数据结构——6.3 图的遍历

6.3 图的遍历

一、概念

图的广度优先遍历
2. 树的广度优先遍历（层序遍历）：不存在"回路"，搜索相邻的结点时，不可能搜到已经访问过的结点：
  1. 若树非空，则根节点入队
  2. 若队列非空，队头元素出队并访问，同时将该元素的孩子依次入队
  3. 重复②直到队列为空
3. 图的广度优先遍历(Breadth-First-Search,BFS)：搜索相邻的顶点时，有可能搜到已经访问过的顶点
  1. 找到与一个顶点相邻的所有顶点
  2. 标记哪些顶点被访问过
  3. 需要一个辅助队列
4. 上述图的广度优先遍历的缺陷：只能遍历连通图，非连通图无法遍历
5. 改进的BFS算法：
  1. 遍历visited数组，如果该顶点未被访问，则调用BFS
  2. BFS执行完成，回到①，直到所有顶点都被访问过
  3. 结论：对于无向图，调用BFS函数的次数=连通分量数
  4. 空间复杂度:最坏情况，辅助队列大小为 o(V)
6. 广度优先遍历时间复杂度来源：找点、找边
7. 邻接矩阵存储的图:
  1. 访问 V个顶点需要O(V)的时间
  2. 查找每个顶点的邻接点都需要O(V)的时间，而总共有V个顶点
  3. 时间复杂度=O(V²)
8. 邻接表存储的图:
  1. 访问V个顶点需要O(V)的时间
  2. 查找各个顶点的邻接点共需要O(E)的时间
  3. 时间复杂度= O(V+E)
9. 广度优先生成树
  1. 广度优先生成树由广度优先遍历过程确定。由于邻接表的表示方式不唯一，因此基于邻接表的广度优先生成树也不唯一。
10. 广度优先生成森林
  1. 对非连通图的广度优先遍历，可得到广度优先生成森林
图的深度优先遍历DFS
2. 树的深度优先遍历------其一：树的先根遍历：不存在重复访问问题
3. 图的深度优先遍历：存在重复访问问题------设置标记数组：栈
5. 上述DFS存在的问题：无法遍历非连通图
6. 改进：与BFS改进相似
7. 复杂度分析
  1. 空间复杂度:来自函数调用栈，最坏情况，递归深度为O(V)
  2. 时间复杂度=访问各结点所需时间+探索各条边所需时间
8. 邻接矩阵存：时间复杂度：O(V²)
9. 邻接表存：时间复杂度O(V+E)
11. 深度优先遍历序列唯一性与生成树个数
  1. 同一个图的邻接矩阵表示方式唯一，因此深度优先遍历序列唯一，深度优先生成树也唯一
  2. 同一个图邻接表表示方式不唯一，因此深度优先遍历序列不唯一，深度优先生成树也不唯一
图的遍历与图的连通性
1. 对无向图进行BFS/DFS遍历
  1. 调用BFS/DFS函数的次数=连通分量数
  2. 对于连通图，只需调用1次 BFS/DFS
2. 对有向图进行BFS/DFS遍历
  1. 调用BFS/DFS函数的次数要具体问题具体分析
  2. 若起始顶点到其他各顶点都有路径，则只需调用1次BFS/DFS 函数
  3. 对于强连通图，从任一结点出发都只需调用1次 BFS/DFS

二、理解

当各边的权值相等时，广度优先算法可以解决单源最短路径问题
图的广度优先遍历相当于树的层次遍历
广度优先遍历需要用到队列
深度优先遍历需要用到栈
图的深度优先遍历相当于树的先根遍历，广度优先相当于树的层次遍历
深度优先遍历可以判断图中是否存在环
使用DFS递归遍历无环有向图，在退出时递归输出相应的顶点，得到逆拓扑有序顶点序列

三、技巧

n个顶点，e条边的图采用邻接表存储，
1. BFS遍历时
  1. 时间复杂度：O(n+e)：顶点表每个点和边表每个边都要遍历一次
  2. 空间复杂度：O(n)：每个点都入一次队
2. DFS遍历时
  1. 时间复杂度：O(n+e)：顶点表每个点和边表每个边都要遍历一次
  2. 空间复杂度：O(n)：每个点都入一次队
画图的深度优先生成树、广度优先生成树：
1. 先根据题目信息把图画出来
2. 根据深度优先路径或广度优先路径，把不在路径上的边删去，即为生成树