刷怪日记-01背包理论问题(二维矩阵实现)

01背包理论问题(二维矩阵实现)

题目

解题思路

确定dp数组以及下标的含义

本题采用二维数组进行解题，那么dp[i] [j]表示从下标0-i的物品任意选择，放进容量为j背包，价值总合最大是多少

i 表示物品第几个物品，j 表示背包容量大小

确定递推公式

根据动态规划理念，下一步结果是由上一步推出来的。
dp[i] [j]可以由俩种情况推导出来
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。
因此背包容量为j时，价值综合最大为上述情况之一
推导公式为 dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]);

dp数组如何初始化

背包容量为0的时候，毋庸置疑价值总合最大0，因此dp[i] [0]可以初始为0
假设仅有物品0，那么dp[0] [j]总和最大始终为物品0的价值
而其他单元格使用默认初始化结果即可，因为最后都会被推导公式的结果覆盖。

确定遍历顺序

先推导物品还是背包重量均可，本题先遍历物品

举例推导dp数组

具体代码

java 复制代码

public class BagProblem {
   public static void main(String[] args) {
      int[] weight = {1,3,4};
      int[] value = {15,20,30};
      int bagSize = 4;
      testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
   }

   /**
    * 动态规划获得结果
    * @param weight  物品的重量
    * @param value   物品的价值
    * @param bagSize 背包的容量
    */
   public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

      // 创建dp数组
      int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
      int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

      // 初始化dp数组
      // 创建数组后，其中默认的值就是0
      for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
         dp[0][j] = value[0];
      }

      // 填充dp数组
      for (int i = 1; i <= weight.length; i++) {
         for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
            if (j < weight[i]) {
               /**
                * 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
                * 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
                */
               dp[i][j] = dp[i][j];
            } else {
               /**
                * 当前背包的容量可以放下物品i
                * 那么此时分两种情况：
                *    1、不放物品i
                *    2、放物品i
                * 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
                */
               dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
            }
         }
      }

      // 打印dp数组
      for (int i = 0; i < goods; i++) {
         for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
            System.out.print(dp[i][j] + "\t");
         }
         System.out.println("\n");
      }
   }
}