通过对丘奇数的推导，我们已经初步熟悉了lambda演算。
历史上的组合子逻辑受到lambda演算的启发，并且与lambda演算有千丝万缕的联系，但它实际上发展成了一个与lambda演算独立且竞争的理论体系。
从lambda演算出发去定义组合子，我们可以把组合子理解成，我们把一些特定的lambda函数起了名字。
比如，接受一个参数，并且把它直接返回的函数，我们起名为Identifier，简称为I组合子:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> I = λ x . x I = \lambda x.x </math>I=λx.x
我们不难发现，此组合子也就是丘奇数0。当然，lambda函数无穷无尽，我们不可能给每一个函数都起一个名字把它变成组合子。组合子的意义也绝不仅仅是给lambda函数起名。
使得组合子逻辑变得有意义的是，一些数学家发现，仅通过一组特定的组合子，我们就可以无需定义新的lambda函数，达成图灵完备。
ISK系统
我们首先来介绍第一组组合子---ISK组合子系统，在前文介绍的I组合子的基础上，我们再定义两个组合子，首先是K组合子：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> K = λ x . λ y . x K = \lambda x.\lambda y.x </math>K=λx.λy.x
从直觉上理解，K组合子 的右边部分 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ y . x \lambda y.x </math>λy.x是一个常函数：即，不论传入什么参数y，都返回一个固定值x，而x则由前一步传入，因此，K组合子可被理解为一个常函数生成器。
这里为了方便后文讨论，我们给 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( K x ) (K x) </math>(Kx)起名为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> C x C_x </math>Cx，即常函数。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> S = λ x . λ y . λ z . ( x z ( y z ) ) S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(x\ z\ (y\ z)) </math>S=λx.λy.λz.(x z (y z))
S组合子是非常巧妙的设计，当我们给x和y分别传入I函数或者C函数，就可以得到不同的结构。
数学上，能够证明ISK系统是图灵完备的，即，无需lambda符号，仅仅通过I、S、K函数的调用就可以表达一切lambda演算。
我们考虑lambda演算，任何一个lambda表达式，仅可能是以下两种形式之一：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M N λ x . M x M\ N\\ \lambda x.M_x </math>M Nλx.Mx
其中，M和N均表示lambda表达式。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> M x M_x </math>Mx表示可能含有自由变量的lambda表达式。
我们考虑仅用SK是否能够表达这两种形式。这种转换我们定义为T。针对上述两种形式的第二种，即 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> M N M\ N </math>M N，显然有：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T [ M N ] = T [ M ] T [ N ] T[M\ N] = T[M]\ T[N]\\ </math>T[M N]=T[M] T[N]
接下来，我们需要分情况讨论 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ x . M x \lambda x.M_x </math>λx.Mx。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> M x M_x </math>Mx有四种可能性：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T [ λ x . M x ] = { T [ λ x . M x ] = T x [ T [ M x ] ] T [ λ x . x ] = T x [ x ] T [ λ x . λ y . M ] = T x [ T y [ M ] ] T [ λ x . M N ] = T x [ M N ] T[\lambda x.M_x] = \left\{ \begin{array}{lll} T[\lambda x.M_{\cancel{x}}] = T_x[T[M_{\cancel{x}}]] \\ T[\lambda x.x] = T_x[x] \\ T[\lambda x.\lambda y.M] = T_x[T_y[M]] \\ T[\lambda x.M\ N] = T_x[M N] \\ \end{array} \right. </math>T[λx.Mx]=⎩ ⎨ ⎧T[λx.Mx ]=Tx[T[Mx ]]T[λx.x]=Tx[x]T[λx.λy.M]=Tx[Ty[M]]T[λx.M N]=Tx[M N]
其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T x T_x </math>Tx定义如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T x [ M x ] : = K M x T x [ x ] : = I T x [ M N ] : = S ( T x [ M ] ) ( T x [ N ] ) \begin{array}{lll} T_x[M_{\cancel{x}}]& := K M_{\cancel{x}}\\ T_x[x]& := I\\ T_x[M N]& := S\ (T_x[M])\ (T_x[N])\\ \end{array} </math>Tx[Mx ]Tx[x]Tx[M N]:= K Mx := I:=S (Tx[M]) (Tx[N])
上面一组关系也揭示了ISK系统的设计思路。
实际上，若单以数学角度，I组合子也不是必需。我们只需要给S传入两个K，即可得到I。推导过程如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> S K K = λ x . S K K x = λ x . K x ( K x ) = λ x . C x C x = λ x . x = I \begin{array}{l} S\ K\ K \\ = \lambda x.S\ K\ K\ x \\ = \lambda x.K\ x\ (K\ x)\\ = \lambda x.C_x\ C_x\\ = \lambda x.x \\ = I \end{array} </math>S K K=λx.S K K x=λx.K x (K x)=λx.Cx Cx=λx.x=I
所以，ISK系统在有些资料中也被称为SK系统。
BCKW系统
ISK系统是否是唯一的组合子系统呢？当然不是。
接下来我们介绍另一组组合子系统：BCKW系统。
BCKW 系统是 Haskell Curry 的成果。
我们保留常量生成组合子K，在此基础上，我们引入B、C和W三种组合子。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> B = λ x . λ y . λ z . ( x ( y z ) ) B = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(x\ (y\ z)) </math>B=λx.λy.λz.(x (y z))
B组合子可以理解为函数的复合运算，与我们在初等数学中的函数复合定义一致。
在一些数学分支的写法中，函数复合会以二元运算的方式书写：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> h = f ⋅ g h ( x ) = f ( g ( x ) ) h = f · g \\ h(x) = f(g(x)) </math>h=f⋅gh(x)=f(g(x))
B组合子可以视为函数复合的lambda版本。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> C = λ x . λ y . λ z . ( x z y ) ) C = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(x\ z\ y)) </math>C=λx.λy.λz.(x z y))
C组合子交换二元函数的两个参数。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> W = λ x . ( x x ) W = \lambda x.(x\ x) </math>W=λx.(x x)
W组合子把函数传递给自身。
W组合子看上去是半个不动点，我们可以用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> W W W\ W </math>W W 来构造一个不动点。
SK系统的与lambda演算的等价性已经可以证明，那么我们只需要构造出K组合子，即可实现图灵完备。
S组合子的构造方法如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> S = B ( B W ) ( B B C ) S =B\ (B\ W)\ (B\ B\ C) </math>S=B (B W) (B B C)
因此，BCKW系统也实现了图灵完备。
单点组合子系统X
定义 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> X X </math>X为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> X = λ x . ( ( x S ) K ) X = λx.((x\ S)\ K) </math>X=λx.((x S) K)
不难验证：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> K = X ( X ( X X ) ) S = X K \begin{array}{l} K = X\ (X\ (X\ X))\\ S = X\ K \end{array} </math>K=X (X (X X))S=X K
因此，单点X组合子系统与SK系统等价，所以它也是图灵完备的。
结语
组合子系统最初从lambda体系定义出来，后期实际上与lambda演算形成了竞争关系。
组合子系统揭示了一些高阶函数更本质的特征，它提供了一种全新的视角去理解lambda。
在带类型的lambda演算提出后，Haskel Curry的成果又将组合子逻辑纳入了数学界主流的希尔伯特公理体系。我们留待后文介绍。