P5 古典概型（等可能概型）
一.中学概率知识
1.加法原理：设完成一件事有n类方法（只需其中一类方法即可完成事情），若第k类方法有 m k m_k mk种方法（1 ⩽ \leqslant ⩽k ⩽ \leqslant ⩽n），则完成这件事总共有 N = m 1 + m 2 + ... + m n \color{red}{N = m_1+m_2+...+m_n} N=m1+m2+...+mn种方法。
2.乘法原理：设完成一件事有n个步骤（当且仅当n个步骤全部完成），若第k个步骤有 m k m_k mk种方法（1 ⩽ \leqslant ⩽k ⩽ \leqslant ⩽n），则完成这件事总共有 N = m 1 × m 2 × ... × m n \color{red}{N = m_1\times m_2\times ...\times m_n} N=m1×m2×...×mn种方法。
3.排列：
①不同元素的选排列：从n个不同元素中任取m（m ⩽ \leqslant ⩽n）个按一定顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的选排列，共有 P n m P{^m_n} Pnm种。当m=n时，称为全排列，共有n！种。（0！=1）
P n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! = A n m P{^m_n}=n(n-1)(n-2)\cdots\quad(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}=A{^m_n} Pnm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=(n−m)!n!=Anm
②不同元素的重复排列：从n个不同元素种又放回的取m（m ⩽ \leqslant ⩽n）个进行排列，其排列总数共有 n × n × ... × n = n m \color{red}{n\times n\times ...\times n=n^m} n×n×...×n=nm种。
③不全相异元素的排列：在n个元素中，有m类元素，每类各有 k 1 , k 2 , ... , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km个，将这n个元素做全排列，共有如下种方式：
N= n ! k 1 ! k 2 ! ... k n ! \dfrac{n!}{k_1!k_2!...k_n!} k1!k2!...kn!n!
④环排列：从n个不同的元素中，选出m个不同的元素排成一个圈，共有如下种方式：
n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ... ( n − m + 1 ) m = C n m ( m − 1 ) ! \dfrac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m}=C{^m_n}(m-1)! mn(n−1)(n−2)...(n−m+1)=Cnm(m−1)!
4.组合：
①从n个元素中取出m个（ 不放回抽样 \color{blue}{不放回抽样} 不放回抽样）组成一组，不同的分发方式共有：
( n m ) = C n m = n ! m ! ( n − m ) ! = P n m m ! \begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=C{^m_n}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{P{^m_n}}{m!} (nm)=Cnm=m!(n−m)!n!=m!Pnm
②从n个元素中取出m个（ 放回抽样 \color{blue}{放回抽样} 放回抽样）组成一组，不同的分发方式共有：
H n m = ( n + m − 1 m ) H{^m_n}=\begin{pmatrix}n+m-1\\m\end{pmatrix} Hnm=(n+m−1m)
二.古典概型
1.Def：若随机试验E满足：
（1）样本空间S只含有限个样本点，S={ e 1 , e 2 , ... , e n e_1,e_2,...,e_n e1,e2,...,en};
（2）每个基本事件（样本点）发生的可能性相同；
则称此随机试验的概率模型为等可能概型，又称古典概型。
2.古典概型中，事件A={ e i 1 , e i 2 , ... , e i k e_{i1},e_{i2},...,e_{ik} ei1,ei2,...,eik}发生的概率为
P ( A ) = k n = A 包含的基本事件数 S 包含的基本事件总数 P(A)=\dfrac{k}{n}=\dfrac{A包含的基本事件数}{S包含的基本事件总数} P(A)=nk=S包含的基本事件总数A包含的基本事件数
三.古典概型基本模型
3.1 分球模型
1.无放回摸球：
2.有放回的摸球：
3.2 分球入盒模型
1.盒子容量无限：
2.每个盒子只能装一个球：
3.综合例题：
3.3 分组问题
四.几何概型（等可能概型）
1.Def：若随机试验E满足：
①样本空间S是 R n R^n Rn（n=1，2，3）中一个可度量的几何区域；
②每个样本点出现的概率相等，即样本点落入S某一可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关，则事件A={样本点落入区域A}的概率为：
P ( A ) = A 的几何度量 ( 长度、面积、体积 ) S 的几何度量 ( 长度、面积、体积 ) P(A)=\dfrac{A的几何度量(长度、面积、体积)}{S的几何度量(长度、面积、体积)} P(A)=S的几何度量(长度、面积、体积)A的几何度量(长度、面积、体积)
注意！ \color{red}{注意！} 注意！ ①古典概型：基本事件有限，等可能的随机试验。
②几何概型：基本事件无限，等可能的随机试验。