0. 引入
矩阵
A m × n A_{m \times n} Am×n
1. 列空间
C ( A ) C(A) C(A)在 R m R^m Rm中
d i m ( C ( A ) ) = p i v o t _ c o l u m n _ c n t = r a n k ( A ) = r dim(C(A))=pivot\_column\_cnt = rank(A)=r dim(C(A))=pivot_column_cnt=rank(A)=r
2. 零空间
N ( A ) N(A) N(A)在 R n R^{n} Rn中
d i m ( N ( A ) ) = f r e e d o m _ c o l u m n _ c n t = n − r dim(N(A))=freedom\_column\_cnt=n-r dim(N(A))=freedom_column_cnt=n−r
3. 行空间
C ( A ⊤ ) C(A ^{\top}) C(A⊤)在 R n R^{n} Rn中
d i m ( C ( A ⊤ ) ) = r dim(C(A^{\top}))=r dim(C(A⊤))=r
3.1 求解行空间的基
A = [ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ \end{bmatrix} A= 111212323111
化为行最简形，都是做行变化不影响行空间。
A ⟶ R = r r e f ( A ) = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ] A\longrightarrow R=rref(A)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} A⟶R=rref(A)= 100010110100
C ( R ) ≠ C ( A ) C(R) \ne C(A) C(R)=C(A)
行空间的基就是前 r r r行。
4. 左零空间
N ( A ⊤ ) N(A^{\top}) N(A⊤)在 R m R^m Rm中
d i m ( N ( A ⊤ ) ) = m − r dim(N(A^{\top}))=m-r dim(N(A⊤))=m−r
左零空间
( A ⊤ ) y = 0 y ⊤ A = 0 ⊤ (A^{\top})y=0\\ y^{\top}A=0^{\top}\\ (A⊤)y=0y⊤A=0⊤
4.1 左零空间基的求法
与高斯若尔当方法一样。
A ′ = A ⊤ A'=A^{\top} A′=A⊤
在原矩阵后添加一个新矩阵
A n × m ′ I m × m \] \[A'_{n \\times m}I_{m \\times m}\] \[An×m′Im×m
将 A n × m A_{n \times m} An×m通过行变换为行最简形。
A n × m ′ I m × m \] ⟶ \[ R n × m E m × m \] \[A'_{n \\times m}I_{m \\times m}\]\\longrightarrow \[R_{n \\times m}E_{m\\times m}\] \[An×m′Im×m\]⟶\[Rn×mEm×m
此时作用在 A A A上的所有行变换就转成了 E E E。
E A ′ = I EA'=I EA′=I
r = r a n k ( A ) r=rank(A) r=rank(A)
E E E中的最后 m − r m-r m−r列构成 A A A左零空间的基。
举例
A = [ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ] ⟶ R = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ] E A = R E = [ − 1 2 0 1 − 1 0 − 1 0 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow R= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}\\ EA=R\\ E= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} A= 111212323111 ⟶R= 100010110100 EA=RE= −11−12−10001
A A A的左零空间为
c [ − 1 0 1 ] c \begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix} c −101