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题目
题目背景
众所周知，对一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 , ( a ≠ 0 ) ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0) ax2+bx+c=0,(a=0)，可以用以下方式求实数解：
- 计算 Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b ^ 2 - 4ac Δ=b2−4ac，则:
- 若 Δ < 0 \Delta < 0 Δ<0，则该一元二次方程无实数解。
- 否则 Δ ≥ 0 \Delta \geq 0 Δ≥0，此时该一元二次方程有两个实数解 x 1 , 2 = − b ± Δ 2 a x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a} x1,2=2a−b±Δ 。
例如：
- x 2 + x + 1 = 0 x ^ 2 + x + 1 = 0 x2+x+1=0 无实数解，因为 Δ = 1 2 − 4 × 1 × 1 = − 3 < 0 \Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0 Δ=12−4×1×1=−3<0。
- x 2 − 2 x + 1 = 0 x ^ 2 - 2x + 1 = 0 x2−2x+1=0 有两相等实数解 x 1 , 2 = 1 x _ {1, 2} = 1 x1,2=1。
- x 2 − 3 x + 2 = 0 x ^ 2 - 3x + 2 = 0 x2−3x+2=0 有两互异实数解 x 1 = 1 , x 2 = 2 x _ 1 = 1, x _ 2 = 2 x1=1,x2=2。
在题面描述中 a a a 和 b b b 的最大公因数使用 gcd ( a , b ) \gcd(a, b) gcd(a,b) 表示。例如 12 12 12 和 18 18 18 的最大公因数是 6 6 6，即 gcd ( 12 , 18 ) = 6 \gcd(12, 18) = 6 gcd(12,18)=6。
题目描述
现在给定一个一元二次方程的系数 a , b , c a, b, c a,b,c，其中 a , b , c a, b, c a,b,c 均为整数且 a ≠ 0 a \neq 0 a=0 。你需要判断一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 a x ^ 2 + bx + c = 0 ax2+bx+c=0 是否有实数解，并按要求的格式输出。
在本题中输出有理数 v v v 时须遵循以下规则：
-
由有理数的定义，存在唯一的两个整数 p p p 和 q q q，满足 q > 0 q > 0 q>0， gcd ( p , q ) = 1 \gcd(p, q) = 1 gcd(p,q)=1 且 v = p q v = \frac pq v=qp。
-
若 q = 1 q = 1 q=1，则输出
{p}，否则输出{p}/{q}，其中{n}代表整数 n n n 的值； -
例如：
- 当 v = − 0.5 v = -0.5 v=−0.5 时， p p p 和 q q q 的值分别为 − 1 -1 −1 和 2 2 2，则应输出
-1/2； - 当 v = 0 v = 0 v=0 时， p p p 和 q q q 的值分别为 0 0 0 和 1 1 1，则应输出
0。
- 当 v = − 0.5 v = -0.5 v=−0.5 时， p p p 和 q q q 的值分别为 − 1 -1 −1 和 2 2 2，则应输出
对于方程的求解，分两种情况讨论：
-
若 Δ = b 2 − 4 a c < 0 \Delta = b ^ 2 - 4ac < 0 Δ=b2−4ac<0，则表明方程无实数解，此时你应当输出
NO； -
否则 Δ ≥ 0 \Delta \geq 0 Δ≥0，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 x x x，则：
-
若 x x x 为有理数，则按有理数的格式输出 x x x。
-
否则根据上文公式， x x x 可以被唯一 表示为 x = q 1 + q 2 r x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r x=q1+q2r 的形式，其中：
- q 1 , q 2 q _ 1, q _ 2 q1,q2 为有理数，且 q 2 > 0 q _ 2 > 0 q2>0；
- r r r 为正整数且 r > 1 r > 1 r>1，且不存在正整数 d > 1 d > 1 d>1 使 d 2 ∣ r d ^ 2 \mid r d2∣r（即 r r r 不应是 d 2 d ^ 2 d2 的倍数）；
此时：
- 若 q 1 ≠ 0 q _ 1 \neq 0 q1=0，则按有理数的格式输出 q 1 q _ 1 q1，并再输出一个加号
+； - 否则跳过这一步输出；
随后：
- 若 q 2 = 1 q _ 2 = 1 q2=1，则输出
sqrt({r})； - 否则若 q 2 q _ 2 q2 为整数，则输出
{q2}*sqrt({r})； - 否则若 q 3 = 1 q 2 q _ 3 = \frac 1{q _ 2} q3=q21 为整数，则输出
sqrt({r})/{q3}； - 否则可以证明存在唯一整数 c , d c, d c,d 满足 c , d > 1 , gcd ( c , d ) = 1 c, d > 1, \gcd(c, d) = 1 c,d>1,gcd(c,d)=1 且 q 2 = c d q _ 2 = \frac cd q2=dc，此时输出
{c}*sqrt({r})/{d}；
上述表示中
{n}代表整数{n}的值，详见样例。如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出
NO。 -
输入格式
输入的第一行包含两个正整数 T , M T, M T,M，分别表示方程数和系数的绝对值上限。
接下来 T T T 行，每行包含三个整数 a , b , c a, b, c a,b,c。
输出格式
输出 T T T 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。
每行输出的字符串中间不应包含任何空格。
样例 #1
样例输入 #1
9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1
样例输出 #1
1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2
提示
【样例 #2】
见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。
【数据范围】
对于所有数据有： 1 ≤ T ≤ 5000 1 \leq T \leq 5000 1≤T≤5000， 1 ≤ M ≤ 1 0 3 1 \leq M \leq 10 ^ 3 1≤M≤103， ∣ a ∣ , ∣ b ∣ , ∣ c ∣ ≤ M |a|,|b|,|c| \leq M ∣a∣,∣b∣,∣c∣≤M， a ≠ 0 a \neq 0 a=0。
| 测试点编号 | M ≤ M \leq M≤ | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
|---|---|---|---|---|
| 1 1 1 | 1 1 1 | 是 | 是 | 是 |
| 2 2 2 | 20 20 20 | 否 | 否 | 否 |
| 3 3 3 | 1 0 3 10 ^ 3 103 | 是 | 否 | 是 |
| 4 4 4 | 1 0 3 10 ^ 3 103 | 是 | 否 | 否 |
| 5 5 5 | 1 0 3 10 ^ 3 103 | 否 | 是 | 是 |
| 6 6 6 | 1 0 3 10 ^ 3 103 | 否 | 是 | 否 |
| 7 , 8 7, 8 7,8 | 1 0 3 10 ^ 3 103 | 否 | 否 | 是 |
| 9 , 10 9, 10 9,10 | 1 0 3 10 ^ 3 103 | 否 | 否 | 否 |
其中：
- 特殊性质 A：保证 b = 0 b = 0 b=0；
- 特殊性质 B：保证 c = 0 c = 0 c=0；
- 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。
题目传送门
题解
思路
没有任何算法，纯粹的大模拟，细节还蛮多的
由于这道题有多测，所以用一个函数比较好，可以把 a , b , c a,b,c a,b,c 都传进去，这就是主函数
cpp
int T, m;
int a, b, c;
int main() {
scanf("%d%d", &T, &m);
while(T-- && scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))
work(a, b, c);
return 0;
}函数里面首先是判断无解，也就是 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0，那我们就需要算出 Δ \Delta Δ，即 b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac
cpp
int delta = b * b - 4 * a * c;
void work(int a, int b, int c) {
delta = b * b - 4 * a * c;
if(delta < 0) {
puts("NO");
return;
}
}然后需要判断 Δ \Delta Δ 是完全平方数，那么就可以直接算出 − b + Δ 2 a \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a} 2a−b+Δ 和 − b − Δ 2 a \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} 2a−b−Δ 哪个大，然后如果能除开就直接输出那个根，否则就输出约分后的那个根
（那个 p r i n t d i v i s i o n ( p , q ) printdivision(p,q) printdivision(p,q) 函数是用来输出 p / q p/q p/q 的，具体请参考注释）
cpp
int delta;
double x1, x2;
int sq;
void print_division(int p, int q) {
if(!p) { // 分子为 0，则输出 0
putchar('0');
return;
}
if(p * q < 0) // 两数异号，则输出符号
putchar('-');
if(p < 0) // 将两数都变成正数
p = -p;
if(q < 0)
q = -q;
int g = __gcd(p, q); // 约分
p /= g;
q /= g;
if(q == 1) // 分母为 1，则输出分子
printf("%d", p);
else // 否则输出 "分子/分母"
printf("%d/%d", p, q);
}
void work(int a, int b, int c) {
delta = b * b - 4 * a * c;
if(delta < 0) {
puts("NO");
return;
}
sq = sqrt(delta);
if(sq * sq == delta) {
x1 = 1.0 * (-b + sq) / 2 * a;
x2 = 1.0 * (-b - sq) / 2 * a;
if(x1 > x2)
print_division(-b + sq, 2 * a);
else
print_division(-b - sq, 2 * a);
puts("");
return;
}
}否则的话就需要按照 " − b / 2 a + Δ / 2 a -b/2a+\sqrt\Delta/2a −b/2a+Δ /2a" 的格式输出
首先如果 b ≠ 0 b\neq0 b=0，那么就说明 − b / 2 a ≠ 0 -b/2a\neq0 −b/2a=0，就可以输出 " − b / 2 a + -b/2a+ −b/2a+"
为什么一定是 + + + ？因为如果是 − b − Δ 2 a \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} 2a−b−Δ 更大，那就说明 2 a < 0 2a<0 2a<0，否则不可能 − b − Δ 2 a > − b − Δ 2 a \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}>\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} 2a−b−Δ >2a−b−Δ ，所以一定是 + + +
最后就是输出 Δ / 2 a \sqrt\Delta/2a Δ /2a 了，具体怎么做请参考代码注释
cpp
int delta;
double x1, x2;
int sq;
void print_division(int p, int q) {
if(!p) { // 分子为 0，则输出 0
putchar('0');
return;
}
if(p * q < 0) // 两数异号，则输出符号
putchar('-');
if(p < 0) // 将两数都变成正数
p = -p;
if(q < 0)
q = -q;
int g = __gcd(p, q); // 约分
p /= g;
q /= g;
if(q == 1) // 分母为 1，则输出分子
printf("%d", p);
else // 否则输出 "分子/分母"
printf("%d/%d", p, q);
}
void print_sqrt(int p, int q) {
if(q < 0) // 如果分母是负数，则将其变为正数，因为和前面的负号消没了（上文说过了）
q = -q;
int u = 1; // 根号前面的系数
for(int i = sqrt(p); i > 1; --i) // 化简
if(!(p % (i * i))) {
p /= i * i;
u *= i;
break;
}
int g = __gcd(u, q); // 约分
u /= g;
q /= g;
if(u > 1) // 系数大于 1，则输出 "系数*"
printf("%d*", u);
if(p > 1) // 根号下的数大于 1，则输出 "sqrt(根号下的数)"
printf("sqrt(%d)", p);
if(q > 1) // 分母大于 1，则输出 "/分母"
printf("/%d", q);
}
void work(int a, int b, int c) {
delta = b * b - 4 * a * c;
if(delta < 0) {
puts("NO");
return;
}
sq = sqrt(delta);
if(sq * sq == delta) {
x1 = 1.0 * (-b + sq) / 2 * a;
x2 = 1.0 * (-b - sq) / 2 * a;
if(x1 > x2)
print_division(-b + sq, 2 * a);
else
print_division(-b - sq, 2 * a);
puts("");
return;
}
if(b) {
print_division(-b, 2 * a);
putchar('+');
}
print_sqrt(delta, 2 * a);
puts("");
}总代码
cpp
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int T, m;
int a, b, c;
int delta;
double x1, x2;
int sq;
void print_division(int p, int q) {
if(!p) {
putchar('0');
return;
}
if(p * q < 0)
putchar('-');
if(p < 0)
p = -p;
if(q < 0)
q = -q;
int g = __gcd(p, q);
p /= g;
q /= g;
if(q == 1)
printf("%d", p);
else
printf("%d/%d", p, q);
}
void print_sqrt(int p, int q) {
if(q < 0)
q = -q;
int u = 1;
for(int i = sqrt(p); i > 1; --i)
if(!(p % (i * i))) {
p /= i * i;
u *= i;
break;
}
int g = __gcd(u, q);
u /= g;
q /= g;
if(u > 1)
printf("%d*", u);
if(p > 1)
printf("sqrt(%d)", p);
if(q > 1)
printf("/%d", q);
}
void work(int a, int b, int c) {
delta = b * b - 4 * a * c;
if(delta < 0) {
puts("NO");
return;
}
sq = sqrt(delta);
if(sq * sq == delta) {
x1 = 1.0 * (-b + sq) / 2 * a;
x2 = 1.0 * (-b - sq) / 2 * a;
if(x1 > x2)
print_division(-b + sq, 2 * a);
else
print_division(-b - sq, 2 * a);
puts("");
return;
}
if(b) {
print_division(-b, 2 * a);
putchar('+');
}
print_sqrt(delta, 2 * a);
puts("");
}
int main() {
scanf("%d%d", &T, &m);
while(T-- && scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))
work(a, b, c);
return 0;
}提交结果
尾声
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