目录
[第1章 引论](#第1章 引论)
[1.1 从数学到计算](#1.1 从数学到计算)
[1.2 误差理论初步](#1.2 误差理论初步)
[1.2.1 误差的来源](#1.2.1 误差的来源)
[1.2.2 误差的度量](#1.2.2 误差的度量)
[1.2.3 误差的传播](#1.2.3 误差的传播)
[1.2.4 数值稳定性](#1.2.4 数值稳定性)
[1.3 数值计算的若干原则](#1.3 数值计算的若干原则)
概念比较多,本笔记只用作梳理框架之用,数学公式涉及较少(主要是不好打字)。
第1章 引论
1.1 从数学到计算
数值计算目的:使计算机有效解决科学计算问题。
必须借助计算机的原因:
引例1(5次及以上的代数方程没有求根公式):某些数学问题在理论上没有解决的方法。要解决此类问题,必须用数值计算方法求其近似值。
引例2(求解n阶线性方程组Ax=b):某些数学问题在理论上有解决的方法,但在实际中并不实用,必须寻找新的行之有效的计算方法。
引例3(递归公式求I1到I20):某些数学问题即使在实践中有解决的方法,仍然需要进行误差分析。
科学计算与实验,理论三足鼎立,相辅相成,成为当今科学发现的三大方法。
1.2 误差理论初步
1.2.1 误差的来源
1、模型误差:数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差。
2、测量误差:在测量具体数据时产生的误差
3、截断误差(方法误差):数学模型的准确解与数值计算方法的准确接之间的误差
4、舍入误差:计算机字长的限制而产生的误差。
1.2.2 误差的度量
(1)绝对误差与绝对误差限 定义1.2.1
(2)相对误差与相对误差限 定义1.2.2
(3)有效数字 定义1.2.3
1.2.3 误差的传播
误差的传播是否可以控制,标志着一种数值计算方法的优劣。
1、函数的误差
2、算术运算的误差
和差的误差线不超过各误差限的和,积商的相对误差限不超过各相对误差限的和。
1.2.4 数值稳定性
误差传播能被控制------数值稳定。一定条件下数值稳定------条件稳定;任何条件都稳定------无条件稳定。
1.3 数值计算的若干原则
1、避免两个相近数相减
2、避免用绝对值过小的数作为除数
3、要防止大数吃掉小数
4、简化计算步骤,提高计算效率
5、使用数值稳定的算法