考研机试题收获——高精度&进制转换

代码的第一遍真的很重要，在第一次打的时候尽量把问题思考全面，不要漏打少打，尽量不要留bug给之后de。

一、基础方面

一、处理输出的结束问题

scanf和cin默认都不会读取空格

**①scanf()：**如果从文件中读取数据，当scanf()返回值是EOF时，则读取结束。
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while(scanf("%d",&num)!=EOF) {}
**②cin>>：**cin是有返回值的，若是从文件中读取数据，到达文件末尾就读取结束了，读取到文件尾部，cin返回值是false。
cpp 复制代码
while(cin>>num) {}

二、读取带空格的字符串

**①scanf：**使用[],[]内是匹配的字符,^表示求反集。
cpp 复制代码
char s[100];
scanf("%[^\n]",s);
可以读取[^\n]表示所有字符里面去掉换行符

**②cin：**使用string类中的getline()函数
cpp 复制代码
string s;
getline(cin,s);
③gets()或getchar()

三、超大数据类型

__int128 ：16个字节、占用128bit的整数存储类型。由于是二进制，范围就是 -2^127~2^127-1，如果使用了 unsigned __int128，则范围变成 0 ~ 2^128-1，即约十进制39位数。在不超过该数据范围时，可以用它来替代高精度计算。

它只能使用+、-、*、/四则运算，不能使用cin、cout等，要输入这样的数据则必须先输入为字符串，然转换成数据。

四、string

string s;

s.size()是一个无符号整型，如果在进行减法时，比如s.size()-t，t＞s.size()，则会溢出，得不到需要的负数。

二、算法方面

一、高精度

long long只能表示大约19位十进制数，如果位数高于19位，那么普通的整型已经不够存储了，我们需要使用高精度存储和计算来解决这样的问题。

高精度算法本质上是用字符串 模拟数字进行计算，再利用类似于数学里的竖式的形式，一位一位进行相关计算 .

C++ 算法高精度（较详细.）_c++高精度-CSDN博客

高精度算法

在进行高精度计算时，除了除法之后，其余的+、-、*都需要对数字进行逆序存储，因为两个数的位数可能是不一样的，这导致在计算的时候下标会不一样，逆序存储就可以解决这样的问题，也可以解决进位问题。

①加法：

加法存在进位，我们将进位存储在x中，对于位数更小的数，补充0，这样这种算法可以直接进行计算，用0加就行了！
cpp 复制代码
int x=0;
int a[100]={};
int b[100]={};
int c[101]={};
逆序存储a和b
while(c_len<=a_len||c_len<=b_len){
    c[c_len]=a[c_len]+b[c_len];
    x=c[c_len]/10;
    c[c_len]%=10;
    c_len++;
}
if(x)   c[c_len]=x;
else c_len--;
//至此0~c_len就是 逆序的结果
对于不明长度时的加法：用while去遍历到临界条件是最好的方式（包括其他问题），然后再判断是谁的临界，然后再进行一次操作即可。ps：while循环一定要记得++i，--i的操作！
cpp 复制代码
vector<int> cur;
vector<int> now;
//cur和now已经逆序存放，目的将cur+now结果存入cur中
int x=0;
int i=0;
while(i<cur.size()&&i<now.size()){
    cur[i]=cur[i]+now[i]+x;
    x=cur[i]/10;
    cur[i]=cur[i]%10;
    ++i;    
}
//cur小的时候
if(i==cur.size()){
    for(;i<now.size();++i){
        int temp=now[i]+x;
        cur.push_back(temp%10);
        x=temp/10;
    }
}
if(x)
  cur.push_back(x);
②减法：

减法存在借位问题，同样逆序存储，借位直接加在本位上，即使借位让高位变成-1也没关系，因为它还会继续借位变成9，当然我们需要判断大小，被减数当最大的，然后添负号即可。
cpp 复制代码
int a[100]={};
int b[100]={};
int c[100]={};
逆序存储a和b
if(a<b){//伪代码
    flag=true;
    swap(a,b);
}
while(c_len<=a_len||c_len<=b_len){
    if(a[c_len]<b[c_len]{
        a[c_len]+=10;
        a[c_len+1]--;
    }
    c[c_len]=a[c_len]-b[c_len];
    c_len++;
}
while(c[c_len]==0&&c_len>0) --c_len;//前面的0是无效的，如果结果是0需要保存
if(flag) 添加负号
③乘法：

乘法和加法一样有进位，乘法可以理解为，多次进行被乘数乘以一位乘数，然后把多次结果相加得到最终结果。
cpp 复制代码
int a[100]={};
int b[100]={};
int c[200]={};
逆序存储a和b
for(int i=0;i<a_len;++i){//让a当做乘数，一位一位乘
    int x=0; //每次乘都有一个进位
    for(int j=0;j<b_len;++j){
        c[i+j]+=x+a[i]*b[j];//c[k]表示结果中逆序第k+1位的数字，需要累加起来
        x=c[i+j]/10;
        c[i+j]%=10;
    }
    c[i+b_len]+=x;//最后的进位，当时进位可以是0，少个判断直接相加。
}
c_len=a_len+b_len-1;//最大位数-1 但是不一定
while(c[c_len]==0&&c_len>0) --c_len;
//至此0~c_len为所求结果
④除法：

（1）高精度除以低精度

高精度除以低精度，低精度的数可以直接存储在一个整型中，从高精度最高位开始除，除不够上商上0（对于前导0最后直接忽略即可），除得够就上商上1~9,余数在下一次除时乘以10加上下一位，继续除。
cpp 复制代码
int a[200]={};
int b;
int c[100]={};
正序存储a，确保b不为0
int x=0;
for(int i=0;i<a_len;++i){
    c[i]=(x+a[i])/b;
    x=(x+a[i])%b;
    x*=10;
}
int j=0;
while(c[j]==0&&j<a_len-1) ++j;
//至此j~a_len-1为所求结果
（2）高精度除以高精度

高精度除法，在做除法的时候只能用高精度减法模拟，可以减多少次就上商为几，余下来的就是余数。我们可以善用vector比较大小的特性，比较大小的时候必须是长度相等的时候才有意义。
cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> a;
vector<int> b;
int divide(vector<int> & res,vector<int> & b){//保证够减，高精度减 模拟 一次除法
    int num=0;
    vector<int> x=b;
    reverse(x.begin(),x.end());
    while(res.size()>b.size()||(res.size()==b.size()&&res>=b)){
        reverse(res.begin(),res.end());
        vector<int> c;
        ++num;
        for(int i=0;i<res.size();++i){
            if(res[i]<x[i]){
                res[i]+=10;
                res[i+1]--;
            }
            c.push_back(res[i]-x[i]);
        }
        while(c.size()>0&&c[c.size()-1]==0) c.pop_back();//为0的余数不要了，原因是我们的res会继续为后面的除法做贡献，前导0对后续除法来说无意义，甚至影响判断~
        res=c;
        reverse(res.begin(),res.end());
    }
    return num;
}

int main(void){
/*--------------初始化-----------------*///确保初始化没有前导0。
    string s;
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.size();++i)
       a.push_back(s[i]-'0');
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.size();++i)
       b.push_back(s[i]-'0');
/*--------------除法-----------------*/
    vector<int> res;//余数
    vector<int> q;//商
    for(int i=0;i<a.size();++i){
        res.push_back(a[i]);
        if(res.size()<b.size()){//位数不够
            q.push_back(0);
        }else{
            if(res.size()==b.size()&&res<b){//位数刚好够，但是没它大
                q.push_back(0);
            }else{
                q.push_back(divide(res,b));//返回商，并且引用式参数，余数res会自动更改。
            }
        }
    }
    printf("结果的余数是:");
    if(res.size()){
        for(int i=0;i<res.size();++i)
            cout<<res[i];
        cout<<endl;
    }else{
        cout<<0<<endl;
    }
    int j=0;
    while(j<q.size()-1&&q[j]==0)
        ++j;
    printf("结果的商是:");
    for(;j<q.size();++j)
        cout<<q[j];
    return 0;
}

二、M进制转N进制

一、十进制转N进制基本思路

我们看十进制X转N进制，十进制在转成N进制的时候，我们可以这样考虑：

rn rn-1 rn-2 rn-3 ······· r4 r3 r2 r1 r0 <rn是结果最高位，r0是最低位>

①当前X%N，就是N进制的最低位r0，因为除了最低位的其他位对应的十进制权值都是最低位的N倍。

②然后我们让X=X/N，我们可以发现此时的十进制X转换成N进制的结果一定是：

rn rn-1 rn-2 rn-3 ······· r4 r3 r2 r1<rn是结果最高位，r1是最低位>

③循环①②步，直到X=0，去掉最高位0即可以得到答案。

二、M进制转N进制

M进制的X转N进制，可以这样考虑，对于一个M进制数：

an an-1 an-2 an-3 ······· a4 a3 a2 a1 a0 <an是最高位，a0是最低位>

其十进制值X1可以写为：
cpp 复制代码
int x1=0;
for(int i=n;i>=0;--i){
    x1*=M;
    x1+=ai;
}
在往后遍历的过程中an的权值会不断乘以M倍，直到最后就变成了M^n。

我们再来看为其除以N：

an*M^(n)+an-1*M^(n-1)+an-2*M^(n-2)+····+a3*M^3 +a2 *M^2+a1*M+a0

------------------------------------------------------------------------------------------------------

N

我们注意到ai<M，则有an*M^(n)会包含十进制中的最高位，我们同样从高位除起，

①an/N=qn········rn [an*M^(n)=qn*N*M^(n)+rn*M^(n)]

可以知道qn*M^(n)也必然包含商中十进制的最高位，同时由于an＜M，则qn必然＜M。

rn留给后一位

②(rn*M+an-1)/N=qn-1····rn-1 [(rn*M+an-1)*M^(n-1)=qn-1*N*M^(n-1)+rn-1*M^(n-1)]

假设rn=M-1<N（拉到最大），则(M-1)*M+an-1=qn-1*N+rn-1，设qn-1=M（超过M的最小值），则(M-1)*M+an-1=M*N+rn-1，则an-1=(N-M+1)*M+rn-1，由于N+1>M，则N-M+1>0，整数下N-M+1>=1，则an-1>=M矛盾，所以qn-1=M不成立，换而言之qn-1<M。

rn-1留给后一位。

以此类推：

最终我们的值实际上是：

an*M^(n)+an-1*M^(n-1)+an-2*M^(n-2)+····+a3*M^3 +a2 *M^2+a1*M+a0

=（qn*M^(n)+qn-1*M^(n-1)+qn-2*M^(n-2)+····+q3*M^3 +q2 *M^2+q1*M+q0）*N+r0

由以上可知qn qn-1 ···q0 仍然是一个M进制的数。

在转换时，用上述等式来看，an除以N上商上qn，余数*M进入下一位
cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int M,N;
int main(void){
    string s;
    cin>>M>>N;
    cin>>s;
    vector<int> nums;
    string res;
//---------------------初始化----------------------------
    for(int i=0;i<s.size();++i){
        if(s[i]>='A')
            nums.push_back(s[i]-'A'+10);
        else nums.push_back(s[i]-'0');
    }
//--------------M进制转N进制：高精度除法-------------------
    while(nums.size()){
        int x=0;
        for(int i=0;i<nums.size();++i){
            nums[i]+=x*M;
            x=nums[i]%N;
            nums[i]/=N;
        }
        if(x<=9) res.push_back(x+'0');
        else res.push_back(x-10+'a');
        while(nums.size()&&nums[0]==0) nums.erase(nums.begin());
    }
    if(res.back()=='0') res.pop_back();
    
//---------------------输出结果-------------------------
    for(int i=res.size()-1;i>=0;--i)
        cout<<res[i];
    return 0;
}

三、BUG方面

一、变量初始化

我们这里将的变量初始化，并不是指初始化变量让其不会表示一个内存中的随意数。我们指的是在一个每次循环的操作都意义一样时，有的变量需要每一次循环都初始化一次，如果不进行初始化，上一次循环的结果会影响下一次循环。

比如：在进行十进制转二进制高精度转换时，flag用来表判断数位中的1是借位，还是原来的1，对于每一次循环，target都是一个新的数，这个时候flag都需要重新赋值为false。一个常见的错误是把flag在定义时赋值为false，在循环开头没管了，之后debug也很难发现这一条问题。如果对这种赋值有警觉性，或者脑袋清醒，就不会犯这样的错误！

当时实际做题时，使用高精度除以低精度算法即可。

二、while循环条件变量

cpp 复制代码
while(i>0&&q[i]==0) {q.pop_back();--i;}
你忘了--i，你可以尝试养成一个习惯，当写这样的while语句时，先把++i，--i给写上，不然最后可能写完一长串内容，不再看一次循环就已经忘了还有++i这个东西。