Floyd求最短路

概念

Floyd算法是一种解决图中所有点对之间最短路径的经典算法。使用动态规划的思想，通过中间节点逐步优化已知的最短路径。Floyd算法的核心思想是三层循环，对每一对节点(i, j)检查是否存在中间节点k，使得经过k节点的路径更短。如果存在这样的k，就更新(i, j)之间的最短路径

步骤

1. 初始化： 构建一个二维数组dist，表示每一对节点之间的最短路径长度。若两节点之间存在直接连接，则dist[i][j]为直接路径长度，否则为无穷大。
2. 动态规划更新： 使用三层循环遍历所有节点对(i, j)，检查是否存在中间节点k，使得路径(i, k, j)比当前已知路径更短。如果是，则更新dist[i][j]。
3. 输出结果： 经过三层循环的迭代后，dist数组记录了所有节点对之间的最短路径长度。

模板

// Assuming n is the number of nodes
// g[i][j] represents the weight of the edge between node i and node j
// Initialize g[i][j] as positive infinity for non-connected nodes

void floyd() {
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                g[i][j] = Math.min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);
            }
        }
    }
}

• 如果节点的编号是从0开始，那么所有循环的范围应为for (int k = 0; k < n; k++)、for (int i = 0; i < n; i++)、for (int j = 0; j < n; j++)。
• g[i][j]应该初始化为正无穷大，表示节点i和节点j之间没有直接的连接。
• g[i][i]（对角线上的元素）应该初始化为0，表示节点到自身的距离为0。

题目应用

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 y，表示查询从点 x 到点 y 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z

接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式

共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

• 1≤n≤200
• 1≤k≤n^2
• 1≤m≤20000
• 图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

/**
 * 这道题的坑对我而言是顶点没从1开始，而是从0开始！
 */
public class Main {
    static int n, m , k, N = 210, max = (int)1e8;
    static int[][] g = new int[N][N];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        k = in.nextInt();
        for (int i = 1;i <= n;i ++) {
            Arrays.fill(g[i], max);
        }
        for (int i = 1;i <= n;i ++) {
            g[i][i] = 0;
        }
        for (int i = 0;i < m;i ++) {
            int x = in.nextInt();
            int y = in.nextInt();
            int z = in.nextInt();
            g[x][y] = Math.min(g[x][y], z);
        }
        floyd();
        while (k > 0) {
            k--;
            int x = in.nextInt();
            int y = in.nextInt();
            if (g[x][y] > max / 2) {
                System.out.println("impossible");
            } else {
                System.out.println(g[x][y]);
            }
        }
    }
    public static void floyd() {
        for (int k = 1;k <= n;k ++) {
            for (int i = 1;i <= n;i ++) {
                for (int j = 1;j <= n;j ++) {
                    g[i][j] = Math.min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);
                }
            }
        }
    }
}