{F} F PF=dtdp PF=dtd(mV PF)=dtdm↗0V PF+dtdV PFm=ma PF
τ ⃗ P F = d h ⃗ P F d t = d ( m ⋅ R ⃗ P F × V ⃗ P F ) d t = d ( R ⃗ P F × V ⃗ P F ) d t m = [ ( d R ⃗ P F d t × V ⃗ P F ) ↗ 0 + R ⃗ P F × d V ⃗ P F d t ] m = R ⃗ P F × F ⃗ P F = R ⃗ P F × d p ⃗ P F d t \begin{split} \vec{\tau}{\mathrm{P}}^{F}&=\frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( m\cdot \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}m \\ &=\left[ \left( \frac{\mathrm{d}\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right) {\nearrow 0}+\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{V}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}} \right] m=\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{p}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}} \end{split} τ PF=dtdh PF=dtd(m⋅R PF×V PF)=dtd(R PF×V PF)m= (dtdR PF×V PF)↗0+R PF×dtdV PF m=R PF×F PF=R PF×dtdp PF
如果说动量是表述物体运动状态的量，那么角动量就是描述物体旋转状态的量；如果说力是改变物体运动状态的量，那么扭矩就是改变物体旋转状态的量。
认为质量点的质量不发生改变：
- 质量点的动量
Linear Momentum： p ⃗ P F \vec{p}{\mathrm{P}}^{F} p PF------点 P P P 在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下的动量 参数 p ⃗ P F = m V ⃗ P F \vec{p}{\mathrm{P}}^{F}=m\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} p PF=mV PF - 质量点的
角动量Angular Momentum： h ⃗ P / O F \vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F} h P/OF------点 P P P 在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下，相对于点 O O O 的角动量 参数（又可称为动量矩 ）
h ⃗ P / O F = R ⃗ O P F × p ⃗ P F = R ⃗ O P F × ( m V ⃗ P F ) = m ⋅ ( R ⃗ P F − R ⃗ O F ) × V ⃗ P F = h ⃗ P F − m ⋅ R ⃗ O F × V ⃗ P F \vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \left( m\vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right) =m\cdot \left( \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}{\mathrm{O}}^{F} \right) \times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{h}{\mathrm{P}}^{F}-m\cdot \vec{R}{\mathrm{O}}^{F}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} h P/OF=R OPF×p PF=R OPF×(mV PF)=m⋅(R PF−R OF)×V PF=h PF−m⋅R OF×V PF
其中，动量的计算是依据固定坐标系进行描述的，而角动量通常与所选择的运动坐标系有关。令 O O O 为固定坐标系中任意一参考点，此时以点 O O O 计算点 P P P 的扭矩 τ ⃗ P / O F \vec{\tau}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F} τ P/OF为:
τ ⃗ P / O F = R ⃗ O P F × F ⃗ P F = R ⃗ O P F × d p ⃗ P F d t = d ( R ⃗ O P F × p ⃗ P F ) d t − d ( R ⃗ O P F ) d t × p ⃗ P F = d ( R ⃗ O P F × p ⃗ P F ) d t − d ( R ⃗ P F − R ⃗ O F ) d t × p ⃗ P F = d h ⃗ P / O F d t + V ⃗ O F × p ⃗ P F \begin{split} \vec{\tau}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}&=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{p}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}-\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{OP}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}-\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}{\mathrm{O}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{dt}}+\vec{V}{\mathrm{O}}^{F}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F} \end{split} τ P/OF=R OPF×F PF=R OPF×dtdp PF=dtd(R OPF×p PF)−dtd(R OPF)×p PF=dtd(R OPF×p PF)−dtd(R PF−R OF)×p PF=dtdh P/OF+V OF×p PF
由上式可知，当 V ⃗ O F ∥ V ⃗ P F \vec{V}{\mathrm{O}}^{F} \parallel \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} V OF∥V PF（特别是 O O O与 P P P为同一点）时，或 V ⃗ O F = 0 \vec{V}{\mathrm{O}}^{F}=0 V OF=0（相当于坐标系下一定点）时，有： τ ⃗ P O = d h ⃗ P O d t \vec{\tau}{\mathrm{P}}^{O}=\frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}}^{O}}{\mathrm{dt}} τ PO=dtdh PO
此时，已知： R ⃗ O P F × d ( m V ⃗ P F ) d t = R ⃗ O P F × F ⃗ P F \vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\left( m\vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{d}t}=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F} R OPF×dtd(mV PF)=R OPF×F PF，对 h ⃗ P / O F \vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F} h P/OF求导，则有：
d h ⃗ P / O F d t = d R ⃗ O P F d t × p ⃗ P F + R ⃗ O P F × d p ⃗ P F d t = m ⋅ d R ⃗ O P F d t × V ⃗ P F + m ⋅ R ⃗ O P F × d V ⃗ P F d t = m ⋅ d ( R ⃗ P F − R ⃗ O F ) d t × V ⃗ P F + m ⋅ R ⃗ O P F × d V ⃗ P F d t = m ⋅ d ( R ⃗ P F − R ⃗ O F ) d t × V ⃗ P F + R ⃗ O P F × F ⃗ P F \begin{split} \frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}}{\mathrm{d}t}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F}+\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{p}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{d}t}=m\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}}{\mathrm{d}t}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}+m\cdot \vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{V}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{d}t} \\ &=m\cdot \frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}{\mathrm{O}}^{F} \right)}{\mathrm{d}t}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}+m\cdot \vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{V}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{d}t} \\ &=m\cdot \frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}{\mathrm{O}}^{F} \right)}{\mathrm{d}t}\times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}+\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F} \end{split} dtdh P/OF=dtdR OPF×p PF+R OPF×dtdp PF=m⋅dtdR OPF×V PF+m⋅R OPF×dtdV PF=m⋅dtd(R PF−R OF)×V PF+m⋅R OPF×dtdV PF=m⋅dtd(R PF−R OF)×V PF+R OPF×F PF
可见，同上所述：当 V ⃗ O F = 0 \vec{V}{\mathrm{O}}^{F}=0 V OF=0时，即 d h ⃗ P / O F d t = m ⋅ ( V ⃗ P F − V ⃗ O F ↗ 0 ) × V ⃗ P F + R ⃗ O P F × F ⃗ P F = R ⃗ O P F × F ⃗ P F \frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}=m\cdot \left( \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}-{\vec{V}{\mathrm{O}}^{F}}{\nearrow 0} \right) \times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}+\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F} dtdh P/OF=m⋅(V PF−V OF↗0)×V PF+R OPF×F PF=R OPF×F PF；当 V ⃗ O F ∥ V ⃗ P F \vec{V}{\mathrm{O}}^{F} \parallel \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} V OF∥V PF时，即 d h ⃗ P / O F d t = ( m ⋅ ( V ⃗ P F − V ⃗ O F ) × V ⃗ P F ) ↗ 0 + R ⃗ O P F × F ⃗ P F = R ⃗ O P F × F ⃗ P F \frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}=\left( m\cdot \left( \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}-\vec{V}{\mathrm{O}}^{F} \right) \times \vec{V}{\mathrm{P}}^{F} \right) {\nearrow 0}+\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} dtdh P/OF=(m⋅(V PF−V OF)×V PF)↗0+R OPF×F PF=R OPF×F PF。
因此，对于质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对该定点的矩，即为质点的动量矩定理:
d h ⃗ P / O F i x e d F d t = R ⃗ O F i x e d P F × F ⃗ P F \frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}/\mathrm{O}{\mathrm{Fixed}}}^{F}}{\mathrm{d}t}=\vec{R}{\mathrm{O}{\mathrm{Fixed}}\mathrm{P}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} dtdh P/OFixedF=R OFixedPF×F PF
例子1：球杆模型
V ⃗ P F = r ˙ X ⃗ r + r θ ˙ X ⃗ θ a ⃗ P F = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) X ⃗ r + ( 2 r ˙ θ ˙ ) X ⃗ θ \begin{split} \vec{V}{\mathrm{P}}^{F}&=\dot{r}\vec{X}{\mathrm{r}}+r\dot{\theta}\vec{X}{\mathrm{\theta}} \\ \vec{a}{\mathrm{P}}^{F}&=\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \right) \vec{X}{\mathrm{r}}+\left( 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \vec{X}{\mathrm{\theta}} \end{split} V PFa PF=r˙X r+rθ˙X θ=(r¨−rθ˙2)X r+(2r˙θ˙)X θ
h ⃗ P F = R ⃗ P F × p ⃗ P F = r X ⃗ r × ( r ˙ X ⃗ r + r θ ˙ X ⃗ θ ) ⋅ m = m r 2 θ ˙ K ^ τ ⃗ P F = d h ⃗ P F d t = 2 m r ˙ θ ˙ K ^ = R ⃗ P F × F ⃗ P F = ( r X ⃗ r ) × ( ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) X ⃗ r + ( 2 r ˙ θ ˙ ) X ⃗ θ ) ⋅ m = R ⃗ P F × ( 2 r ˙ θ ˙ ) X ⃗ θ ⋅ m \begin{split} \vec{h}{\mathrm{P}}^{F}&=\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{p}{\mathrm{P}}^{F}=r\vec{X}{\mathrm{r}}\times \left( \dot{r}\vec{X}{\mathrm{r}}+r\dot{\theta}\vec{X}{\mathrm{\theta}} \right) \cdot m=mr^2\dot{\theta}\hat{K} \\ \vec{\tau}{\mathrm{P}}^{F}&=\frac{\mathrm{d}\vec{h}{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=2m\dot{r}\dot{\theta}\hat{K}=\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}}^{F}=\left( r\vec{X}{\mathrm{r}} \right) \times \left( \left( \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \right) \vec{X}{\mathrm{r}}+\left( 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \vec{X}{\mathrm{\theta}} \right) \cdot m \\ &=\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}\times \left( 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \vec{X}_{\mathrm{\theta}}\cdot m \end{split} h PFτ PF=R PF×p PF=rX r×(r˙X r+rθ˙X θ)⋅m=mr2θ˙K^=dtdh PF=2mr˙θ˙K^=R PF×F PF=(rX r)×((r¨−rθ˙2)X r+(2r˙θ˙)X θ)⋅m=R PF×(2r˙θ˙)X θ⋅m从受力分析的角度来看，小球仅受到了垂直于杆方向的支撑力作用，而在沿杆方向并没有力的作用，但根据小球的加速度方程(\ref{eq:ballrank1})可知，小球具有沿杆方向的运动。前者的描述是基于固定坐标系进行分析，而后者的描述是基于运动坐标系进行的分析，因此两者本质上没有矛盾关系。所谓的科氏加速度与向心力都是在运动坐标系下描述时，由于运动标架的不同，所产生的虚拟力，在实际的固定坐标系中也不参与功的作用。
2.2 运动刚体的状态
对于运动刚体 Σ M \varSigma {\mathrm{M}} ΣM而言，需要将其上任意一点 P i P{\mathrm{i}} Pi在固定坐标系 { F : ( I ^ , J ^ , K ^ ) } \left\{ F:\left( \hat{I},\hat{J},\hat{K} \right) \right\} {F:(I^,J^,K^)}下进行表述。而对于有质量的刚体而言，其最特殊的点就是其等效的质量中心，称为其为质心点 G G G 或 C o M CoM CoM(center of mass)。
2.2.1 刚体的质心Center of Mass------点 G G G或点 C o M CoM CoM
m t o t a l ⋅ R ⃗ G F = ∑ m i ⋅ R ⃗ P i F m_{\mathrm{total}}\cdot \vec{R}{\mathrm{G}}^{F}=\sum{m{\mathrm{i}}\cdot \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}} mtotal⋅R GF=∑mi⋅R PiF
对于刚体Rigid Body而言，其可视为 N N N 个质量点的集合，并具有有限体积，且各质量点之间的距离为定值，即：
∥ r ⃗ i − r ⃗ j ∥ = C i j i , j ∈ { 1 , ⋯ , N } \left\| \vec{r}{\mathrm{i}}-\vec{r}{\mathrm{j}} \right\| =C_{\mathrm{ij}}\,\, i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N \right\} ∥r i−r j∥=Ciji,j∈{1,⋯,N}
其中， r ⃗ i ∈ R 3 \vec{r}{\mathrm{i}}\in \mathbb{R} ^3 r i∈R3为位置参数， C i j ∈ R C{\mathrm{ij}}\in \mathbb{R} Cij∈R为距离参数。
刚体在现实中并不存在，只是一种近似，且有： ω F l e x ≫ ω R B = 0 \omega _{\mathrm{Flex}}\gg \omega _{\mathrm{RB}}=0 ωFlex≫ωRB=0。刚体的自然频率Nature Frequency为0，柔性体Flexible Body的自然频率远大于刚体的自然频率。
质量点在空间坐标系中只需要对位置Position进行表征Configurate，而刚体还需要对其姿态Pose进行描述
考虑质量点的动量与角动量方程，首先考虑运动刚体的角动量与动量方程：
{ P ⃗ G F = m t o t a l V ⃗ G F H ⃗ Σ M / O F = ∑ i N R ⃗ O P i F × P ⃗ P i F = ∑ i N h ⃗ P i / O F \begin{cases} \vec{P}{\mathrm{G}}^{F}=m{\mathrm{total}}\vec{V}{\mathrm{G}}^{F}\\ \vec{H}{\Sigma {\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}=\sum_i^N{\vec{R}{\mathrm{OP}{\mathrm{i}}}^{F}\times \vec{P}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}}=\sum_i^N{\vec{h}{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^{F}}\\ \end{cases} {P GF=mtotalV GFH ΣM/OF=∑iNR OPiF×P PiF=∑iNh Pi/OF
2.2.2 刚体的动量矩定理 theorem of moment of momentum
对于运动刚体上一微元点 P i \mathrm{P}{\mathrm{i}} Pi进行力矩分析，则有：
H ⃗ Σ M / O F = ∑ i N h ⃗ P i / O F = ∫ h ⃗ P i / O F = ∫ R ⃗ O P i F × ( d m i ⋅ d R ⃗ P i F d t ) ⇒ d H ⃗ Σ M / O F d t = d ( ∫ R ⃗ O P i F × ( d m i ⋅ d R ⃗ P i F d t ) ) d t = ∫ ( R ⃗ O P i F × ( d m i ⋅ a ⃗ P i F ) ) + ∫ ( ( V ⃗ P i F − V ⃗ O F ) × ( d m i ⋅ V ⃗ P i F ) ) = ∫ ( R ⃗ O P i F × F ⃗ P i F ) − ∫ ( V ⃗ O F × ( d m i ⋅ V ⃗ P i F ) ) = M ⃗ Σ M / O F − V ⃗ O F × P ⃗ Σ M F \begin{split} &\vec{H}{\Sigma {\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}=\sum_i^N{\vec{h}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^{F}}=\int{\vec{h}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^{F}}=\int{\vec{R}{\mathrm{OP}{\mathrm{i}}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}}{\mathrm{d}t} \right)} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}\vec{H}{\Sigma {\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}\left( \int{\vec{R}{\mathrm{OP}{\mathrm{i}}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}}{\mathrm{d}t} \right)} \right)}{\mathrm{d}t}=\int{\left( \vec{R}{\mathrm{OP}{\mathrm{i}}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \vec{a}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F} \right) \right)}+\int{\left( \left( \vec{V}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}-\vec{V}{\mathrm{O}}^{F} \right) \times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \vec{V}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F} \right) \right)} \\ &=\int{\left( \vec{R}{\mathrm{OP}{\mathrm{i}}}^{F}\times \vec{F}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F} \right)}-\int{\left( \vec{V}{\mathrm{O}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \vec{V}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F} \right) \right)}=\vec{M}{\Sigma {\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}-\vec{V}{\mathrm{O}}^{F}\times \vec{P}_{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{F} \end{split} ⇒dtdH ΣM/OFH ΣM/OF=i∑Nh Pi/OF=∫h Pi/OF=∫R OPiF×(dmi⋅dtdR PiF)=dtd(∫R OPiF×(dmi⋅dtdR PiF))=∫(R OPiF×(dmi⋅a PiF))+∫((V PiF−V OF)×(dmi⋅V PiF))=∫(R OPiF×F PiF)−∫(V OF×(dmi⋅V PiF))=M ΣM/OF−V OF×P ΣMF
若参考点 O O O为固定坐标系下一固定点，则上式简化为：
d H ⃗ Σ M / O F i x e d F d t = M ⃗ Σ M / O F i x e d F \frac{\mathrm{d}\vec{H}{\Sigma {\mathrm{M}}/\mathrm{O}{\mathrm{Fixed}}}^{F}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}{\Sigma {\mathrm{M}}/\mathrm{O}{\mathrm{Fixed}}}^{F} dtdH ΣM/OFixedF=M ΣM/OFixedF