高斯消去法：对于任意的矩阵，总是能够利用倍加和行变换的方法变化成为阶梯形矩阵（每一行第一个非零元叫做主元，他所在的列就叫做主列------每一行的主列都在他上方任意一行主列的右边）和行简化阶梯矩阵（主元都是1，每一个列除了主元，其他的元素都是0）。
系数矩阵和等式右边的结果组成的矩阵叫做增广矩阵，列出该矩阵之后，表示出来主元，就得到了方程组的解，约定选择下标小的作为主元）
一个定理：对于形如ax=b，列出它的增广矩阵以后，化简之后称为阶梯阵，如果他的最后一列不是主元，则该方程组有解，如果他的最后一列是组员，则该方程组无解，
对于一个矩阵a，我们把它非0行的个数叫做矩阵a的秩 ，对于形如ax=b，如果a的秩和经过行变换后得到的增广矩阵的秩相等，则我们称该线性方程组有解。
齐次方程是等式的右边全为零，形如ax=0，X=0，叫做方程组的平凡解，x不等于零的解叫做方程组的非凡解。通过对矩阵的推导，我们可以得出一个方程组有非凡解的充分必要条件是矩阵的秩小于方程未知数的个数，同样，我们可以得到一个推论，如果方程的个数小于未知数的个数，则方程一定有非零解。
左乘初等矩阵是行变换；即行变换都可以 通过左乘实现
右乘初等矩阵是列变换；即列变换都可以通过右乘实现
矩阵的乘法：有结合律，没有交换律例如AB相乘，A的列数和B的行数相同，但是A的行数不一定和B的列数相同；如果AB=BA，A和B都是方阵，我们称AB是可逆的；矩阵乘法没有消去律例如ab=ac，我们无法推出b=c;因为矩阵乘法的实质就是向量的内积，a的每一行和b的每一列都垂直，那么就得0，ac也可以垂直，而这个时候b，c没有必然的联系；
矩阵的逆：方阵才有逆AB=BA=单位阵，我们称A可逆；
A可逆的时候和下列条件等价：
（1）Ax=b有唯一的解；
（2）AX=0只有0解；
（3）A的阶梯型行列式有n个主元，也就是A的秩是n；
（4）A的行简化阶梯形矩阵是单位阵；
（5）A矩阵是有限个初等矩阵的乘积；