（详细介绍）线性代数中的零空间（Null Space）

线性代数中的零空间（Null Space）详解

1. 定义

零空间 （Null Space）是线性代数中的一个核心概念。对于一个 m × n m\times n m×n 的矩阵 A A A，其零空间是所有满足方程 A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} Ax=0 的向量 x \mathbf{x} x 的集合。数学上表示为：
Null ( A ) = { x ∈ R n ∣ A x = 0 } . \text{Null}(A)=\left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x}=\mathbf{0} \right\}. Null(A)={x∈Rn∣Ax=0}.

其中， x \mathbf{x} x 是 n n n 维列向量， 0 \mathbf{0} 0 是 m m m 维零向量。零空间中的每个向量 x \mathbf{x} x 都是线性方程组 A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} Ax=0 的解。

2. 核心性质

线性子空间 ：零空间是一个向量空间的子集，且满足以下条件：
1. 包含零向量 ：显然 A 0 = 0 A\mathbf{0}=\mathbf{0} A0=0，因此零向量 0 \mathbf{0} 0 属于零空间。
2. 加法封闭性 ：若 u , v ∈ Null ( A ) \mathbf{u},\mathbf{v}\in\text{Null}(A) u,v∈Null(A)，则 A ( u + v ) = A u + A v = 0 + 0 = 0 A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0} A(u+v)=Au+Av=0+0=0，即 u + v ∈ Null ( A ) \mathbf{u}+\mathbf{v}\in\text{Null}(A) u+v∈Null(A)。
3. 数乘封闭性 ：若 u ∈ Null ( A ) \mathbf{u}\in\text{Null}(A) u∈Null(A) 且 c ∈ R c\in\mathbb{R} c∈R，则 A ( c u ) = c A u = c 0 = 0 A(c\mathbf{u})=cA\mathbf{u}=c\mathbf{0}=\mathbf{0} A(cu)=cAu=c0=0，即 c u ∈ Null ( A ) c\mathbf{u}\in\text{Null}(A) cu∈Null(A)。

3. 求解零空间的步骤

要找到矩阵 A A A 的零空间，需解齐次方程组 A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} Ax=0。具体步骤如下：

将矩阵 A A A 化为行最简阶梯形（RREF）。
确定主元列和自由列：主元列对应的变量是主元变量，自由列对应的变量是自由变量。
用自由变量表示主元变量 ：将每个自由变量设为任意常数（如 t 1 , t 2 , ... t_1,t_2,\dots t1,t2,...），并求解主元变量。
构造零空间的基：每个自由变量对应一个基向量，将所有基向量组合即为零空间。

示例：

考虑矩阵 A = ( 1 2 3 4 ) A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} A=(1324)，求其零空间：

化为 RREF：
( 1 2 3 4 ) → 行变换 ( 1 0 0 1 ) . \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. (1324)行变换 (1001).
主元列是第1、2列，无自由变量。因此，零空间仅包含零向量：
Null ( A ) = { ( 0 0 ) } . \text{Null}(A)=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}. Null(A)={(00)}.

4. 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）

该定理将矩阵的秩与零空间的维度联系起来：
Rank ( A ) + Nullity ( A ) = n , \text{Rank}(A)+\text{Nullity}(A)=n, Rank(A)+Nullity(A)=n,

其中：

Rank ( A ) \text{Rank}(A) Rank(A) 是矩阵 A A A 的列空间（Column Space）的维度。
Nullity ( A ) \text{Nullity}(A) Nullity(A) 是零空间的维度（即零空间中线性无关向量的最大数量）。
n n n 是矩阵 A A A 的列数。

示例：

若矩阵 A A A 有 3 列且秩为 1，则零空间的维度为 3 − 1 = 2 3 - 1 = 2 3−1=2，即零空间是二维的。

5. 零空间的基与维度

基：零空间的基是一组线性无关的向量，能够通过线性组合生成零空间中的所有向量。
维度：零空间的维度等于自由变量的个数，即 Nullity ( A ) = n − Rank ( A ) \text{Nullity}(A)=n-\text{Rank}(A) Nullity(A)=n−Rank(A)。

示例：

矩阵 A = ( 1 1 1 0 0 0 ) A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix} A=(101010)：

RREF 为 ( 1 1 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix} (101010)。
主元列是第1列，自由变量是 x 2 x_2 x2 和 x 3 x_3 x3。
设 x 2 = t x_2=t x2=t， x 3 = s x_3=s x3=s，则 x 1 = − t − s x_1=-t-s x1=−t−s。
解的形式为：
x = t ( − 1 1 0 ) + s ( − 1 0 1 ) . \mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}. x=t −110 +s −101 .
零空间的基为 { ( − 1 1 0 ) , ( − 1 0 1 ) } \left\{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\right\} ⎩ ⎨ ⎧ −110 , −101 ⎭ ⎬ ⎫，维度为 2。

6. 零空间的应用

线性方程组的解：
- 对于非齐次方程组 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b，若存在特解 x p \mathbf{x}_p xp，则通解为：
  x = x p + x h , \mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h, x=xp+xh,
  其中 x h ∈ Null ( A ) \mathbf{x}_h\in\text{Null}(A) xh∈Null(A)。
数据降维与特征提取：
- 在主成分分析（PCA）中，通过找到数据矩阵的零空间，可以去除冗余信息，保留主要特征。
机器学习：
- 在支持向量机（SVM）中，零空间用于寻找最优超平面，最大化分类间隔。
机器人控制：
- 在全身控制（Whole Body Control, WBC）中，零空间方法（Null Space Based, NUB）用于处理多任务优先级问题，确保低优先级任务不影响高优先级任务的执行。

7. 零空间与其他空间的关系

行空间与零空间正交 ：

矩阵 A A A 的行空间（Row Space）与零空间是正交补关系，即：
Row ( A ) ⊥ Null ( A ) , Row ( A ) ⊕ Null ( A ) = R n . \text{Row}(A)\perp\text{Null}(A),\quad\text{Row}(A)\oplus\text{Null}(A)=\mathbb{R}^n. Row(A)⊥Null(A),Row(A)⊕Null(A)=Rn.

这意味着，零空间中的向量与行空间中的向量点积为零。
列空间与左零空间正交 ：

矩阵 A A A 的列空间（Column Space）与左零空间（Left Null Space）是正交补关系：
Col ( A ) ⊥ Null ( A T ) , Col ( A ) ⊕ Null ( A T ) = R m . \text{Col}(A)\perp\text{Null}(A^T),\quad\text{Col}(A)\oplus\text{Null}(A^T)=\mathbb{R}^m. Col(A)⊥Null(AT),Col(A)⊕Null(AT)=Rm.

8. 例子详解

问题：求矩阵 A = ( 1 2 3 4 5 6 ) A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} A=(142536) 的零空间。
步骤：

化为 RREF：
( 1 2 3 4 5 6 ) → 行变换 ( 1 0 − 1 0 1 2 ) . \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. (142536)行变换 (1001−12).
主元列是第1、2列，自由变量是 x 3 x_3 x3。
设 x 3 = t x_3=t x3=t，则 x 1 = t x_1=t x1=t， x 2 = − 2 t x_2=-2t x2=−2t。
解的形式为：
x = t ( 1 − 2 1 ) . \mathbf{x}=t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}. x=t 1−21 .
零空间的基为 { ( 1 − 2 1 ) } \left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\right\} ⎩ ⎨ ⎧ 1−21 ⎭ ⎬ ⎫，维度为 1。

总结

零空间是理解线性方程组解结构的关键，其性质和应用贯穿线性代数的多个领域。通过秩-零化度定理，零空间的维度与矩阵的秩紧密相关，而零空间的基为求解齐次方程组提供了理论基础。在实际应用中，零空间帮助我们分析数据、优化算法，并在机器人控制等复杂系统中发挥重要作用。