第六章 选择公理的等价形式及证明
引言：一个无法回避的选择
在第四章中，我们将选择公理（Axiom of Choice，记作 AC ）作为 Zermelo--Fraenkel 集合论（ZF）的最后一条公理予以陈述。表面上看，它仅断言一族非空不交集合存在一个选择函数------这似乎是一个极其技术性的要求，甚至显得琐碎。然而，在公理化集合论乃至整个现代数学的历史中，没有哪一条公理像选择公理那样引发了如此持久而深刻的争议，也极少有公理如此深入地渗透到数学的每一个角落。
1904年，Ernst Zermelo 为了证明良序定理（任何集合均可被良序），首次明确地提出了选择公理。当时的数学界一片哗然。Émile Borel、Henri Lebesgue 等名家纷纷指责选择公理的非构造性：它断言存在一个选择函数，却没有给出任何定义该函数的能行规则。然而，随着数学的发展，人们逐渐发现，选择公理等价于大量重要的数学命题------从代数中向量空间基的存在性，到分析中的 Hahn--Banach 扩张定理，再到拓扑中的 Tychonoff 紧致性定理。否定选择公理，意味着放弃现代数学中很大一部分经典结果；接受选择公理，则意味着容忍非构造性存在和诸如 Banach--Tarski 悖论这样反直觉的后果。
最终，绝大多数数学家选择了接受 AC，并享用其丰硕的数学果实。本章的核心任务，便是展示选择公理在 ZF 系统中的等价命题，并严格证明这些等价性。我们将从佐恩引理开始，因为它或许是最广泛使用的等价形式，随后逐步展开良序定理、Hausdorff 极大原理、Tukey 引理、基数可比较性、满射的右逆、Tychonoff 定理等，揭示它是如何成为数学推理中不可或缺的"隐身引擎"。此外，我们还将讨论选择公理的弱形式（ACω_\omegaω、DC、布尔素理想定理）以及其独立于 ZF 的元数学结论，为后续章节的力迫法与连续统假设的独立性研究铺平道路。
本章所有结果均在 ZF 系统中证明（不事先假定 AC），并明确标明 AC 的每一次使用。等价性证明将遵循严格的循环逻辑，使读者看清每一条通路上的逻辑风景。
6.1 选择公理的形式与初步等价
6.1.1 选择公理的多重面貌
在陈述等价形式之前，我们重述选择公理的几种常见表述。它们在 ZF 中互推等价。
AC1（选择函数版本）
对于任意由两两不交的非空集合构成的族 F\mathcal{F}F，存在一个函数 f:F→⋃Ff: \mathcal{F} \to \bigcup \mathcal{F}f:F→⋃F，使得对每个 X∈FX \in \mathcal{F}X∈F，有 f(X)∈Xf(X) \in Xf(X)∈X。这样的 fff 称为 F\mathcal{F}F 上的选择函数。
AC2（笛卡尔积版本）
对于任意非空集合的指标族 {Xi}i∈I\{X_i\}{i \in I}{Xi}i∈I（不要求 XiX_iXi 两两不交），笛卡尔积 ∏i∈IXi\prod{i \in I} X_i∏i∈IXi 非空。
AC3（关系版本）
对于任意二元关系 RRR，存在一个函数 f⊆Rf \subseteq Rf⊆R 使得 dom(f)=dom(R)\operatorname{dom}(f) = \operatorname{dom}(R)dom(f)=dom(R)。换言之，对任意关系都可选取一个函数，其定义域与原关系相同。
命题 6.1.1 在 ZF 中，AC1、AC2、AC3 三者等价。
证明 ：
AC1 ⇒ AC2 ：给定集族 {Xi}i∈I\{X_i\}{i\in I}{Xi}i∈I，构造两两不交的集合 Xi∗=Xi×{i}X_i^* = X_i \times \{i\}Xi∗=Xi×{i}。显然 Xi∗≠∅X_i^* \neq \varnothingXi∗=∅ 且彼此不交。由 AC1，存在选择函数 fff 使得 f(Xi∗)∈Xi∗f(X_i^*) \in X_i^*f(Xi∗)∈Xi∗。设 f(Xi∗)=(xi,i)f(X_i^*) = (x_i, i)f(Xi∗)=(xi,i)，则 xi∈Xix_i \in X_ixi∈Xi，从而 (xi)i∈I∈∏i∈IXi(x_i){i \in I} \in \prod_{i \in I} X_i(xi)i∈I∈∏i∈IXi。
AC2 ⇒ AC3 ：设 RRR 为关系，对每个 x∈dom(R)x \in \operatorname{dom}(R)x∈dom(R)，令 Xx={y∣(x,y)∈R}X_x = \{y \mid (x, y) \in R\}Xx={y∣(x,y)∈R}，则所有 XxX_xXx 非空。由 AC2，∏x∈dom(R)Xx≠∅\prod_{x \in \operatorname{dom}(R)} X_x \neq \varnothing∏x∈dom(R)Xx=∅，取其中一元即得所需函数 fff。
AC3 ⇒ AC1 ：对集族 F\mathcal{F}F，令 R={(X,x)∣X∈F, x∈X}R = \{(X, x) \mid X \in \mathcal{F},\; x \in X\}R={(X,x)∣X∈F,x∈X}。由 AC3，存在函数 f⊆Rf \subseteq Rf⊆R 且 dom(f)=F\operatorname{dom}(f) = \mathcal{F}dom(f)=F，此 fff 即为选择函数。 ∎
在后续讨论中，我们根据需要灵活选用任一版本。
6.1.2 构造性与非构造性之辩
选择公理之所以引发争议，是因为它断言一个选择函数的存在，却不提供任何能行规则。与之形成对照的是可数选择公理（ACω_\omegaω） ，它只断言可数族的选择函数存在，而**依赖选择公理（DC）**更强一些。绝大多数分析学实际只依赖于 ACω_\omegaω 或 DC。然而，许多深刻的定理（如向量空间的基、Tychonoff 紧致性定理）需要完全的选择公理。我们将在 6.12 节系统讨论这些弱形式及其相互关系。
6.2 良序定理与选择公理的等价性
良序定理断言：任意集合都可以被良序化。它是选择公理最早被认识的等价命题，也是 Zermelo 提出 AC 的直接动因。
定理 6.2.1（Zermelo, 1904） 在 ZF 中，AC 等价于良序定理。
证明：我们将分两步完成：AC ⇒ 良序定理，以及良序定理 ⇒ AC。
第一步：AC ⇒ 良序定理。
设 AAA 为任意非空集合。由 AC，存在一个选择函数 f:P(A)∖{∅}→Af: \mathcal{P}(A) \setminus \{\varnothing\} \to Af:P(A)∖{∅}→A，使得对任意非空 S⊆AS \subseteq AS⊆A 有 f(S)∈Sf(S) \in Sf(S)∈S。我们将利用 fff 通过超限递归定义 AAA 的一个良序。
考虑 Hartogs 数 ：对任意集合 XXX，令 ℵ(X)\aleph(X)ℵ(X) 为最小的序数，使得不存在从 ℵ(X)\aleph(X)ℵ(X) 到 XXX 的单射（在 ZF 中该序数存在且唯一）。令 κ=ℵ(A)\kappa = \aleph(A)κ=ℵ(A)。我们将递归地定义一列元素 {aα}α<κ\{a_\alpha\}{\alpha < \kappa}{aα}α<κ。假设对某个 α<κ\alpha < \kappaα<κ，我们已经定义了 {aβ}β<α⊆A\{a\beta\}_{\beta < \alpha} \subseteq A{aβ}β<α⊆A，且它们两两不同。考虑剩余集
Rα=A∖{aβ∣β<α}. R_\alpha = A \setminus \{a_\beta \mid \beta < \alpha\}. Rα=A∖{aβ∣β<α}.
若 Rα≠∅R_\alpha \neq \varnothingRα=∅，则令 aα=f(Rα)a_\alpha = f(R_\alpha)aα=f(Rα)；若 Rα=∅R_\alpha = \varnothingRα=∅，则递归在 α\alphaα 处终止。
我们断言必然存在 α<κ\alpha < \kappaα<κ 使得 Rα=∅R_\alpha = \varnothingRα=∅。否则，对所有 α<κ\alpha < \kappaα<κ 均有 Rα≠∅R_\alpha \neq \varnothingRα=∅，从而映射 α↦aα\alpha \mapsto a_\alphaα↦aα 是从 κ\kappaκ 到 AAA 的单射。但 κ=ℵ(A)\kappa = \aleph(A)κ=ℵ(A) 被定义为不能单射映入 AAA，矛盾。因此存在最小的序数 θ≤κ\theta \le \kappaθ≤κ 使得 Rθ=∅R_\theta = \varnothingRθ=∅。此时
A={aα∣α<θ}, A = \{a_\alpha \mid \alpha < \theta\}, A={aα∣α<θ},
且映射 α↦aα\alpha \mapsto a_\alphaα↦aα 是双射。在 AAA 上定义良序：aα<aβa_\alpha < a_\betaaα<aβ 当且仅当 α<β\alpha < \betaα<β，则 (A,<)(A, <)(A,<) 即为所求良序（序型为 θ\thetaθ）。
第二步：良序定理 ⇒ AC。
设 F={Xi}i∈I\mathcal{F} = \{X_i\}{i \in I}F={Xi}i∈I 是一族两两不交的非空集合。令 U=⋃i∈IXiU = \bigcup{i \in I} X_iU=⋃i∈IXi。由良序定理，存在 UUU 上的一个良序 ≤\le≤。对每个 i∈Ii \in Ii∈I，XiX_iXi 作为 UUU 的非空子集，依良序有唯一的最小元 xi=min≤Xix_i = \min_\le X_ixi=min≤Xi。定义 f(i)=xif(i) = x_if(i)=xi，则 fff 就是所需的选择函数。 ∎
评注 6.2.2 在上述证明中，Hartogs 数 ℵ(A)\aleph(A)ℵ(A) 的引入巧妙地避免了直接与全体序数的真类发生矛盾，使推理完全保持在 ZF 的框架之内。该定理有时也称为 Zermelo 良序定理。
6.3 佐恩引理
佐恩引理（Zorn's Lemma）是泛代数、泛函分析和拓扑中应用最为广泛的选择公理等价命题。它将被广泛用于证明各种"极大对象"的存在性。
定义 6.3.1 设 (P,≤)(P, \le)(P,≤) 为偏序集。子集 C⊆PC \subseteq PC⊆P 称为链 ，若 CCC 关于 ≤\le≤ 是全序的，即对任意 x,y∈Cx, y \in Cx,y∈C，必有 x≤yx \le yx≤y 或 y≤xy \le xy≤x。元素 m∈Pm \in Pm∈P 称为极大元 ，若不存在 x∈Px \in Px∈P 使得 m<xm < xm<x（即 m≤xm \le xm≤x 且 m≠xm \neq xm=x）。
佐恩引理
设 (P,≤)(P, \le)(P,≤) 是一个偏序集。如果 PPP 中的每一个链在 PPP 中都有上界，那么 PPP 至少有一个极大元。
6.3.1 从选择公理证明佐恩引理
定理 6.3.2 AC⇒佐恩引理\mathbf{AC} \Rightarrow \mathbf{佐恩引理}AC⇒佐恩引理。
证明 ：设 (P,≤)(P, \le)(P,≤) 满足链有上界条件。若 P=∅P = \varnothingP=∅，则没有链需要上界，前提无效；事实上常规表述中 PPP 非空隐含于"每个链有上界"（空链的上界即为任意元素，故 PPP 非空）。为证明极大元的存在，反设 PPP 没有极大元。由 AC，存在一个选择函数 f:P(P)∖{∅}→Pf: \mathcal{P}(P) \setminus \{\varnothing\} \to Pf:P(P)∖{∅}→P，使得 f(S)∈Sf(S) \in Sf(S)∈S。
我们利用 fff 与超限递归构造一个严格递增的序列 {pα}\{p_\alpha\}{pα}。取定某个 p0∈Pp_0 \in Pp0∈P。设对某个序数 α\alphaα 已经定义了集合 Cα={pβ∣β<α}C_\alpha = \{p_\beta \mid \beta < \alpha\}Cα={pβ∣β<α} 且它是一条链，并满足 β<γ<α⇒pβ<pγ\beta < \gamma < \alpha \Rightarrow p_\beta < p_\gammaβ<γ<α⇒pβ<pγ。考虑
Sα={x∈P∣∀β<α, pβ<x}. S_\alpha = \{x \in P \mid \forall \beta < \alpha,\; p_\beta < x\}. Sα={x∈P∣∀β<α,pβ<x}.
由于 CαC_\alphaCα 是链，由假设其在 PPP 中有上界 uuu。因为 PPP 无极大元，存在 v∈Pv \in Pv∈P 使得 u<vu < vu<v。那么对所有 β<α\beta < \alphaβ<α 有 pβ≤u<vp_\beta \le u < vpβ≤u<v，故 v∈Sαv \in S_\alphav∈Sα，即 Sα≠∅S_\alpha \neq \varnothingSα=∅。于是可定义 pα=f(Sα)p_\alpha = f(S_\alpha)pα=f(Sα)。
通过此递归定义，我们得到对所有序数 α\alphaα 均有定义的映射 α↦pα\alpha \mapsto p_\alphaα↦pα，且它是严格递增的单射。但由替换公理模式，像集 {pα∣α∈Ord}\{p_\alpha \mid \alpha \in \mathbf{Ord}\}{pα∣α∈Ord} 是 PPP 的一个子集，从而是一个集合。那么由单射性质，全体序数 Ord\mathbf{Ord}Ord 将可嵌入到一个集合中，这与已知的 ZF 定理（Burali-Forti 悖论：Ord\mathbf{Ord}Ord 是真类，不是集合）矛盾。因此，反设不成立，PPP 必有极大元。 ∎
评注 6.3.3 上述证明直接使用了真类不能为集合的性质，在 ZF 中严格成立。另一流行的证明手法是预先取 PPP 的 Hartogs 数 ℵ(P)\aleph(P)ℵ(P)，仅递归至该序数即被迫停止，同样可导出矛盾。两方法本质一致。
6.3.2 从佐恩引理证明选择公理
定理 6.3.4 佐恩引理⇒AC\mathbf{佐恩引理} \Rightarrow \mathbf{AC}佐恩引理⇒AC。
证明 ：设 F={Xi}i∈I\mathcal{F} = \{X_i\}{i \in I}F={Xi}i∈I 是一族两两不交的非空集合。考虑由所有"部分选择函数"构成的偏序集 P\mathcal{P}P：元素为序对 (J,g)(J, g)(J,g)，其中 J⊆IJ \subseteq IJ⊆I，而 g:J→⋃i∈JXig: J \to \bigcup{i \in J} X_ig:J→⋃i∈JXi 满足对每个 i∈Ji \in Ji∈J 有 g(i)∈Xig(i) \in X_ig(i)∈Xi。定义偏序：
(J1,g1)≤(J2,g2) ⟺ J1⊆J2 且 g2∣J1=g1. (J_1, g_1) \le (J_2, g_2) \iff J_1 \subseteq J_2 \;\text{且}\; g_2|_{J_1} = g_1. (J1,g1)≤(J2,g2)⟺J1⊆J2且g2∣J1=g1.
即一个部分选择函数是另一个的扩张。显然 P\mathcal{P}P 非空（含 (∅,∅)(\varnothing, \varnothing)(∅,∅)）。
设 C={(Jα,gα)}α∈A\mathcal{C} = \{(J_\alpha, g_\alpha)\}{\alpha \in A}C={(Jα,gα)}α∈A 是 P\mathcal{P}P 中的一条链。令 J∗=⋃α∈AJαJ^* = \bigcup{\alpha \in A} J_\alphaJ∗=⋃α∈AJα，并定义 g∗:J∗→⋃i∈J∗Xig^*: J^* \to \bigcup_{i \in J^*} X_ig∗:J∗→⋃i∈J∗Xi 为：对 i∈J∗i \in J^*i∈J∗，取某个 α\alphaα 使 i∈Jαi \in J_\alphai∈Jα，令 g∗(i)=gα(i)g^*(i) = g_\alpha(i)g∗(i)=gα(i)。由于 C\mathcal{C}C 是链，该定义不依赖于 α\alphaα 的选择。则 (J∗,g∗)∈P(J^*, g^*) \in \mathcal{P}(J∗,g∗)∈P 且是 C\mathcal{C}C 的上界。因此 P\mathcal{P}P 满足佐恩引理的条件，故有极大元 (Jmax,gmax)(J_{\max}, g_{\max})(Jmax,gmax)。
断言 Jmax=IJ_{\max} = IJmax=I。若不然，存在 i0∈I∖Jmaxi_0 \in I \setminus J_{\max}i0∈I∖Jmax。因 Xi0X_{i_0}Xi0 非空，可取 x0∈Xi0x_0 \in X_{i_0}x0∈Xi0。定义 J′=Jmax∪{i0}J' = J_{\max} \cup \{i_0\}J′=Jmax∪{i0} 以及 g′(i)=gmax(i)g'(i) = g_{\max}(i)g′(i)=gmax(i) 若 i∈Jmaxi \in J_{\max}i∈Jmax，且 g′(i0)=x0g'(i_0) = x_0g′(i0)=x0。则 (Jmax,gmax)<(J′,g′)(J_{\max}, g_{\max}) < (J', g')(Jmax,gmax)<(J′,g′)，与极大性矛盾。故 Jmax=IJ_{\max} = IJmax=I，从而 gmaxg_{\max}gmax 就是所需的选择函数。 ∎
这两个定理共同确立了 AC 与佐恩引理在 ZF 中的等价性。
6.4 Hausdorff 极大原理与 Tukey 引理
Hausdorff 极大原理与 Tukey 引理是佐恩引理的两个重要变体，它们在处理链或具有有限特征的集族时更为直接。
6.4.1 Hausdorff 极大原理
陈述（Hausdorff 极大原理）
在任意偏序集 (P,≤)(P, \le)(P,≤) 中，每一条链都可以扩张为一条极大链（即关于包含关系 ⊆\subseteq⊆ 极大的全序子集）。
定理 6.4.1 佐恩引理⇒Hausdorff极大原理\mathbf{佐恩引理} \Rightarrow \mathbf{Hausdorff 极大原理}佐恩引理⇒Hausdorff极大原理。
证明 ：设 C0C_0C0 是 PPP 中的一条链。令
C={C⊆P∣C 是链且 C0⊆C}, \mathcal{C} = \{C \subseteq P \mid C \text{ 是链且 } C_0 \subseteq C\}, C={C⊆P∣C 是链且 C0⊆C},
赋予偏序 ⊆\subseteq⊆。取 C\mathcal{C}C 中的任意链 {Ci}i∈I\{C_i\}{i \in I}{Ci}i∈I，令 C∗=⋃i∈ICiC^* = \bigcup{i \in I} C_iC∗=⋃i∈ICi。对任意 x,y∈C∗x, y \in C^*x,y∈C∗，存在 i,j∈Ii, j \in Ii,j∈I 使 x∈Ci, y∈Cjx \in C_i,\; y \in C_jx∈Ci,y∈Cj。因 {Ci}\{C_i\}{Ci} 是链，可设 Ci⊆CjC_i \subseteq C_jCi⊆Cj，则 x,y∈Cjx, y \in C_jx,y∈Cj，故二者可比较。因此 C∗C^*C∗ 是链，且 C0⊆C∗C_0 \subseteq C^*C0⊆C∗，于是 C∗∈CC^* \in \mathcal{C}C∗∈C 并是 {Ci}\{C_i\}{Ci} 的上界。由佐恩引理，C\mathcal{C}C 有极大元，即为包含 C0C_0C0 的极大链。 ∎
定理 6.4.2 Hausdorff极大原理⇒AC\mathbf{Hausdorff 极大原理} \Rightarrow \mathbf{AC}Hausdorff极大原理⇒AC。
证明 ：由 Hausdorff 极大原理易证佐恩引理：设 (P,≤)(P, \le)(P,≤) 满足链有上界。取极大链 CmaxC_{\max}Cmax，其有上界 uuu。若 uuu 非极大元，则有 v>uv > uv>u，于是 Cmax∪{v}C_{\max} \cup \{v\}Cmax∪{v} 为更大的链，矛盾。故 uuu 为极大元。再由佐恩引理等价于 AC 即得。 ∎
6.4.2 Tukey 引理
定义 6.4.3 称集族 F\mathcal{F}F 具有有限特征 ，若对任意集合 AAA，
A∈F ⟺ 对 A 的每个有限子集 B⊆A, B∈F. A \in \mathcal{F} \iff \text{对 } A \text{ 的每个有限子集 } B \subseteq A,\; B \in \mathcal{F}. A∈F⟺对 A 的每个有限子集 B⊆A,B∈F.
Tukey 引理
设 F\mathcal{F}F 是一个非空的具有有限特征的集族。则 F\mathcal{F}F 在包含关系 ⊆\subseteq⊆ 下存在极大元。
定理 6.4.4 AC⇒Tukey引理\mathbf{AC} \Rightarrow \mathbf{Tukey 引理}AC⇒Tukey引理。
证明 ：因 F\mathcal{F}F 具有有限特征，任给链 C⊆F\mathcal{C} \subseteq \mathcal{F}C⊆F，令 U=⋃CU = \bigcup \mathcal{C}U=⋃C。取 UUU 的任意有限子集 FFF，有 FFF 包含于某有限个 C\mathcal{C}C 中成员的并，而链中存在最大者包含所有这些成员，故 F∈FF \in \mathcal{F}F∈F，由有限特征得 U∈FU \in \mathcal{F}U∈F。所以 UUU 是 C\mathcal{C}C 的上界。由佐恩引理（由 AC 可得），F\mathcal{F}F 有极大元。 ∎
定理 6.4.5 Tukey引理⇒Hausdorff极大原理\mathbf{Tukey 引理} \Rightarrow \mathbf{Hausdorff 极大原理}Tukey引理⇒Hausdorff极大原理（从而 ⇒AC\Rightarrow \mathbf{AC}⇒AC）。
证明 ：设 (P,≤)(P, \le)(P,≤) 为偏序集。考虑由 PPP 中所有链构成的族 C\mathcal{C}C。一个子集 C⊆PC \subseteq PC⊆P 是链当且仅当其任意有限子集均为链（特别是任意二元子集可比较）。因此 C\mathcal{C}C 具有有限特征，且非空（∅∈C\varnothing \in \mathcal{C}∅∈C）。由 Tukey 引理，C\mathcal{C}C 有极大元，此即极大链。 ∎
Tukey 引理的优点是它将论证完全转化为"有限特征"这一容易验证的条件，在代数无关集、线性无关集等存在性证明中尤为便捷。
6.5 满射的右逆与基数可比较性
本节讨论两个与选择函数直接相关的等价命题。
6.5.1 满射的右逆
命题 6.5.1 在 ZF 中，AC 等价于"每个满射都存在右逆"（即对任意满射 f:A→Bf: A \to Bf:A→B，存在 g:B→Ag: B \to Ag:B→A 使得 f∘g=idBf \circ g = \operatorname{id}_Bf∘g=idB）。
证明 ：
AC ⇒ 右逆存在 ：设 f:A→Bf: A \to Bf:A→B 为满射。对每个 b∈Bb \in Bb∈B，令 Xb=f−1({b})≠∅X_b = f^{-1}(\{b\}) \neq \varnothingXb=f−1({b})=∅。集族 {Xb}b∈B\{X_b\}_{b \in B}{Xb}b∈B 非空且两两不交。由 AC，存在选择函数 hhh 使得 h(Xb)∈Xbh(X_b) \in X_bh(Xb)∈Xb。定义 g(b)=h(Xb)g(b) = h(X_b)g(b)=h(Xb)，则 f(g(b))=bf(g(b)) = bf(g(b))=b，即 ggg 为右逆。
右逆存在 ⇒ AC ：设 {Xi}i∈I\{X_i\}_{i \in I}{Xi}i∈I 为两两不交的非空集族。令 A={(i,x)∣i∈I, x∈Xi}A = \{(i, x) \mid i \in I,\; x \in X_i\}A={(i,x)∣i∈I,x∈Xi} 并定义满射 f:A→If: A \to If:A→I 为 f(i,x)=if(i, x) = if(i,x)=i。由假设，存在右逆 g:I→Ag: I \to Ag:I→A。设 g(i)=(i,xi)g(i) = (i, x_i)g(i)=(i,xi)，则 xi∈Xix_i \in X_ixi∈Xi，从而 i↦xii \mapsto x_ii↦xi 即为选择函数。 ∎
这一等价形式常常被用于范畴论中：选择公理等价于 Sets 范畴中每个满态射都是分裂满态射。
6.5.2 基数可比较性（三歧性）
命题 6.5.2 在 ZF 中，AC 等价于基数可比较性：对任意集合 A,BA, BA,B，总有 ∣A∣≤∣B∣|A| \le |B|∣A∣≤∣B∣ 或 ∣B∣≤∣A∣|B| \le |A|∣B∣≤∣A∣。
证明 ：
AC ⇒ 基数可比较 ：由 AC 得到良序定理，任意集合均可良序化。于是 AAA 与 BBB 分别等势于某个序数 α,β\alpha, \betaα,β。序数之间自然可比较，故 ∣A∣≤∣B∣|A| \le |B|∣A∣≤∣B∣ 或 ∣B∣≤∣A∣|B| \le |A|∣B∣≤∣A∣。
基数可比较 ⇒ AC ：我们证明良序定理。设 AAA 为任意集合，令 κ=ℵ(A)\kappa = \aleph(A)κ=ℵ(A) 为其 Hartogs 数。由基数可比较性，∣A∣≤κ|A| \le \kappa∣A∣≤κ 或 κ≤∣A∣\kappa \le |A|κ≤∣A∣。但由 κ\kappaκ 的定义，不可能有 κ≤∣A∣\kappa \le |A|κ≤∣A∣（否则存在单射 κ→A\kappa \to Aκ→A）。故必有 ∣A∣≤κ|A| \le \kappa∣A∣≤κ，即存在单射 A→κA \to \kappaA→κ。由于 κ\kappaκ 是序数，AAA 等势于某个序数 α≤κ\alpha \le \kappaα≤κ，从而 AAA 可被良序化。由良序定理等价于 AC 即得。 ∎
评注 6.5.3 基数三歧性（任意两个基数均可比）常被视作 AC 在"大小比较"层面的本质体现。实际上，若没有 AC，可能存在无法比较大小的无穷集。
6.6 无穷基数算术与选择公理
在 ZF 中，即使是最基本的基数算术等式，若无 AC 也可能崩塌。本节讨论其与 AC 的等价性。
定理 6.6.1（Tarski） 在 ZF 中，AC 等价于如下命题：对任意无穷集合 XXX，∣X×X∣=∣X∣|X \times X| = |X|∣X×X∣=∣X∣。
证明 ：
AC ⇒ ∣X×X∣=∣X∣|X \times X| = |X|∣X×X∣=∣X∣ ：由 AC 及良序定理，无穷集合 XXX 等势于某个无穷初始序数 ωα\omega_\alphaωα。在 6.7 节（原章节）中已详证 ∣ωα×ωα∣=ωα|\omega_\alpha \times \omega_\alpha| = \omega_\alpha∣ωα×ωα∣=ωα，故结论成立。
∣X×X∣=∣X∣|X \times X| = |X|∣X×X∣=∣X∣ ⇒ AC ：此方向证明较为复杂，需用到 Tarski 的构造。对于任意非空集合族 {Ai}i∈I\{A_i\}_{i\in I}{Ai}i∈I，证明其积非空。经典论证是选取某个足够大的无穷集合 YYY（例如 ⋃iAi∪ω\bigcup_i A_i \cup \omega⋃iAi∪ω），由假设 ∣Y×Y∣=∣Y∣|Y \times Y| = |Y|∣Y×Y∣=∣Y∣ 可推导 AC。细节可参见 Tarski (1924) 或标准集合论教材。这里我们给出精神：该等式保证了在无穷集合上可以定义良序，因此蕴含 AC。 ∎
由此，基数平方公式不仅是 AC 的推论，也是其等价形式。在 ZF 中，无穷基数的加法与乘法退化为取最大值这一特征，完全取决于 AC。
6.7 代数中的等价形式：向量空间的基与代数闭包
选择公理在代数学中隐藏极深，但一旦移除 AC，许多基础结构的存在性便受到威胁。
6.7.1 向量空间的基
定理 6.7.1 在 ZF 中，AC 等价于"每个域上的每个向量空间都存在一组基"。
证明 ：
AC ⇒ 基存在 ：已见于 6.6 节（原）并通过 Tukey 引理完成。
基存在 ⇒ AC ：此方向的证明由 Andreas Blass 于 1984 年给出。基本思路：对于非空不交集族 {Xi}i∈I\{X_i\}{i \in I}{Xi}i∈I，构造一个特定的域 KKK 和向量空间 VVV，使得 VVV 的任何基底都能编码出选择函数。具体地，令 KKK 为有理函数域 Q(ti)i∈I\mathbb{Q}(t_i){i\in I}Q(ti)i∈I，并在 KKK 上构造由某种关系生成的向量空间。基底的存在性强制每个 XiX_iXi 中均能被选取一个代表元。详细构造超出本书范围，可参阅 Blass (1984)。 ∎
评注 6.7.2 与此类似，任意环的极大理想的存在性（Krull 定理）需要 AC，但"极大理想定理"严格弱于完全 AC（它等价于布尔素理想定理 BPI，见第 6.12 节）。
6.7.2 域的代数闭包
定理 6.7.3 在 ZF 中，任意域都存在代数闭包。该命题同样等价于 AC。
证明概要：AC ⇒ 代数闭包的存在性可通过佐恩引理构造极大代数扩张完成。反向证明亦可归约到基底的存在或其他等价形式。∎
6.8 拓扑中的等价形式：Tychonoff 定理
Tychonoff 定理是点集拓扑的里程碑：任意一族紧致空间的乘积空间在乘积拓扑下仍是紧致的。它与 AC 等价这一事实，揭示了集合论与拓扑之间惊人的内在联系。
定理 6.8.1（Tychonoff 定理） 设 {Xi}i∈I\{X_i\}{i \in I}{Xi}i∈I 是一族紧致拓扑空间，则乘积空间 ∏i∈IXi\prod{i \in I} X_i∏i∈IXi 在乘积拓扑下紧致。
定理 6.8.2 在 ZF 中，AC 等价于 Tychonoff 定理。
证明 ：
AC ⇒ Tychonoff 定理 ：经典证明需借助 Alexander 子基定理，而后者依赖于佐恩引理（即 AC）。此处从略。
Tychonoff 定理 ⇒ AC （Kelley, 1950）：设 {Ai}i∈I\{A_i\}{i \in I}{Ai}i∈I 为一族两两不交的非空集合。对每个 iii，令 Xi=Ai∪{∞i}X_i = A_i \cup \{\infty_i\}Xi=Ai∪{∞i}，赋予有限补拓扑（即闭集仅为有限子集和全空间）。每个 XiX_iXi 均为紧致空间。由 Tychonoff 定理，乘积空间 X=∏i∈IXiX = \prod{i \in I} X_iX=∏i∈IXi 紧致。对每个 iii，令 πi:X→Xi\pi_i: X \to X_iπi:X→Xi 为投射。考虑闭集族 {πi−1({∞i})}i∈I\{\pi_i^{-1}(\{\infty_i\})\}_{i \in I}{πi−1({∞i})}i∈I，它们具有有限交性质（因若 FFF 是有限子集族，可选取 ai∈Aia_i \in A_iai∈Ai 对 i∈Fi \in Fi∈F，余下坐标取 ∞j\infty_j∞j，则所得点同时避开这些闭集）。若对每个 iii 均有 πi−1({∞i})\pi_i^{-1}(\{\infty_i\})πi−1({∞i}) 非空且此闭集族之交为空，则紧致性将给出矛盾。实际上，由有限交性质可得其交非空？注意这里的论证需要更精细：若没有选择函数，则对每个 iii，∞i\infty_i∞i 的补为 AiA_iAi，使用有限补拓扑的紧致性质构造开覆盖，最终导出存在点全部坐标均不属于 ∞i\infty_i∞i，从而产生选择函数。详细论证可参阅 Kelley (1950)。其要点是：若不存在选择函数，则闭集族 {πi−1({∞i})}\{\pi_i^{-1}(\{\infty_i\})\}{πi−1({∞i})} 具有有限交性质但交为空，与紧致性矛盾。 ∎
因此，Tychonoff 定理不能离开 AC。事实上，若放弃完全 AC，任意乘积的紧致性将不再普遍成立。
6.9 Banach--Tarski 悖论：选择公理的争议之果
1924 年，Stefan Banach 和 Alfred Tarski 运用选择公理证明了一个颠覆直觉的结果：
定理 6.9.1（Banach--Tarski 悖论）
在 R3\mathbb{R}^3R3 中，存在对单位实心球 BBB 的一个划分
B=A1∪⋯∪An∪B1∪⋯∪Bm, B = A_1 \cup \dots \cup A_n \cup B_1 \cup \dots \cup B_m, B=A1∪⋯∪An∪B1∪⋯∪Bm,
以及等距变换 g1,...,gn,h1,...,hm∈SO(3)g_1, \dots, g_n, h_1, \dots, h_m \in \mathrm{SO}(3)g1,...,gn,h1,...,hm∈SO(3)，使得
{gi(Ai)}i=1n 构成 B 的一个划分,{hj(Bj)}j=1m 也构成 B 的一个划分. \{g_i(A_i)\}{i=1}^n \text{ 构成 } B \text{ 的一个划分},\qquad \{h_j(B_j)\}{j=1}^m \text{ 也构成 } B \text{ 的一个划分}. {gi(Ai)}i=1n 构成 B 的一个划分,{hj(Bj)}j=1m 也构成 B 的一个划分.
换言之，一个球可被分解为有限多片，经过旋转和平移重新拼接成两个与原球全等的球。
这并不是逻辑悖论，而是揭示出在 AC 下存在非 Lebesgue 可测的集合，从而"体积"概念无法扩张到所有子集。Banach--Tarski 的证明依赖于自由群 F2\mathbf{F}_2F2 在球面上的作用以及利用 AC 选取代表元。它提醒我们：AC 允许构造极度病态的对象，但也正因如此，数学中诸多深刻的理论（如测度论的限制、描述集合论的精细分层）才得以建立。
6.10 选择公理的弱形式：ACω_\omegaω、DC 与 BPI
并非所有的数学都需要完全的 AC。在许多情形下，较弱的选择公理便已足够，且能规避一些病态后果。
6.10.1 可数选择公理（ACω_\omegaω）
ACω_\omegaω ：任意由非空集合构成的可数族都有选择函数。
ACω_\omegaω 足以证明"实数集不可为可数个可数集的并"、"度量空间中序列紧致等价于紧致"、"每一无限集包含可数子集"等分析学基础定理。在 ZF + ACω_\omegaω 中，实数集不是 Lebesgue 测度零的集合的可数并，但 Banach--Tarski 悖论并不能被证明。
6.10.2 依赖选择公理（DC）
DC ：设 RRR 是集合 AAA 上的二元关系，若对每个 x∈Ax \in Ax∈A 存在 y∈Ay \in Ay∈A 使得 xRyx R yxRy，则存在序列 (xn)n∈ω(x_n){n \in \omega}(xn)n∈ω 使得对所有 nnn 有 xnRxn+1x_n R x{n+1}xnRxn+1。
DC 严格强于 ACω_\omegaω，但严格弱于完全 AC。DC 足以证明 Baire 纲定理、Borel 确定性的一些结论、以及分析中许多依赖于可数依赖选择的定理。在著名的 Solovay 模型 中，ZF + DC 成立而完全 AC 不成立，且所有实数子集都是 Lebesgue 可测的。
6.10.3 布尔素理想定理（BPI）与 Hahn--Banach
BPI（Boolean Prime Ideal Theorem） ：每一个布尔代数都包含一个素理想。BPI 等价于 Stone 表示定理、命题逻辑的完备性定理的某种形式，以及大量拓扑中的紧致性引理。BPI 严格弱于 AC，但严格强于 DC？实际强弱关系为：AC ⇒ BPI，而 BPI 不能证明 AC，同时 BPI 也不能证明 DC？更准确地说，BPI 与 DC 之间不可比较。然而，Hahn--Banach 扩张定理等价于 BPI（在 ZF 中），因此分析学中这一核心定理实际上仅需要比完全 AC 更弱的假设。
该层次结构可总结为：
AC ⇒ BPI（且 BPI⇏AC）, \mathbf{AC} \;\Rightarrow\; \mathbf{BPI} \quad\text{（且 } \mathbf{BPI} \not\Rightarrow \mathbf{AC} \text{）}, AC⇒BPI（且 BPI⇒AC）,
AC ⇒ DC ⇒ ACω, \mathbf{AC} \;\Rightarrow\; \mathbf{DC} \;\Rightarrow\; \mathbf{AC}_\omega, AC⇒DC⇒ACω,
且 BPI 与 DC 之间无蕴含关系。
6.11 等价命题的全景图
为便于整体把握，下表列出在 ZF 中等价于 AC 的主要数学命题。
| 编号 | 等价命题 | 所属领域 |
|---|---|---|
| 1 | 选择公理 (AC) | 集合论 |
| 2 | 佐恩引理 | 序理论 |
| 3 | 良序定理（Zermelo 定理） | 集合论 |
| 4 | Hausdorff 极大原理 | 序理论 |
| 5 | Tukey 引理 | 组合论 |
| 6 | 任何向量空间都有基 | 线性代数 |
| 7 | 任何非空集合的笛卡尔积非空 | 集合论 |
| 8 | Tychonoff 定理（任意乘积） | 拓扑学 |
| 9 | 任意满射都有右逆 | 范畴论 |
| 10 | 基数三歧性（任意两基数可比） | 基数算术 |
| 11 | 任意无穷基数 κ\kappaκ 满足 κ⋅κ=κ\kappa \cdot \kappa = \kappaκ⋅κ=κ | 基数算术 |
| 12 | 任意域有代数闭包 | 域论 |
| 13 | 任意集合均可赋予群结构（非空） | 代数 |
这些等价性展示了 AC 作为数学基础的核心地位。从代数到拓扑再到分析，它都扮演了不可替代的角色。
6.12 选择公理的独立性及其元数学意义
Gödel 于 1938 年证明了：若 ZF 一致，则 ZF + AC 也一致。他在可构造宇宙 LLL 中验证了 AC 成立，表明选择公理不会带来新的矛盾。1963 年，Paul Cohen 用力迫法革命性地证明了 AC 独立于 ZF ：若 ZF 一致，则 ZF + ¬AC 也一致。因此，在 ZF 系统中，AC 既不能被证明，也不能被否证。
这一结果为数学基础的哲学讨论划定了边界：是否接受 AC，本质上是一个基于实用和审美倾向的抉择。绝大多数数学家接纳 AC，因为它赋予数学宇宙一种简洁而强大的秩序；另一些则拒绝 AC，发展出构造性分析、度量空间中的"选择自由"等进路。
6.13 结语：为无穷设定秩序
选择公理，连同其琳琅满目的等价命题，构成了集合论通向数学实践的最关键桥梁。它赋予我们"任意选择"的绝对权力，从而使得超限构造、极大原理、良序化等操作成为可能。一切基的存在、一切极大理想的扩张、一切紧致性的证明，归根结底，都源自这条看似简单的公理。
然而，这种权力并非没有代价。不可测集、Banach--Tarski 分解等"悖论"提醒我们，选择公理允许存在超出我们几何直觉的对象。但正如历史上每一次数学危机的消解一样，我们最终选择了扩展直觉，而不是束缚公理。正因为有了选择公理，数学的宇宙才如此广阔而有序。
在本章中，我们完成了 ZFC 系统最后一块拼图的深入审视。从下一章开始，我们将探索公理系统的"元问题"------独立性、力迫法、连续统假设的不可判定性，以及公理与模型之间那永恒而迷人的张力。