几何_直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A,B,C几何含义是?

参考: 直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A,B,C有什么几何含义?_设直线 l 的方程为ax+by+c=0 怎么理解-CSDN博客

1. A B的含义:组成一个与直线垂直的向量

我们先来看A和B有什么含义。

在直线上取任意两点 P1:(x1, y1)和 P2:(x2, y2),得:

Ax1 + By1 + C = 0

Ax2 + By2 + C = 0

两式相减得:

A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0

设O为圆点(0,0), 则:

两个向量的内积是0,根据内积的几何意义,这两个向量必然垂直。

因此,系数A,B组成的向量是一个垂直于直线的向量。

所以当V2与V1垂直时,V2在V1上的投影长度为0,V2与V1的内积为0。投影长度具有方向性,即投影与V1同向,投影长度为正,投影与V1反向,投影长度为负。所以我们可以根据内积的值来判断,两个向量的夹角范围:

值为正:> 0度 && < 90度

值为0:= 90度

值为负:> 90度 && < 180度

2. C的含义:决定原点到该直线的距离

时,原点到该直线的距离为-C

好了,回到线性方程 Ax + By = -C,将其写成向量式:

3. 应用:直接写出一个点到一条直线的距离

知道了该几何性质,我们可以计算空间任意一点距离直线的距离。

步骤如下:假设空间任意一点P,做一条平行于已知直线(Ax+By+C=0)并且经过点P的新的直线

A′x + B′y =C′

计算出原点距新直线的距离:

两距离相减得任意一点P距离原直线的距离:

点(x0,y0)到直线(Ax+By+C=0)的距离一般公式:

点到直线距离一般公式推导:

参考:点到直线距离公式的几种推导 - 知乎

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