记
D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} D= a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯a1na2n⋯ann ,
D T = ∣ a 11 a 21 ⋯ a n 1 a 12 a 22 ⋯ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ∣ D^T=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\\cdots&\cdots&&\cdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} DT= a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯an1an2⋯ann
行列式 D T 称为行列式 D D^T称为行列式D DT称为行列式D的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
证： D = d e t ( a i j ) 的转置行列式为 D T = d e t ( b i j ) 即 D T 的 ( i , j ) 元为 b i j , 则 b i j = a j i ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) , 按定义 D T = ∑ ( − 1 ) t b 1 p 1 b 2 p 2 ⋯ b n p n = ∑ ( − 1 ) t a p 1 1 a p 2 2 ⋯ a p n n 下证 D = D T 对于行列式 D 的任一项 ( − 1 ) t a 1 p 1 a i p i ⋯ a j p j ⋯ a n p n 其中 1 ⋯ i ⋯ j ⋯ n 为标准排列， t 为排列 p 1 ⋯ p i ⋯ p j ⋯ p n 的逆序数，对换元素 a i p i 与 a j p j 为 ( − 1 ) t a 1 p 1 a j p j ⋯ a i p i ⋯ a n p n 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时做了一次相应的对换。设新的行标排列 1 ⋯ j ⋯ i ⋯ n 的逆序数为 r ，则 r 为奇数； 设新的列标排列 p 1 ⋯ p j ⋯ p i ⋯ p n 的逆序数为 t 1 , 则 ( − 1 ) t = − ( − 1 ) t 1 = ( − 1 ) r ( − 1 ) t 1 = ( − 1 ) r + t 1 即对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，则行标排列与列标排列逆序数之后并不改变奇偶性。 经过一次对换如此，经过多次多换依然如此。于是经过若干次对换，使 列标排列 p 1 p 2 ⋯ p n （逆序数 t ）变为标准排列（逆序数为 0 ）；行标排列由标准排列变为某个新的排列，设此新的排列为 q 1 q 2 ⋯ q n , 其逆序数为 s ，则 ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n = ( − 1 ) s a q 1 1 a q 2 2 ⋯ a q n n 又上式左边乘积的第 i 个元素 a i p i 为 a i j 那么它必定是乘积的右边第 j 个元素，即 a i p i = a i j = a q j j . 可见排列 q 1 q 2 ⋯ q n 由排列 p 1 p 2 ⋯ p n 所唯一确定 综上：对于 D 中任一项 ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n ，总有且仅有 D T 中的某一项 ( − 1 ) s a q 1 1 a q 2 2 ⋯ a q n n 与之对应且相等；反之亦然 从而 D = D T 证：\\ D=det(a_{ij})的转置行列式为D^T=det(b_{ij})\\ 即D^T的(i,j)元为b_{ij},则b_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n),按定义\\ D^T=\sum(-1)^t b_{1p_1}b_{2p_2}\cdots b_{np_n}=\sum(-1)^t a_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}\\ 下证D=D^T\\ 对于行列式D的任一项\\ (-1)^t a_{1p_1}a_{ip_i}\cdots a_{jp_j}\cdots a_{np_n}\\ 其中1\cdots i\cdots j\cdots n为标准排列，t为排列p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n的逆序数，对换元素a_{ip_i}与a_{jp_j}为\\ (-1)^t a_{1p_1}a_{jp_j}\cdots a_{ip_i}\cdots a_{np_n}\\ 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时做了一次相应的对换。设新的行标排列1\cdots j\cdots i\cdots n的逆序数为r，则r为奇数；\\ 设新的列标排列p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n的逆序数为t_1,则\\ (-1)^t=-(-1)^{t_1}=(-1)^r(-1)^{t_1}=(-1)^{r+t1}\\ 即对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，则行标排列与列标排列逆序数之后并不改变奇偶性。\\ 经过一次对换如此，经过多次多换依然如此。于是经过若干次对换，使\\ 列标排列p_1p_2\cdots p_n（逆序数t）变为标准排列（逆序数为0）；行标排列由标准排列变为某个新的排列，设此新的排列为q_1q_2\cdots q_n,其逆序数为s，则\\ (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}=(-1)^s a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn}\\ 又上式左边乘积的第i个元素a_{ip_i}为a_{ij}那么它必定是乘积的右边第j个元素，即a_{ip_i}=a_{ij}=a_{q_jj}.\\ 可见排列q_1q_2\cdots q_n由排列p_1p_2\cdots p_n所唯一确定\\ 综上：对于D中任一项(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}，总有且仅有D^T中的某一项(-1)^s a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn}与之对应且相等；反之亦然\\ 从而D=D^T 证：D=det(aij)的转置行列式为DT=det(bij)即DT的(i,j)元为bij,则bij=aji(i,j=1,2,⋯,n),按定义DT=∑(−1)tb1p1b2p2⋯bnpn=∑(−1)tap11ap22⋯apnn下证D=DT对于行列式D的任一项(−1)ta1p1aipi⋯ajpj⋯anpn其中1⋯i⋯j⋯n为标准排列，t为排列p1⋯pi⋯pj⋯pn的逆序数，对换元素aipi与ajpj为(−1)ta1p1ajpj⋯aipi⋯anpn这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时做了一次相应的对换。设新的行标排列1⋯j⋯i⋯n的逆序数为r，则r为奇数；设新的列标排列p1⋯pj⋯pi⋯pn的逆序数为t1,则(−1)t=−(−1)t1=(−1)r(−1)t1=(−1)r+t1即对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，则行标排列与列标排列逆序数之后并不改变奇偶性。经过一次对换如此，经过多次多换依然如此。于是经过若干次对换，使列标排列p1p2⋯pn（逆序数t）变为标准排列（逆序数为0）；行标排列由标准排列变为某个新的排列，设此新的排列为q1q2⋯qn,其逆序数为s，则(−1)ta1p1a2p2⋯anpn=(−1)saq11aq22⋯aqnn又上式左边乘积的第i个元素aipi为aij那么它必定是乘积的右边第j个元素，即aipi=aij=aqjj.可见排列q1q2⋯qn由排列p1p2⋯pn所唯一确定综上：对于D中任一项(−1)ta1p1a2p2⋯anpn，总有且仅有DT中的某一项(−1)saq11aq22⋯aqnn与之对应且相等；反之亦然从而D=DT
由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质反是对行成立的对列同样也成立，反之亦然。
性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。
设行列式 D 1 = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ 是由行列式 D = d e t ( a i j ) 对换 i , j 两行得到的，即当 k ≠ i , j 时， b k p = a k p ; 当 k = i , j 时， b i p = a j p , b j p = a i p 于是 D 1 = ∑ ( − 1 ) t b 1 p 1 ⋯ b i p i ⋯ b j p j ⋯ b n p n = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 ⋯ a j p i ⋯ a i p j ⋯ a n p n 其中 1 ⋯ i ⋯ j ⋯ n 为标准排列， t 为排列 p 1 ⋯ p i ⋯ p j ⋯ p n 的逆序数。 设排列 p 1 ⋯ p j ⋯ p i ⋯ p n 的逆序数为 t 1 , 则 ( − 1 ) t 1 = − ( − 1 ) t ∴ D 1 = − D 设行列式D_1=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\ 是由行列式D=det(a_{ij})对换i,j两行得到的，即当k\not=i,j时，b_{kp}=a_{kp};当k=i,j时，b_{ip}=a_{jp},b_{jp}=a_{ip}\\ 于是D_1=\sum(-1)^t b_{1p_1}\cdots b_{ip_i}\cdots b_{jp_j}\cdots b_{np_n}=\\ \sum(-1)^t a_{1p_1}\cdots a_{jp_i}\cdots a_{ip_j}\cdots a_{np_n}\\ 其中1\cdots i\cdots j\cdots n为标准排列，t为排列p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n的逆序数。\\ 设排列p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n的逆序数为t_1,则\\ (-1)^{t1}=-(-1)^t\\ \therefore D_1=-D 设行列式D1= a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯a1na2n⋯ann 是由行列式D=det(aij)对换i,j两行得到的，即当k=i,j时，bkp=akp;当k=i,j时，bip=ajp,bjp=aip于是D1=∑(−1)tb1p1⋯bipi⋯bjpj⋯bnpn=∑(−1)ta1p1⋯ajpi⋯aipj⋯anpn其中1⋯i⋯j⋯n为标准排列，t为排列p1⋯pi⋯pj⋯pn的逆序数。设排列p1⋯pj⋯pi⋯pn的逆序数为t1,则(−1)t1=−(−1)t∴D1=−D
以 r i r_i ri表示行列式的第 i i i行，，以 c i c_i ci表示行列式的第 i i i列。对换 i , j i,j i,j两行记作 r i ↔ r j r_i\leftrightarrow r_j ri↔rj,对换 i , j i,j i,jl两列记作 c i ↔ c j c_i \leftrightarrow c_j ci↔cj。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
证 : 把行列式这两行对换，则 D = − D ∴ D = 0 证:\\ 把行列式这两行对换，则D=-D\\ \therefore D=0 证:把行列式这两行对换，则D=−D∴D=0
性质3 行列式中某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 i i i行的元素都是两数之和：D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + a i 1 ′ a i 2 + a i 2 ′ ⋯ a i n + a i n ′ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+a^{'}{i1}&a{i2}+a^{'}{i2}&\cdots&a{in}+a^{'}{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\ D= a11⋮ai1+ai1′⋮an1a12⋮ai2+ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain+ain′⋮ann
则 D D D等于下列两个行列式之和
D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 ′ a i 2 ′ ⋯ a i n ′ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a^{'}{i1}&a^{'}{i2}&\cdots&a^{'}{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\ D= a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann + a11⋮ai1′⋮an1a12⋮ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain′⋮ann
性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
例 D = ∣ 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ∣ D=\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}\\ D= 3−521110−5−13132−4−1−3
解： D = c 1 ↔ c 2 − ∣ 1 3 − 1 2 1 − 5 3 − 4 0 2 1 − 1 − 5 1 3 − 3 ∣ = r 2 − r 1 , r 4 + 5 r 1 − ∣ 1 3 − 1 2 0 − 8 4 − 6 0 2 1 − 1 0 16 − 2 7 ∣ = 1 2 r 2 , 2 r 3 − ∣ 1 3 − 1 2 0 − 4 2 − 3 0 4 2 − 2 0 16 − 2 7 ∣ = r 3 + r 2 , r 4 + 4 r 2 − ∣ 1 3 − 1 2 0 − 4 2 − 3 0 0 4 − 5 0 0 6 − 5 ∣ = c 3 ↔ c 4 , r 4 − r 3 ∣ 1 3 2 − 1 0 − 4 − 3 2 0 0 − 5 4 0 0 0 2 ∣ = 40 解：\\ D\overset{c_1\leftrightarrow c_2}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\1&-5&3&-4\\0&2&1&-1\\-5&1&3&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r_2-r_1,r_4+5r_1}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\0&-8&4&-6\\0&2&1&-1\\0&16&-2&7\end{vmatrix}\\ \overset{\frac{1}{2}r_2,2r_3}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\0&-4&2&-3\\0&4&2&-2\\0&16&-2&7\end{vmatrix}\\ \overset{r_3+r_2,r_4+4r_2}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\0&-4&2&-3\\0&0&4&-5\\0&0&6&-5\end{vmatrix}\\ \overset{c_3\leftrightarrow c_4,r_4-r_3}{=}\begin{vmatrix}1&3&2&-1\\0&-4&-3&2\\0&0&-5&4\\0&0&0&2\end{vmatrix}\\ =40 解：D=c1↔c2− 110−53−521−13132−4−1−3 =r2−r1,r4+5r1− 10003−8216−141−22−6−17 =21r2,2r3− 10003−4416−122−22−3−27 =r3+r2,r4+4r2− 10003−400−12462−3−5−5 =c3↔c4,r4−r3 10003−4002−3−50−1242 =40
例 计算 ∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ \begin{vmatrix}3&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{vmatrix}\\ 3111131111311113
解： D = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 ∣ 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ D = r 1 / 6 6 ∣ 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ D = r 2 − r 1 , r 3 − r 1 , r 4 − r 1 6 ∣ 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ = 48 解：\\ D\overset{r_1+r_2+r_3+r_4}{=}\begin{vmatrix}6&6&6&6\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{vmatrix}\\ D\overset{r_1/6}{=}6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{vmatrix}\\ D\overset{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}{=}6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{vmatrix}\\ =48 解：D=r1+r2+r3+r4 6111631161316113 D=r1/66 1111131111311113 D=r2−r1,r3−r1,r4−r16 1000120010201002 =48
例9 计算 D = ∣ a b c d a a + b a + b + c a + b + c + d a 2 a + b 3 a + 2 b + c 4 a + 3 b + 2 c + d a 3 a + b 6 a + 3 b + c 10 a + 6 b + 3 c + d ∣ D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a&a+b&a+b+c&a+b+c+d\\a&2a+b&3a+2b+c&4a+3b+2c+d\\a&3a+b&6a+3b+c&10a+6b+3c+d\end{vmatrix}\\ D= aaaaba+b2a+b3a+bca+b+c3a+2b+c6a+3b+cda+b+c+d4a+3b+2c+d10a+6b+3c+d
解： D = r 4 − r 3 , r 3 − r 2 , r 2 − r 1 ∣ a b c d 0 a a + b a + b + c 0 a 2 a + b 3 a + 2 b + c 0 a 3 a + b 6 a + 3 b + c ∣ = r 4 − r 3 , r 3 − r 2 ∣ a b c d 0 a a + b a + b + c 0 0 a 2 a + b 0 0 a 3 a + b ∣ = r 4 − r 3 ∣ a b c d 0 a a + b a + b + c 0 0 a 2 a + b 0 0 0 a ∣ = a 4 解：\\ D\overset{r_4-r_3,r_3-r_2,r_2-r_1}{=}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&a&a+b&a+b+c\\0&a&2a+b&3a+2b+c\\0&a&3a+b&6a+3b+c\end{vmatrix}\\ \overset{r_4-r_3,r_3-r_2}{=}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&a&a+b&a+b+c\\0&0&a&2a+b\\0&0&a&3a+b\end{vmatrix}\\ \overset{r_4-r_3}{=}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&a&a+b&a+b+c\\0&0&a&2a+b\\0&0&0&a\end{vmatrix}\\ =a^4 解：D=r4−r3,r3−r2,r2−r1 a000baaaca+b2a+b3a+bda+b+c3a+2b+c6a+3b+c =r4−r3,r3−r2 a000ba00ca+baada+b+c2a+b3a+b =r4−r3 a000ba00ca+ba0da+b+c2a+ba =a4
注：
- r i + r j 与 r j + r i r_i+r_j与r_j+r_i ri+rj与rj+ri的区别。
- r i + k r j r_i+kr_j ri+krj是约定的行列式运算记号，不能写作 k r j + r i kr_j+r_i krj+ri
任何n阶行列式总能利用运算 r i + k r j r_i+kr_j ri+krj化为上三角行列式或化为下三行列式；同样地，利用运算 c i + k c j c_i+kc_j ci+kcj也能把行列式化为上三角行列式或下三角行列式。
例10 设
D = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ 0 a k 1 ⋯ a k k c 11 ⋯ c 1 k b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c n 1 ⋯ c n k b n 1 ⋯ b n n ∣ D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&&&&\\\vdots&&\vdots&&0&&\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}&&&&\\c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&\cdots&c_{nk}&b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}\\ D= a11⋮ak1c11⋮cn1⋯⋯⋯⋯a1k⋮akkc1k⋮cnkb11⋮bn10⋯⋯b1n⋮bnn
D 1 = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k ∣ , D 2 = ∣ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ b n 1 ⋯ b n n ∣ D_1=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\\vdots&&\vdots\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}, D_2=\begin{vmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}\\ D1= a11⋮ak1⋯⋯a1k⋮akk ,D2= b11⋮bn1⋯⋯b1n⋮bnn
证明： D = D 1 D 2 D=D_1D_2 D=D1D2
证： 对 D 1 做运算 r i + k r j , 把 D 1 化为下三角行列式，设为： D 1 = ∣ p 11 0 ⋮ ⋱ p k 1 ⋯ p k k ∣ = p 11 ⋯ p k k 对 D 2 做运算 c i + k c j , 把 D 2 化为下三角行列式，设为： D 2 = ∣ q 11 0 ⋮ ⋱ q n 1 ⋯ q n n ∣ = q 11 ⋯ q n n 于是对 D 的前 k 行做 r i + k r j , 在对后 n 列做运算 c i + k c j , 把 D 化为下三角行列式 D = ∣ p 11 ⋮ ⋱ 0 p k 1 ⋯ p k k c 11 ⋯ c 1 k q 11 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ c n 1 ⋯ c n k q n 1 ⋯ q n n ∣ ∴ D = p 11 ⋯ p k k q 11 ⋯ q n n = D 1 D 2 证：\\ 对D_1做运算r_i+kr_j,把D_1化为下三角行列式，设为：\\ D_1=\begin{vmatrix}p_{11}&&0\\\vdots&\ddots&\\p_{k1}&\cdots&p_{kk}\end{vmatrix}=p_{11}\cdots p_{kk}\\ 对D_2做运算c_i+kc_j,把D_2化为下三角行列式，设为：\\ D_2=\begin{vmatrix}q_{11}&&0\\\vdots&\ddots&\\q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{vmatrix}=q_{11}\cdots q_{nn}\\ 于是对D的前k行做r_i+kr_j,在对后n列做运算c_i+kc_j,把D化为下三角行列式\\ D=\begin{vmatrix}p_{11}&&&&&&\\\vdots&\ddots&&&0&&\\p_{k1}&\cdots&p_{kk}&&&&\\c_{11}&\cdots&c_{1k}&q_{11}&&\\\vdots&&\vdots&\vdots&\ddots&\\c_{n1}&\cdots&c_{nk}&q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{vmatrix}\\ \therefore D=p_{11}\cdots p_{kk}q_{11}\cdots q_{nn}=D_1D_2 证：对D1做运算ri+krj,把D1化为下三角行列式，设为：D1= p11⋮pk1⋱⋯0pkk =p11⋯pkk对D2做运算ci+kcj,把D2化为下三角行列式，设为：D2= q11⋮qn1⋱⋯0qnn =q11⋯qnn于是对D的前k行做ri+krj,在对后n列做运算ci+kcj,把D化为下三角行列式D= p11⋮pk1c11⋮cn1⋱⋯⋯⋯pkkc1k⋮cnkq11⋮qn10⋱⋯qnn ∴D=p11⋯pkkq11⋯qnn=D1D2
结语
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参考：
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p8-14.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p4.