计算方法（第3版）——学习笔记（一）

目录

[第1章 引论](#第1章 引论)

[1.1 从数学到计算](#1.1 从数学到计算)

[1.2 误差理论初步](#1.2 误差理论初步)

[1.2.1 误差的来源](#1.2.1 误差的来源)

[1.2.2 误差的度量](#1.2.2 误差的度量)

[1.2.3 误差的传播](#1.2.3 误差的传播)

[1.2.4 数值稳定性](#1.2.4 数值稳定性)

[1.3 数值计算的若干原则](#1.3 数值计算的若干原则)

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概念比较多，本笔记只用作梳理框架之用，数学公式涉及较少（主要是不好打字）。

第1章 引论

1.1 从数学到计算

数值计算目的：使计算机有效解决科学计算问题。

必须借助计算机的原因：

引例1（5次及以上的代数方程没有求根公式）：某些数学问题在理论上没有解决的方法。要解决此类问题，必须用数值计算方法求其近似值。
引例2（求解n阶线性方程组Ax=b）：某些数学问题在理论上有解决的方法，但在实际中并不实用，必须寻找新的行之有效的计算方法。
引例3（递归公式求I1到I20）：某些数学问题即使在实践中有解决的方法，仍然需要进行误差分析。

科学计算与实验，理论三足鼎立，相辅相成，成为当今科学发现的三大方法。

1.2 误差理论初步

1.2.1 误差的来源

1、模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差。
2、测量误差：在测量具体数据时产生的误差
3、截断误差（方法误差）：数学模型的准确解与数值计算方法的准确接之间的误差
4、舍入误差：计算机字长的限制而产生的误差。

1.2.2 误差的度量

（1）绝对误差与绝对误差限 定义1.2.1
（2）相对误差与相对误差限 定义1.2.2
（3）有效数字 定义1.2.3

1.2.3 误差的传播

误差的传播是否可以控制，标志着一种数值计算方法的优劣。

1、函数的误差
2、算术运算的误差
和差的误差线不超过各误差限的和，积商的相对误差限不超过各相对误差限的和。

1.2.4 数值稳定性

误差传播能被控制------数值稳定。一定条件下数值稳定------条件稳定；任何条件都稳定------无条件稳定。

1.3 数值计算的若干原则

1、避免两个相近数相减
2、避免用绝对值过小的数作为除数
3、要防止大数吃掉小数
4、简化计算步骤，提高计算效率
5、使用数值稳定的算法