A. 债权（debt）
文件IO：debt 1000ms 256MiB
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题目描述
天色已晚，小 Y 决定在一处村庄过夜。这座村庄中有 n n n 个人，他们之间存在 m m m 个欠债关系。例如 A A A 欠 B B B 五元钱，而每还款 1 1 1 元钱就会给村子带来 0.1 0.1 0.1 元的成本。村长很苦恼如何能够通过债权转让的方式让成本最小化，于是求助于小 Y。现在小 Y 已经帮助村长完成了债权的转让，只需要你计算出最小化后的成本即可。
债权转让 ：若 A A A 欠 B B B 五元钱， B B B 欠 C C C 五元钱，可以通过债权转让变为 A A A 欠 C C C 五元钱。
输入格式
输入文件的第一行包含两个正整数 n , m n,m n,m，以空格隔开，表示一共有 n n n 个人和 m m m 个欠债关系。
接下来的 m m m 行每行包含三个正整数 x , y , z x,y,z x,y,z，以空格隔开，表示 x x x 欠 y y y 的钱数为 z z z。
输出格式
输出一个保留一位的小数，表示最小化后的成本。
样例 1
样例输入 1
text
5 3
1 2 5
2 3 3
4 5 4样例输出 1
text
0.9样例说明 1
1 1 1 欠 2 2 2 五元钱、 2 2 2 欠 3 3 3 三元钱可以转变为 1 1 1 欠 2 2 2 两元钱、 1 1 1 欠 3 3 3 三元钱，然后可以得到一共需要还款 9 9 9 元钱，成本为 0.9 0.9 0.9 元钱。
样例 2
样例输入 2
text
2 2
1 2 5
2 1 5样例输出 2
text
0.0样例说明 2
1 1 1 和 2 2 2 债务相抵后互不相欠，成本为 0.0 0.0 0.0 元。
数据范围
- 子任务 1 1 1（ 30 30 30 分）： n ≤ 10 n\le 10 n≤10， m ≤ 20 m\le 20 m≤20。
- 子任务 2 2 2（ 30 30 30 分）： n ≤ 100 n\le 100 n≤100， m ≤ 10000 m\le 10000 m≤10000。
- 子任务 3 3 3（ 40 40 40 分）：无特殊限制。
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 100000 1\le n\le 100000 1≤n≤100000， 1 ≤ m ≤ 200000 1\le m\le 200000 1≤m≤200000， 1 ≤ x , y ≤ n 1\le x,y\le n 1≤x,y≤n， 1 ≤ z ≤ 10 9 1\le z\le 10^9 1≤z≤109。
题解
考虑图论建模，对于A欠B x元钱，构建一条(A,B,x)的边
题目允许的"债权转让"操作，可以理解为对于A->B->C "抄近路"变成A->C
考虑边权的变化，设t=min(gab,gbc)，则有gab-=t，gbc-=t，gac+=t(前提a!=c)
有一个关键观察：不管如何转移，每个点的"净欠款"是不变的！！！（例如点A：A->B减少t，A->C增加t，所以不变）
di=outi-ini，若di>0说明它净欠别人di元，若di<0说明别人欠它（它净被欠）di元
因为有人欠钱，就一定有相应的人被欠钱，所以 ∑ d i = 0 \sum{di}=0 ∑di=0
可以理解为村里有一个"银行"，欠钱的人交di元给银行，被欠钱的人从银行得到di元
银行只是中转，最后的总还款额就是所有净欠钱人的欠款总和： ∑ d i > 0 d i \sum_{di>0}di ∑di>0di
又因为正负净额相等，所以 ∑ d i > 0 d i = 1 / 2 ∗ ∑ ∣ d i ∣ \sum_{di>0}di = 1/2 * \sum{|di|} ∑di>0di=1/2∗∑∣di∣（因为每个欠钱会被算2次，它的起点、终点各算一次）
这就是最小还款总额
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+7;
int n,m;
ll in[N],out[N];
void solve()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z; cin>>x>>y>>z;
in[y]+=z,out[x]+=z;
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans+=llabs(out[i]-in[i]);
}
ans/=2;
cout<<ans/10<<'.'<<ans%10;
}
signed main()
{
freopen("debt.in","r",stdin);
freopen("debt.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
solve();
return 0;
}