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一、矩阵的加法
定义2 设有两个 m × n m\times n m×n橘子 A = ( a i j ) 和 B = ( b i j ) A=(a_{ij})和B=(b_{ij}) A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A与B的和记为A+B,规定为
A + B = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ) A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} A+B= a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn
**tips:**只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律（设A，B，C都是 m × n m\times n m×n矩阵）：
- A + B = B + A A+B=B+A A+B=B+A
- ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A+B)+C=A+(B+C) (A+B)+C=A+(B+C)
设矩阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)，记
− A = ( − a i j ) -A=(-a_{ij}) −A=(−aij)
-A称为矩阵A的负矩阵，显示有
A + ( − A ) = O A+(-A)=O A+(−A)=O
矩阵的减法为
A − B = A + ( − B ) A-B=A+(-B) A−B=A+(−B)
二、数与矩阵相乘
定义3 数 λ \lambda λ与矩阵A的乘积记作 λ A 或 A λ \lambda A或A\lambda λA或Aλ,规定为
λ A = A λ = ( λ a 11 λ a 12 ⋯ λ a 1 n λ a 21 λ a 22 ⋯ λ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ λ a m 1 λ a m 2 ⋯ λ a m n ) \lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots&\lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix} λA=Aλ= λa11λa21⋮λam1λa12λa22⋮λam2⋯⋯⋯λa1nλa2n⋮λamn
数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为 m × n m\times n m×n矩阵， λ 、 μ \lambda、\mu λ、μ为数）：
- ( λ μ ) A = λ ( μ A ) (\lambda\mu)A=\lambda(\mu A) (λμ)A=λ(μA)
- ( λ + μ ) A = λ A + μ A (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A (λ+μ)A=λA+μA
- λ ( A + B ) = λ A + λ B \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B λ(A+B)=λA+λB
矩阵加法和数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘
定义4 设 A = ( a i j ) 是一个 m × s A=(a_{ij})是一个m\times s A=(aij)是一个m×s的矩阵, B = ( b i j ) 是一个 s × n B=(b_{ij})是一个s\times n B=(bij)是一个s×n的矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 m × n m\times n m×n矩阵 C = ( c i j ) C=(c_{ij}) C=(cij)，其中
c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i s b s j = ∑ k = 1 n a i k b j k , ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{jk},(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=∑k=1naikbjk,(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)
并把此乘积记作
C = A B C=AB C=AB
说明：
- 乘积矩阵 A B = C 的 ( i , j ) 元 c i j AB=C的(i,j)元c_{ij} AB=C的(i,j)元cij就是A的第 i i i行和B的第 j j j列的乘积。
- 只有当第一个矩阵的（左矩阵）的列数等于第二个矩阵的（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
例5 求矩阵
A = ( 4 − 1 2 1 1 1 0 3 0 3 1 4 ) 与 B = ( 1 2 0 1 3 0 − 1 2 ) A=\begin{pmatrix} 4&-1&2&1\\ 1&1&0&3\\ 0&3&1&4\\ \end{pmatrix} 与B=\begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 3&0\\ -1&2\\ \end{pmatrix} A= 410−113201134 与B= 103−12102
的乘积
C = A B = ( 4 + 0 + 6 − 1 8 − 1 + 0 + 2 1 + 0 + 0 − 3 2 + 1 + 0 + 6 0 + 0 + 3 − 4 0 + 3 + 0 + 8 ) = C = A B = ( 9 9 − 2 9 − 1 11 ) C=AB=\begin{pmatrix} 4+0+6-1&8-1+0+2\\ 1+0+0-3&2+1+0+6\\ 0+0+3-4&0+3+0+8\\ \end{pmatrix}\\ =C=AB=\begin{pmatrix} 9&9\\ -2&9\\ -1&11\\ \end{pmatrix} C=AB= 4+0+6−11+0+0−30+0+3−48−1+0+22+1+0+60+3+0+8 =C=AB= 9−2−19911
例6 求矩阵
A = ( − 2 4 1 − 2 ) 与 B = ( 2 4 − 3 − 6 ) A=\begin{pmatrix} -2&4\\ 1&-2 \end{pmatrix} 与B=\begin{pmatrix} 2&4\\ -3&-6 \end{pmatrix} A=(−214−2)与B=(2−34−6)
的乘积AB级BA
A B = ( − 16 − 32 8 16 ) B A = ( 0 0 0 0 ) AB=\begin{pmatrix} -16&-32\\ 8&16\\ \end{pmatrix}\\ BA=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\\ AB=(−168−3216)BA=(0000)
tips:
- A B AB AB有意思，但是 B A BA BA不一定有意义；若 B A BA BA有意义，但AB与BA不一定相等。
- 对于n阶方阵A、B，若AB=BA,则称方阵A与B可交换。
- 若两个矩阵A、B满足 A B = O AB=O AB=O，不能得出 A = O 或 B = O A=O或B=O A=O或B=O；若 A ≠ O A\not=O A=O而 A ( X − Y ) = O A(X-Y)=O A(X−Y)=O,不能得出 X = Y X=Y X=Y的结论。
矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：
- ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
- λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B) λ(AB)=(λA)B=A(λB)
- A ( B + C ) = A B + A C , ( B + C ) A = B A + C A A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA
对于单位矩阵E，容易验证
E M A m × n = A m × n , A m × n E n = A m × n E_MA_{m\times n}=A_{m\times n},A_{m\times n}E_n=A_{m\times n} EMAm×n=Am×n,Am×nEn=Am×n
或简写EA=AE=A
矩阵
( λ λ ⋱ λ ) \begin{pmatrix} \lambda&&&\\ &\lambda&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda\\ \end{pmatrix} λλ⋱λ
称为纯量阵。由 ( λ E ) A = λ A , A ( λ E ) = λ A (\lambda E)A=\lambda A,A(\lambda E)=\lambda A (λE)A=λA,A(λE)=λA，可知纯量阵 λ E 与矩阵 A \lambda E与矩阵A λE与矩阵A的乘积等于数 λ \lambda λ与A的乘积，当A位n阶方阵时，有
( λ E ) A n = λ A n = A n ( λ E ) (\lambda E)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E) (λE)An=λAn=An(λE)
表名纯量阵 λ E \lambda E λE与任何同阶方阵都是可交换的。
矩阵的幂：设A是n阶方阵，定义 A 1 = A , A 2 = A 1 A 1 , ⋯ , A k + 1 = A k A 1 A^1=A,A^2=A^1A^1,\cdots,A^{k+1}=A^kA^1 A1=A,A2=A1A1,⋯,Ak+1=AkA1
其中 k k k为正整数。
矩阵的幂满足以下运算规律
- A K A l = A k + l , ( A k ) l = A k l A^KA^l=A^{k+l},(A^k)^l=A^{kl} AKAl=Ak+l,(Ak)l=Akl
当矩阵A与B可交换时，满足下列运算规律
- ( A B ) k = A k B k (AB)^k=A^kB^k (AB)k=AkBk
- ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 (A+B)2=A2+2AB+B2
- ( A + B ) ( A − B ) = A 2 − B 2 (A+B)(A-B)=A^2-B^2 (A+B)(A−B)=A2−B2
例7 上阶例1中n元线性方程组(1)
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 1 , ⋯ ⋯ ⋯ a m x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b 1 , \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_1,\\ \cdots\cdots\cdots\\ a_{m}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_1,\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b1,⋯⋯⋯amx1+am2x2+⋯+amnxn=b1,
利用矩阵乘法可写成矩阵形式
A m × n x n × 1 = b m × 1 A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1} Am×nxn×1=bm×1
其中 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)为系数矩阵， x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} x= x1x2⋮xn 为未知数矩阵， b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix} b= b1b2⋮bm 为常数项矩阵。特别当b=O时，得到吗哥方程的n元齐次线性方程组的矩阵形式
A m × n x n × 1 = 0 m × 1 A_{m\times n}x_{n\times 1}=0_{m\times 1} Am×nxn×1=0m×1
四、矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序列的列得到一个新的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 A T A^T AT.
矩阵的转置也是一种运算，满足下列运算过滤（假设运算都是可行的）：
- ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A
- ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT
- ( λ A ) T = λ A T (\lambda A)^T=\lambda A^T (λA)T=λAT
- ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT
例8 已知
A = ( 2 0 − 1 1 3 2 ) , B = ( 1 7 − 1 4 2 3 2 0 1 ) A=\begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 1&3&2\\ \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} 1&7&-1\\ 4&2&3\\ 2&0&1\\ \end{pmatrix}\\ A=(2103−12),B= 142720−131
求 ( A B ) T (AB)^T (AB)T
A B = A = ( 0 14 − 3 17 13 10 ) ( A B ) T = ( 0 17 14 13 − 3 10 ) AB=A=\begin{pmatrix} 0&14&-3\\ 17&13&10\\ \end{pmatrix}\\ (AB)^T=\begin{pmatrix} 0&17\\ 14&13\\ -3&10\\ \end{pmatrix} AB=A=(0171413−310)(AB)T= 014−3171310
五、方阵的行列式
定义6 有n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方程A的行列式，记作 d e t A 或者 ∣ A ∣ det A或者\vert A\vert detA或者∣A∣
有A确定 ∣ A ∣ \vert A\vert ∣A∣的这个运算满足下述运算规律（设A、B位n阶方阵，$\lambda $为数:
- ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ \vert A^T\vert = \vert A\vert ∣AT∣=∣A∣
- ∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ |\lambda A\vert = \lambda^n \vert A\vert ∣λA∣=λn∣A∣
- ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \vert AB\vert = \vert A\vert \vert B\vert ∣AB∣=∣A∣∣B∣
伴随矩阵：
行列式 ∣ A ∣ \vert A\vert ∣A∣的各个元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij所构成的如下的矩阵
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=\vert A\vert E AA∗=A∗A=∣A∣E
结语
❓QQ:806797785
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参考：
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p29-39.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p9.