常见の算法

前言本文主要使用Java

什么，是快乐星球@#￥@%......什么是算法？

算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可视为算法，但我们主要介绍常见算法

一、引入------二分查找

二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回 null 。

一个简单的例子，你想一个1-100之间的数，我去猜，我猜50，你说大了或者小了，如果大了我再猜25............不管你心里想的是哪个数字，我在7次之内都能猜到，而一个数一个数的枚举我可能要猜100次

一般而言，对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要log 2 n步，而简单查找最多需要n步。

由此我们先引入运行时间，每次介绍算法时，我都将讨论其运行时间。一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。

我们在引入大O表示法，这是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。

假设列表包含n个元素。简单查找需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，

这个运行时间为O(n)。单位秒呢？没有------大O表示法指的并非以秒为单位的速度。大O表示法

让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

再来看一个例子。为检查长度为n的列表，二分查找需要执行log n次操作。使用大O表示法，

这个运行时间怎么表示呢？O(log n)。

所谓大O表示法，就是一个O加上（），里面放操作数

大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间，比如猜1-100的数，如果你想的数字是1，我用简单查找（枚举）第一次就把1才出来了，运行时间是O(n)而不是O(1)

一些常见的大 O 运行时间

 O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。

 O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。

 O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的快速排序------一种速度较快的排序算法。

 O(n 2 )，这样的算法包括第2章将介绍的选择排序------一种速度较慢的排序算法。

 O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案------一种非常慢的算法。

小结

 二分查找的速度比简单查找快得多。

 O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。

 算法运行时间并不以秒为单位。

 算法运行时间是从其增速的角度度量的。

 算法运行时间用大O表示法表示

数组和链表比较

数组再读取数据时非常迅速，指哪打哪，而链表就要一个一个的访问

但是插入删除某元素，链表快得多

分而治之（divide and conquer，D&C）

使用D&C解决问题的过程包括两个步骤。

(1) 找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。

(2) 不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。

举个例子，把1680 m × 640 m的土地分割成若干正方形，要求最大的正方形

首先，找出基线条件。最容易处理的情况是，一条边的长度是另一条边的整数倍。这样直接就能看出要划分成几个正方形

然后需要找出递归条件，这正是D&C的用武之地。根据D&C的定义，每次递归调用都必须

缩小问题的规模。如何缩小前述问题的规模呢？我们首先找出这块地可容纳的最大方块。

你可以从这块地中划出两个640 m×640 m的方块，同时余下一小块地。恍然大悟：何

不对余下的那一小块地使用相同的算法呢

故，这款土地，适用的最大方块为80*80

以上就是算法简单引入，下面就开始举几个具体例子了

1.打印原码

package class01;

public class Code01_PrintBinary {

	public static void print(int num) {
		for (int i = 31; i >= 0; i--) {
			System.out.print((num & (1 << i)) == 0 ? "0" : "1");
		} //算法分析n&x，x第i位是1，其余是0，结果：n的第i位为一就保留为0就置0
          //然后从高位到低位依次打印每一位

		System.out.println();
	}

	public static void main(String[] args) {
		//整数都是32位的
		int num = 4;

		print(num);
		00000000...0100
		
		int test = 1123123;//演示左移效果
		print(test);
		print(test<<1);
		print(test<<2);
		print(test<<8);
		
		
		int a = Integer.MAX_VALUE; //a=整数里的最大值 2^31-1,非负数0-2^31-1
		System.out.println(a);

		print(-1);
		int a = Integer.MIN_VALUE; // 负数-1- -2^31
		print(a);

		int b = 123823138;
		int c = ~b;
		print(b);
		print(c);

		print(-5);

		System.out.println(Integer.MIN_VALUE);
		System.out.println(Integer.MAX_VALUE);

		int a = 12319283;
		int b = 3819283;
		print(a);
		print(b);
		System.out.println("============="); //位运算等，演示
		print(a | b);
		print(a & b);
		print(a ^ b);

		int a = Integer.MIN_VALUE;
		print(a);
		print(a >> 1); //a右移前面的用0来补齐
		print(a >>> 1); //a右移前面的用符号位来补齐
		
		int c = Integer.MIN_VALUE;
		int d = -c ; //最小值取反还是最小值.此外求一个数的相反数可以~x+1也可-x
		
		print(c);
		print(d);

	}

}

题目：给定一个参数N，返回1！+2！+3！+++N!

package class01;

public class Code02_SumOfFactorial {

//用两种算法计算n！的前n项和
//定义一个第i项阶乘函数
	public static long factorial(int N) {
		long ans = 1;
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			ans *= i;
		}
		return ans;
    }
//第一种 1！+2！++++
	public static long f1(int N) {
		long ans = 0;
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			ans += factorial(i);
		}
		return ans;
	}
//第二种 有了5！，×6得到6！，然后在累加

	public static long f2(int N) {
		long ans = 0;
		long cur = 1;
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			cur = cur * i;
			ans += cur;
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int N = 10;
		System.out.println(f1(N));
		System.out.println(f2(N));
	}

}

2.排序算法（选择，冒泡，插入）&生成随机数

package class01;

public class Code03_Sort {

	public static void swap(int[] arr, int i, int j) {  //交换函数
		int tmp = arr[j];
		arr[j] = arr[i];
		arr[i] = tmp;
	}
//选择排序

	public static void selectSort(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {  //先判断合法性，1/没有数就不排
			return;
		}
		int N = arr.length;
//思路，比较n次，每一次挑选出一个最小的值，外层for n次，内层"整"
//每一次怎么整，假设第0个数最小，0-1，1-2,1-3,1-4...依次比较，一个变一个不变，
//令j，j范围i+1到N-1
//比较，0-1比较i和j比较，从小到大
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			int minValueIndex = i;
			for (int j = i + 1; j < N; j++) {
				minValueIndex = arr[j] < arr[minValueIndex] ? j : minValueIndex;
			}
			swap(arr, i, minValueIndex);
		}
	}
//冒泡排序，每两个相邻元素比较，大的往后放

	public static void bubbleSort(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		int N = arr.length;
		for (int end = N - 1; end >= 0; end--) {
			for (int second = 1; second <= end; second++) {
				if (arr[second - 1] > arr[second]) {
					swap(arr, second - 1, second);
				}    //外层for怎么来的，冒第一趟0-n-1，最后一个数定住了，下一趟前n-1个数，
			}    //0-n-2，....0-1,令end=n-1，end--外层循环，每一次循环整一下
		}    //每一次怎么整，0-1,1-2，。。。两两比较，两个数都在变，设一个未知量（右边的数）
	}    令为second，取值1 - n-1那左边的数就是second-1，
//冒泡排序法二

	public static void insertSort1(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		int N = arr.length;
		for (int end = 1; end < N; end++) {
			int newNumIndex = end;
			while (newNumIndex - 1 >= 0 && arr[newNumIndex - 1] > arr[newNumIndex]) {
				swap(arr, newNumIndex - 1, newNumIndex);
				newNumIndex--;
			}
		}
	}

	public static void insertSort2(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		int N = arr.length;
		for (int end = 1; end < N; end++) {
			for (int pre = end - 1; pre >= 0 && arr[pre] > arr[pre + 1]; pre--) {
				swap(arr, pre, pre + 1);
			}
		}
	}

	public static void printArray(int[] arr) {
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}
		System.out.println();
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 7, 1, 3, 5, 1, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 5, 6 };
		printArray(arr);
		insertSort2(arr);
		printArray(arr);
	}

}

选择排序

package class01;

import java.util.Arrays;

public class Code04_SelectionSort {

	public static void selectionSort(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { 
			int minIndex = i;
			for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
				if(arr[j] < arr[minIndex]) {
					minIndex = j;
				}
			}
			swap(arr, i, minIndex);
		}
	}

	public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
		int tmp = arr[i];
		arr[i] = arr[j];
		arr[j] = tmp;
	}

	// for test
	public static void comparator(int[] arr) {
		Arrays.sort(arr);
	}

	// for test
	public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
		// Math.random() [0,1)
		// Math.random() * N [0,N)
		// (int)(Math.random() * N) [0, N-1]
		int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			// [-? , +?]
			arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
		}
		return arr;
	}

	// for test
	public static int[] copyArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return null;
		}
		int[] res = new int[arr.length];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			res[i] = arr[i];
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
		if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
			return false;
		}
		if (arr1 == null && arr2 == null) {
			return true;
		}
		if (arr1.length != arr2.length) {
			return false;
		}
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] != arr2[i]) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}

	// for test
	public static void printArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return;
		}
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}
		System.out.println();
	}

	// for test
	public static void main(String[] args) {
		int testTime = 500000;
		int maxSize = 100;
		int maxValue = 100;
		boolean succeed = true;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
			int[] arr2 = copyArray(arr1);
			selectionSort(arr1);
			comparator(arr2);
			if (!isEqual(arr1, arr2)) {
				succeed = false;
				printArray(arr1);
				printArray(arr2);
				break;
			}
		}
		System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

		int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
		printArray(arr);
		selectionSort(arr);
		printArray(arr);
	}

}

冒泡排序

package class01;

import java.util.Arrays;

public class Code05_BubbleSort {

	public static void bubbleSort(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		for (int end = arr.length - 1; end > 0; end--) {
			for (int i = 0; i < end; i++) {
				if (arr[i] > arr[i + 1]) {
					swap(arr, i, i + 1);
				}
			}
		}
	}

	// 交换arr的i和j位置上的值
	public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
		int tmp = arr[i];
		arr[i] = arr[j];
		arr[j] = tmp;
	}

	// for test
	public static void comparator(int[] arr) {
		Arrays.sort(arr);
	}

	// for test
	public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
		int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
		}
		return arr;
	}

	// for test
	public static int[] copyArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return null;
		}
		int[] res = new int[arr.length];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			res[i] = arr[i];
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
		if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
			return false;
		}
		if (arr1 == null && arr2 == null) {
			return true;
		}
		if (arr1.length != arr2.length) {
			return false;
		}
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] != arr2[i]) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}

	// for test
	public static void printArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return;
		}
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}
		System.out.println();
	}

	// for test
	public static void main(String[] args) {
		int testTime = 500000;
		int maxSize = 100;
		int maxValue = 100;
		boolean succeed = true;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
			int[] arr2 = copyArray(arr1);
			bubbleSort(arr1);
			comparator(arr2);
			if (!isEqual(arr1, arr2)) {
				succeed = false;
				break;
			}
		}
		System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

		int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
		printArray(arr);
		bubbleSort(arr);
		printArray(arr);
	}

}

插入排序

package class01;

import java.util.Arrays;

public class Code06_InsertionSort {

	public static void insertionSort(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) { // 0 ~ i 做到有序
			for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
				swap(arr, j, j + 1);
			}
		}
	}

	// i和j,数交换
	public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
		int tmp = arr[i];
		arr[i] = arr[j];
		arr[j] = tmp;
	}

	// for test
	public static void comparator(int[] arr) {
		Arrays.sort(arr);
	}

	// for test
	public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
		// Math.random() ->  [0,1) 所有的小数，等概率返回一个
		// Math.random() * N -> [0,N) 所有小数，等概率返回一个
		// (int)(Math.random() * N) -> [0,N-1] 所有的整数，等概率返回一个
		int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())]; // 长度随机 
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) 
					- (int) (maxValue * Math.random());
		}
		return arr;
	}

	// for test
	public static int[] copyArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return null;
		}
		int[] res = new int[arr.length];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			res[i] = arr[i];
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
		if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
			return false;
		}
		if (arr1 == null && arr2 == null) {
			return true;
		}
		if (arr1.length != arr2.length) {
			return false;
		}
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] != arr2[i]) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}

	// for test
	public static void printArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return;
		}
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}
		System.out.println();
	}

	// for test
	public static void main(String[] args) {
		int testTime = 500000;
		int maxSize = 100; // 随机数组的长度0～100
		int maxValue = 100;// 值：-100～100
		boolean succeed = true;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
			int[] arr2 = copyArray(arr1);
			insertionSort(arr1);
			comparator(arr2);
			if (!isEqual(arr1, arr2)) {
				// 打印arr1
				// 打印arr2
				succeed = false;
				break;
			}
		}
		System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

		int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
		printArray(arr);
		insertionSort(arr);
		printArray(arr);
	}

}