几何_直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A,B,C几何含义是?

参考: 直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A,B,C有什么几何含义?_设直线 l 的方程为ax+by+c=0 怎么理解-CSDN博客

1. A B的含义:组成一个与直线垂直的向量

我们先来看A和B有什么含义。

在直线上取任意两点 P1:(x1, y1)和 P2:(x2, y2),得:

Ax1 + By1 + C = 0

Ax2 + By2 + C = 0

两式相减得:

A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0

设O为圆点(0,0), 则:

两个向量的内积是0,根据内积的几何意义,这两个向量必然垂直。

因此,系数A,B组成的向量是一个垂直于直线的向量。

所以当V2与V1垂直时,V2在V1上的投影长度为0,V2与V1的内积为0。投影长度具有方向性,即投影与V1同向,投影长度为正,投影与V1反向,投影长度为负。所以我们可以根据内积的值来判断,两个向量的夹角范围:

值为正:> 0度 && < 90度

值为0:= 90度

值为负:> 90度 && < 180度

2. C的含义:决定原点到该直线的距离

时,原点到该直线的距离为-C

好了,回到线性方程 Ax + By = -C,将其写成向量式:

3. 应用:直接写出一个点到一条直线的距离

知道了该几何性质,我们可以计算空间任意一点距离直线的距离。

步骤如下:假设空间任意一点P,做一条平行于已知直线(Ax+By+C=0)并且经过点P的新的直线

A′x + B′y =C′

计算出原点距新直线的距离:

两距离相减得任意一点P距离原直线的距离:

点(x0,y0)到直线(Ax+By+C=0)的距离一般公式:

点到直线距离一般公式推导:

参考:点到直线距离公式的几种推导 - 知乎

相关推荐
循着风2 小时前
二叉树的多种遍历方式
数据结构·算法
.格子衫.7 小时前
022数据结构之树状数组——算法备赛
数据结构·算法·1024程序员节
黑科技Python7 小时前
生活中的“小智慧”——认识算法
学习·算法·生活
sali-tec8 小时前
C# 基于halcon的视觉工作流-章52-生成标定板
开发语言·图像处理·人工智能·算法·计算机视觉
IT古董8 小时前
【第五章:计算机视觉-项目实战之推荐/广告系统】2.粗排算法-(4)粗排算法模型多目标算法(Multi Task Learning)及目标融合
人工智能·算法·1024程序员节
熬了夜的程序员8 小时前
【LeetCode】89. 格雷编码
算法·leetcode·链表·职场和发展·矩阵
對玛祷至昏8 小时前
数据结构理论知识
数据结构·算法·排序算法
oliveira-time9 小时前
二分搜索(Binary Search)
算法
王哈哈^_^9 小时前
【数据集】【YOLO】【目标检测】口罩数据集,口罩佩戴识别数据集 1971 张,YOLO佩戴口罩检测算法实战训练教程。
人工智能·算法·yolo·目标检测·计算机视觉·ai·视觉检测
dragoooon3410 小时前
[优选算法专题四.前缀和——NO.31~32 连续数组、矩阵区域和]
数据结构·算法·leetcode·1024程序员节