Acwing858_Prim算法求最小生成树

题目

给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 V 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m

接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

数据范围

  • 1≤n≤105
  • 1≤m≤2∗105
  • 图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000

输入样例:

复制代码
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例:

复制代码
6

代码与解析

  1. 图的表示 :使用邻接矩阵g表示无向图的边权。

  2. Prim算法思路

    • 初始化距离数组dis,标记数组state和最小生成树的权值ans
    • 从任意起始点开始,每次选择一个未访问的节点中距离最小的节点,标记为已访问,并更新与其相邻的节点的距离。
    • 重复上述步骤直至所有节点都被访问,得到最小生成树。
  3. 返回值 :如果图不连通,则返回max;否则返回最小生成树的权值ans

注意事项

  • 判断图不连通的条件是当且仅当i > 0(非第一个节点)且当前访问节点的距离为无穷大。
  • 为防止整个图不连通,应在每次选择节点之前判断,若已存在访问的节点且当前访问节点的距离为无穷大,则返回max
java 复制代码
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int n, m, N = 510, max = (int) 1e9;
    static int[][] g = new int[N][N];
    static int[] dis = new int[N];
    static boolean[] state = new boolean[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        
        // 初始化图的邻接矩阵
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            Arrays.fill(g[i], max);
        }
        
        // 读入边的权值,将边权值存入邻接矩阵
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int u = in.nextInt();
            int v = in.nextInt();
            int w = in.nextInt();
            g[u][v] = g[v][u] = Math.min(w, g[u][v]);  // 无向图取边权的最小值
        }
        
        int t = prim();
        if (t == max) {
            System.out.println("impossible");
        } else {
            System.out.println(t);
        }
    }

    /**
     * Prim算法求最小生成树
     * @return 最小生成树的权值,如果不连通返回max
     */
    public static int prim() {
        Arrays.fill(dis, max);  // 初始化距离数组,初始值为无穷大
        int ans = 0;  // 最小生成树的权值

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = -1;  // 当前访问的节点
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                // 选择未访问的节点中距离最小的节点
                if (!state[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) {
                    t = j;
                }
            }
            state[t] = true;  // 标记节点为已访问

            // 如果是第一个节点,并且距离为无穷大,说明图不连通
            if (i > 0 && dis[t] == max) {
                return max;
            }

            // 累加最小生成树的权值
            if (i > 0) {
                ans += dis[t];
            }

            // 更新与当前节点相邻的节点的距离
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                dis[j] = Math.min(dis[j], g[t][j]);
            }
        }

        return ans;
    }
}
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