函数式编程的数学基础（六）组合子逻辑

通过对丘奇数的推导，我们已经初步熟悉了lambda演算。

历史上的组合子逻辑受到lambda演算的启发，并且与lambda演算有千丝万缕的联系，但它实际上发展成了一个与lambda演算独立且竞争的理论体系。

从lambda演算出发去定义组合子，我们可以把组合子理解成，我们把一些特定的lambda函数起了名字。

比如，接受一个参数，并且把它直接返回的函数，我们起名为Identifier，简称为I组合子:
$$I\; =\; \lambda \; x\; .\; x\; I\; =\; \backslash lambda\; x.x$$I=λx.x

我们不难发现，此组合子也就是丘奇数0。当然，lambda函数无穷无尽，我们不可能给每一个函数都起一个名字把它变成组合子。组合子的意义也绝不仅仅是给lambda函数起名。

使得组合子逻辑变得有意义的是，一些数学家发现，仅通过一组特定的组合子，我们就可以无需定义新的lambda函数，达成图灵完备。

ISK系统

我们首先来介绍第一组组合子---ISK组合子系统，在前文介绍的I组合子的基础上，我们再定义两个组合子，首先是K组合子：
$$K\; =\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; x\; K\; =\; \backslash lambda\; x.\backslash lambda\; y.x$$K=λx.λy.x

从直觉上理解，K组合子 的右边部分 $\lambda \; y\; .\; x\; \backslash lambda\; y.x$λy.x是一个常函数：即，不论传入什么参数y，都返回一个固定值x，而x则由前一步传入，因此，K组合子可被理解为一个常函数生成器。

这里为了方便后文讨论，我们给 $(\; K\; x\; )\; (K\; x)$(Kx)起名为 $C\; x\; C\_x$Cx，即常函数。
$$S\; =\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; \lambda \; z\; .\; (\; x\; z\; (\; y\; z\; )\; )\; S\; =\; \backslash lambda\; x.\backslash lambda\; y.\backslash lambda\; z.(x\backslash \; z\backslash \; (y\backslash \; z))$$S=λx.λy.λz.(x z (y z))

S组合子是非常巧妙的设计，当我们给x和y分别传入I函数或者C函数，就可以得到不同的结构。

数学上，能够证明ISK系统是图灵完备的，即，无需lambda符号，仅仅通过I、S、K函数的调用就可以表达一切lambda演算。

我们考虑lambda演算，任何一个lambda表达式，仅可能是以下两种形式之一：
$$M\; N\; \lambda \; x\; .\; M\; x\; M\backslash \; N\backslash \backslash \; \backslash lambda\; x.M\_x$$M Nλx.Mx

其中，M和N均表示lambda表达式。 $M\; x\; M\_x$Mx表示可能含有自由变量的lambda表达式。

我们考虑仅用SK是否能够表达这两种形式。这种转换我们定义为T。针对上述两种形式的第二种，即 $M\; N\; M\backslash \; N$M N，显然有：
$$T$$ M N = T M T N TM\\ N = TM\ TN\\ TM N=TM TN

接下来，我们需要分情况讨论 $\lambda \; x\; .\; M\; x\; \backslash lambda\; x.M\_x$λx.Mx。 $M\; x\; M\_x$Mx有四种可能性：
$$T$$ λ x . M x = { T λ x . M x = T x T \[ M x ] T λ x . x = T x x T λ x . λ y . M = T x T y \[ M ] T λ x . M N = T x M N T\\lambda x.M_x = \left\{ \begin{array}{lll} T\\lambda x.M_{\\cancel{x}} = T_xT\[M_{\\cancel{x}}] \\ T\\lambda x.x = T_xx \\ T\\lambda x.\\lambda y.M = T_xT_y\[M] \\ T\\lambda x.M\\ N = T_xM N \\ \end{array} \right. Tλx.Mx=⎩ ⎨ ⎧Tλx.Mx =TxT\[Mx ]Tλx.x=TxxTλx.λy.M=TxTy\[M]Tλx.M N=TxM N

其中 $T\; x\; T\_x$Tx定义如下：
$$T\; x$$ M x : = K M x T x x : = I T x M N : = S ( T x M ) ( T x N ) \begin{array}{lll} T_xM_{\\cancel{x}}& := K M_{\cancel{x}}\\ T_xx& := I\\ T_xM N& := S\ (T_xM)\ (T_xN)\\ \end{array} TxMx TxxTxM N:= K Mx := I:=S (TxM) (TxN)

上面一组关系也揭示了ISK系统的设计思路。

实际上，若单以数学角度，I组合子也不是必需。我们只需要给S传入两个K，即可得到I。推导过程如下：
$$S\; K\; K\; =\; \lambda \; x\; .\; S\; K\; K\; x\; =\; \lambda \; x\; .\; K\; x\; (\; K\; x\; )\; =\; \lambda \; x\; .\; C\; x\; C\; x\; =\; \lambda \; x\; .\; x\; =\; I\; \backslash begin\{array\}\{l\}\; S\backslash \; K\backslash \; K\; \backslash \backslash \; =\; \backslash lambda\; x.S\backslash \; K\backslash \; K\backslash \; x\; \backslash \backslash \; =\; \backslash lambda\; x.K\backslash \; x\backslash \; (K\backslash \; x)\backslash \backslash \; =\; \backslash lambda\; x.C\_x\backslash \; C\_x\backslash \backslash \; =\; \backslash lambda\; x.x\; \backslash \backslash \; =\; I\; \backslash end\{array\}$$S K K=λx.S K K x=λx.K x (K x)=λx.Cx Cx=λx.x=I

所以，ISK系统在有些资料中也被称为SK系统。

BCKW系统

ISK系统是否是唯一的组合子系统呢？当然不是。

接下来我们介绍另一组组合子系统：BCKW系统。

BCKW 系统是 Haskell Curry 的成果。

我们保留常量生成组合子K，在此基础上，我们引入B、C和W三种组合子。
$$B\; =\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; \lambda \; z\; .\; (\; x\; (\; y\; z\; )\; )\; B\; =\; \backslash lambda\; x.\backslash lambda\; y.\backslash lambda\; z.(x\backslash \; (y\backslash \; z))$$B=λx.λy.λz.(x (y z))

B组合子可以理解为函数的复合运算，与我们在初等数学中的函数复合定义一致。

在一些数学分支的写法中，函数复合会以二元运算的方式书写：
$$h\; =\; f\; \cdot \; g\; h\; (\; x\; )\; =\; f\; (\; g\; (\; x\; )\; )\; h\; =\; f\; ·\; g\; \backslash \backslash \; h(x)\; =\; f(g(x))$$h=f⋅gh(x)=f(g(x))

B组合子可以视为函数复合的lambda版本。
$$C\; =\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; \lambda \; z\; .\; (\; x\; z\; y\; )\; )\; C\; =\; \backslash lambda\; x.\backslash lambda\; y.\backslash lambda\; z.(x\backslash \; z\backslash \; y))$$C=λx.λy.λz.(x z y))

C组合子交换二元函数的两个参数。
$$W\; =\; \lambda \; x\; .\; (\; x\; x\; )\; W\; =\; \backslash lambda\; x.(x\backslash \; x)$$W=λx.(x x)

W组合子把函数传递给自身。

W组合子看上去是半个不动点，我们可以用 $W\; W\; W\backslash \; W$W W 来构造一个不动点。

SK系统的与lambda演算的等价性已经可以证明，那么我们只需要构造出K组合子，即可实现图灵完备。

S组合子的构造方法如下：
$$S\; =\; B\; (\; B\; W\; )\; (\; B\; B\; C\; )\; S\; =B\backslash \; (B\backslash \; W)\backslash \; (B\backslash \; B\backslash \; C)$$S=B (B W) (B B C)

因此，BCKW系统也实现了图灵完备。

单点组合子系统X

定义 $X\; X$X为：
$$X\; =\; \lambda \; x\; .\; (\; (\; x\; S\; )\; K\; )\; X\; =\; \lambda x.((x\backslash \; S)\backslash \; K)$$X=λx.((x S) K)

不难验证：
$$K\; =\; X\; (\; X\; (\; X\; X\; )\; )\; S\; =\; X\; K\; \backslash begin\{array\}\{l\}\; K\; =\; X\backslash \; (X\backslash \; (X\backslash \; X))\backslash \backslash \; S\; =\; X\backslash \; K\; \backslash end\{array\}$$K=X (X (X X))S=X K

因此，单点X组合子系统与SK系统等价，所以它也是图灵完备的。

结语

组合子系统最初从lambda体系定义出来，后期实际上与lambda演算形成了竞争关系。

组合子系统揭示了一些高阶函数更本质的特征，它提供了一种全新的视角去理解lambda。

在带类型的lambda演算提出后，Haskel Curry的成果又将组合子逻辑纳入了数学界主流的希尔伯特公理体系。我们留待后文介绍。