极值图论基础

一，普通子图禁图

普通子图禁图指的是，给出一些具体的图，描述某个图不以这些具体的图作为普通子图。

给出一个图集F，求以F为普通子图禁图的图的最大边数，以及取到最大值的图是什么？

即，一个图最多能有多少条边，使得不以F中的任意图为普通子图。

PS：我们只关心简单图，否则如果2个点之间连无穷条多重边，那就没意义了。

PS：取到最大值的图称为极图，如果有唯一的极图，我们就说满足条件的极图是什么，不需要赘述边数了。

以完全图K(r+1)为禁图的极图是平衡完全r部图，且没有其他极图。

n个点的平衡完全r部图也叫图兰图Tr,n，即把n个点平均分成r份得到的完全r部图。

所以也可以说以完全图K(r+1)为禁图的n个点的图，唯一的极图是图兰图Tr,n。

比如，以完全图K4为禁图的8个点的图，唯一的极图是T3,8：

实际上，图兰图Tr,n的边数就是，其中p=n/r

比如T3,8，n=8,r=3,p=2,

定理：对于任意s>=t>=2，存在常数C，对于任意n，以完全二部图Ks,t为禁图的图的边数不超过

猜想：对于任意s>=t>=2，以完全二部图Ks,t为禁图的图的最大边数为

其中，θ是渐进相等的符号。

存在常数C，对于任意t>=2，任意s>C^t，以完全二部图Ks,t为禁图的图的最大边数为

已经很接近上面的猜想了，但还没完全解决。

定理：对于任意k>=2，以2k个点构成的偶圈为禁图的图的边数不超过

猜想：对于任意k>=2，以2k个点构成的偶圈为禁图的图的边数为

对于任意的s>1,t>1，一定存在一个整数N，对于任意N个点的图，要么存在s个点两两相连，要么存在t个点两两不相连。

我们把满足条件的最小N记做R(s,t)

Ramsey问题就是R(s,t)的大小和性质。