【洛谷 P8625】[蓝桥杯 2015 省 B] 生命之树 题解(深度优先搜索+树形DP)

[蓝桥杯 2015 省 B] 生命之树

题目描述

在 X 森林里,上帝创建了生命之树。

他给每棵树的每个节点(叶子也称为一个节点)上,都标了一个整数,代表这个点的和谐值。

上帝要在这棵树内选出一个节点集合 S S S(允许为空集),使得对于 S S S 中的任意两个点 a , b a,b a,b,都存在一个点列 a , v 1 , v 2 , ⋯   , v k , b {a,v_1,v_2, \cdots ,v_k,b} a,v1,v2,⋯,vk,b 使得这个点列中的每个点都是 S S S 里面的元素,且序列中相邻两个点间有一条边相连。

在这个前提下,上帝要使得 S S S 中的点所对应的整数的和尽量大。

这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。

经过 atm 的努力,他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算,他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。

输入格式

第一行一个整数 n n n 表示这棵树有 n n n 个节点。

第二行 n n n 个整数,依次表示每个节点的评分。

接下来 n − 1 n-1 n−1 行,每行 2 2 2 个整数 u , v u,v u,v,表示存在一条 u u u 到 v v v 的边。由于这是一棵树,所以是不存在环的。

输出格式

输出一行一个数,表示上帝给这棵树的分数。

样例 #1

样例输入 #1

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5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5

样例输出 #1

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8

提示

对于 30 % 30\% 30% 的数据, n ≤ 10 n \le 10 n≤10。

对于 100 % 100\% 100% 的数据, 0 < n ≤ 1 0 5 , 0<n \le 10^5, 0<n≤105, 每个节点的评分的绝对值不超过 1 0 6 10^6 106。

时限 3 秒, 256M。

蓝桥杯 2015 省赛 B 组 J 题。


思路

首先,定义一些常量和全局变量。其中,N 是节点的最大数量,w[N] 是存储每个节点的评分,dp[N] 是存储每个节点的最大分数,g[N] 是一个向量数组,存储图的邻接表。

dfs 函数是深度优先搜索的实现。在这个函数中,首先将当前节点的评分赋值给 dp[x],然后遍历当前节点的所有邻居节点,如果邻居节点不是父节点,则将邻居节点的最大分数加到 dp[x] 上。

状态转移方程为:

d p [ x ] = w [ x ] + ∑ i ∈ g [ x ] , i ≠ f a max ⁡ ( d f s ( i , x ) , 0 ) dp[x] = w[x] + \sum_{i \in g[x], i \neq fa} \max(dfs(i, x), 0) dp[x]=w[x]+i∈g[x],i=fa∑max(dfs(i,x),0)

其中, d p [ x ] dp[x] dp[x] 表示以 x x x 为根的子树中,按照题目要求选取节点后,能得到的最大和谐值。 w [ x ] w[x] w[x] 是节点 x x x 的权值, g [ x ] g[x] g[x] 是节点 x x x 的所有子节点, f a fa fa 是节点 x x x 的父节点。

以 x x x 为根的子树中,能得到的最大和谐值,等于节点 x x x 自身的权值,加上它所有子节点中,以子节点为根的子树能得到的最大和谐值之和。这里的最大和谐值是非负的,如果以某个子节点为根的子树的最大和谐值是负数,那么就不选取这个子树。

main 函数中,首先读取节点的数量 n,然后读取每个节点的评分,接着读取每条边的两个节点,将这两个节点分别添加到对方的邻居列表中。然后调用 dfs 函数计算每个节点的最大分数,最后遍历 dp 数组,找出最大的分数并输出。


AC代码

cpp 复制代码
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e5 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int w[N];
ll dp[N];
vector<int> g[N];

ll dfs(int x, int fa) {
	dp[x] = w[x];
	// cout << x << " ";
	for (const auto i : g[x]) {
		if (i == fa) {
			continue;
		}
		dp[x] += max(dfs(i, x), 0LL);
	}
	return dp[x];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i];
	}
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}

	dfs(1, 0);

	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << endl;

	return 0;
}

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