【数据结构】归并排序的非递归写法和计数排序

前言

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学习目标：

我们大家应该都了解归并排序，而且可以很容易地将归并排序的递归形式写出，但是在面试或其他情况下，可能会考察我们非递归的写法，在这一篇博客中，我们会记录到如何写出归并排序非递归的写法，以及另一种排序方法：计数排序。

学习内容：

通过上面的学习目标，我们可以列出要学习的内容：

1. 归并排序的非递归写法
2. 计数排序的原理和代码写法

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一、归并排序的非递归写法

1.1 归并排序（稳定排序）的复习

归并排序利用分治的思想，将一个数组划分为两个有序的部分，然后在合并成一个有序的数组，利用递归的思想，但是，在一个要排序的数组中，不可能只分割一次就将数组分为两个有序的部分，我们要一直递归地分，直到一个区间中只剩下一个数时，就是有序的。类似于下图所示：

代码如下：

void mergesort(int a[], int left, int right)
{
	if (left >= right)
		return;

	int mid = (left + right) >> 1;
	mergesort(a, left, mid);
	mergesort(a, mid + 1, right);

	int l = left, r = mid + 1, cnt = left;
	while (l <= mid && r <= right)
	{
		if (a[l] < a[r])
		{
			tmp[cnt++] = a[l++];
		}
		else
		{
			tmp[cnt++] = a[r++];
		}
	}
	while (l <= mid)
	{
		tmp[cnt++] = a[l++];
	}
	while (r <= right)
	{
		tmp[cnt++] = a[r++];
	}
	for (int i = left; i <= right; i++)
	{
		a[i] = tmp[i];
	}
}

1.2 应该用什么数据结构来实现非递归写法呢？

在快速排序中，我们使用栈来模拟非递归的排序，因为在递归的过程中，编译器会调用栈空间来实现递归的过程，但是在用栈来模拟快速排序的非递归的时候，我们可以发现，我们自己利用栈来实现的快速排序是不能回溯的，所以并不是真正意义上的递归过程。

而在归并排序的过程中，我们可以发现我们只有在递归完成之后，在进行比较和排序，如果我们使用栈来模拟的话，是没有回溯的过程的，所以利用栈来模拟的话，我们只能将数组分割开，而不能将有序数组进行合并，因此，我们不能使用栈来模拟实现归并排序的非递归写法。

那我们应该用什么来模拟实现归并排序的非递归写法呢？在之前，我们会写一个斐波那契数列，我们是利用递归来写的，但是，利用递归的斐波那契数列算不了很大的数字，我们可以使用循环或者是记忆化搜索来优化算法，因为记忆化搜索是涉及动态规划，我们之后在来细说。

循环就是我们来解决归并排序非递归写法的思路。我们可以先通过斐波那契数列的优化来了解一下循环是如何进行的。++因为斐波那契数列的递归过程是从后往前推的，但是我们已经知道了前两个数是多少，而递归过程是通过回溯来知道每一位对应的数是多少。而归并排序也是从后面往前推的，所以我们可以使用循环来实现。++

1.3 循环实现非递归的过程

我们可以先来两个区间两个区间来合并，然后将要合并的区间大小倍增。要注意边界问题，代码去下：

void merge(int a[], int left, int mid, int right)
{// 合并过程就不介绍了
	int l = left, r = mid + 1, cnt = left;
	while (l <= mid && r <= right)
	{
		if (a[l] <= a[r])
		{
			tmp[cnt++] = a[l++];
		}
		else
		{
			tmp[cnt++] = a[r++];
		}
	}
	while (l <= mid)
	{
		tmp[cnt++] = a[l++];
	}
	while (r <= right)
	{
		tmp[cnt++] = a[r++];
	}
	for (int i = left; i <= right; i++)
	{
		a[i] = tmp[i];
	}
}

void sortNonR(int a[], int left, int right)
{
	int n = right - left + 1;
	int l = 0, m = 0, r = 0;
	for (int gap = 1; gap < n; gap *= 2)
	{
		l = 0;
		while (l < n) // 注意边界问题
		{
			m = l + gap - 1;
			if (m + 1>= n) // 如果第二个区间的左边界超过了所给数组的下标，我们可以break
				break;
			r = min(l + (gap * 2) - 1, n - 1);
			merge(a, l, m, r);
			l = r + 1;
		}
	}
}

二、归并排序的另一个用途（外排序）

像我们之前学习过的排序算法，可以按照排序算法能够排序在哪里存放的数据来划分为：内排序和外排序。而归并排序是唯一一个外排序的算法，归并排序既可以内排序，也可以外排序。换句人话：归并排序既可以排序内存中的数据，也可以排序硬盘中的数据。所以归并排序有一个非常大的用途，就是排序超级多的数据（存储在硬盘中）。

我们可以先将1G的数据输入到内存中排序，然后再讲文件按照1G的大小分割，然后进行归并即可。这里的思想是：我们在归并时，不一定非要是一个数字，可以是其他单位。

三、 计数排序的原理和缺陷（非比较排序）

计数排序，顾名思义就是将数字进行统计，一个数字在数组中出现了多少次。然后按顺序进行输出即可。看起来还是比较简单的，但是这个排序不常用，之后在说缺点。

3.1 计数排序的原理

这个排序很像哈希的思想，就是利用额外的空间来统计每一个数字出现的个数。我们可以使用数组，其范围是最大的数字的大小，其优点就是效率极高。代码如下：

// 非优化版本
void Countsort(int a[], int n)
{
	int max = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (max < a[i])
			max = a[i];
	}// 统计出最大值
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * max + 1);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		tmp[a[i]]++;
	int cnt = 0;
	for (int i = 0; i <= max; i++)
		while (tmp[i]--)
			a[cnt++] = i;
}

3.2 计数排序的缺陷

1. 不适合分散的数据，更适合于集中的数据
2. 不适合浮点数，字符串，结构体数据排序，只适合整数
3. 不适合数据过大的整数排序

3.3 代码优化

根据缺陷，我们可以将要排序的数组的最小值和最大值找出，然后根据最大值和最小值来确定数组的大小。这样我们即可以排序正数，也可以排序负数。优化代码如下：

void Countsort(int* a, int n)
{
	int min = 0, max = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (min > a[i])
			min = a[i];
		if (max < a[i])
			max = a[i];
	}// 统计出最大，最小值
	int range = max - min + 1;
	int* tmp = (int*)calloc(range, sizeof(int));
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		tmp[a[i] - min]++;
	}
	int cnt = 0;
	for (int i = 0; i < range; i++)
	{
		while (tmp[i] --)
		{
			a[cnt++] = i + min;
		}
	}
}