函数式编程的数学基础(八)函数式编程

lambda演算作为图灵机的等价,理论上我们能够知道它能够作为任何编程语言的模型。(即使是过程式语言)

lambda演算与函数式编程

如果我们只保留JavaScript的箭头函数和函数调用,那么我们可以轻易发现JavaScript语言和Lambda演算的对应关系。

对于编程语言中的基本类型,如整型,我们可以理解为邱奇数,也可以理解为带类型的lambda表达式。

与之对应的运算符,我们则可以理解为预先定义的函数。

值得一提的是,常量可以理解为函数的参数,只要在代码外套一个函数即可,以下是一个综合例子:

JavaScript 复制代码
const a = 1;
const b = 2;
a + b;

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( λ a . λ b . + a b ) 1 2 (\lambda a.\lambda b.+\ a\ b)\ 1\ 2 </math>(λa.λb.+ a b) 1 2

若出现递归调用,则必须借助Y组合子,请看以下例子:

JavaScript 复制代码
const f = (s, i) => 
    i <= 100 ? f(s + i, i + 1) : s
f(0, 0);

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( Y λ f . λ s . λ i . ( ( < = i 100 ) ( f ( + s i ) ( + i 1 ) ) s ) ) 0 0 (Y\ \lambda f.\lambda s. \lambda i. ((<=\ i\ 100)\ (f\ (+\ s\ i)\ (+\ i\ 1))\ s))\ 0\ 0 </math>(Y λf.λs.λi.((<= i 100) (f (+ s i) (+ i 1)) s)) 0 0

对于更标准的函数式语言,此对应关系更为明显。

对于一门现代编程语言来说,必定要处理时间、随机数、输入输出、网络等,所以几乎找不到纯粹无副作用函数的编程语言。下表总结了一些典型的编程语言与函数式编程之间的联系:

编程语言 有闭包特性 函数是一等公民 有过程式特性 通常认为是函数式的
Haskell
Scheme
JavaScript 部分
Python 部分
Java 部分 部分
C++(20) 部分 部分
C(99) 部分
php 否(默认否)

lambda演算与过程式特性

实际上,我们也可以给可变数据用lambda建模,我们把赋值代码的前后视为两层不同的函数,用闭包来解决这个问题:

JavaScript 复制代码
let a = 1;
a = a + 1
a;

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( λ a . ( ( λ a . a ) ( + a 1 ) ) ) 1 (\lambda a.((\lambda a.a)\ (+\ a\ 1)))\ 1 </math>(λa.((λa.a) (+ a 1))) 1

考虑到任何循环都可以以递归形式写出,我们也可以用lambda来给纯过程式代码建模:

JavaScript 复制代码
let s = 0;
let i = 0;
while(i <= 100) {
    i ++;
    s += i;
}
s;

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( Y λ f . λ s . λ i . ( ( < = i 100 ) ( f ( + s i ) ( + i 1 ) ) s ) ) 0 0 (Y\ \lambda f.\lambda s. \lambda i. ((<=\ i\ 100)\ (f\ (+\ s\ i)\ (+\ i\ 1))\ s))\ 0\ 0 </math>(Y λf.λs.λi.((<= i 100) (f (+ s i) (+ i 1)) s)) 0 0

所有图灵机等价的模型都能互相转化,尽管lambda可以为过程式代码建模,但因为涉及语法结构上的变换(顺序书写变为嵌套结构),所以一般不认为变量、循环等结构属于函数式编程,即,过程式编程与函数式编程是互斥的。

代码执行与 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β归约

既然我们可以把一段代码认为是lambda表达式,那么从数学的视角来看,代码执行的过程是什么呢?

很容易想到,代码执行过程可以视为不断对lambda进行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β归约。

church-rosser定理保证了以不同归约顺序,总能计算得到一致的结果,因此,如果一个程序能够得到运行结果,它必定是唯一的。

但一旦涉及停机问题,计算机语言跟lambda演算可能就不太一样了,计算机语言可能认为某些结构永远无法得到结果。请看以下例子:

JavaScript 复制代码
function f(){
   f();
}
function g() {
   return 0;
}
g(f());

对于lambda演算来说,此式一定能归约到0,但对于JavaScript语言(和绝大多数其它编程语言)来说,它的结果必定是不停机。

从lambda演算的角度看,这些编程语言并不是随意对lambda参数进行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β归约,而是规定了归约的顺序,先从函数参数开始。这种行为在计算机语言领域中被称作传值调用(call-by-value)

call-by-name 和 call-by-value

那么有没有 call-by-value 以外的参数传递方式呢?实际上还有很多,但是lambda演算模型最方便处理的两种方式就是 call-by-name 和 call-by-value。

接下来我们就来看看这两种调用方式有什么区别。

我们把JavaScript运算符也视为函数,我们会发现有些特殊的运算符行为有所不同。

arduino 复制代码
function f(){
   console.log("f is called!");
}
false && f();

我们可以看到,尽管我们形式上调用了函数f,但因为&&的特殊性,实际代码并没有执行,这样的行为被称作函数的传名调用(call-by-name)。在古典时期,也有一些编程语言的默认函数调用行为就是传名调用。

从lambda的角度,这又涉及到了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β归约的顺序问题。

对于无副作用的函数式系统来说,传值调用还是传名调用仅仅影响计算的效率,并不影响最终的执行结果。但是传值调用还是传名调用可能影响停机问题。

对于一个有副作用的系统而言,传值调用还是传名调用则影响最终的执行结果,此时church-rosser定理不成立。

更多挑战

尽管我们似乎找到了一种以lambda演算为模型解释计算机语言的路径,并解决了传名和传值问题,但是现代计算机语言中仍然包含了大量无法容纳于函数式编程的特性,如:

  • 类型
    • 类型继承关系
    • 泛型(模板类型)
  • 输入/输出
  • 异步
  • 随机数
  • 错误处理

后来的理论计算学者开始寻求更强大的工具来解决这些问题,于是范畴论、同伦类型论等数学分支开始被引入函数式编程当中,我们将会在后文逐步展开介绍。

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